שינויים
/* מקרה רביעי \infty - \infty */
:<math>=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{lnx + 1 +1} = \frac{-1}{2}</math>
===דוגמא 8===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow\infty} x-ln(x)</math>.
זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim_{x\rightarrow\infty} x-ln(x) = \lim_{x\rightarrow\infty} x ( 1-\frac{ln(x)}{x}) = \infty\cdot (1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).
==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==
בסעיף זה אנו מעוניינים להדגיש כי יש להשתמש בכלל לופיטל בתבונה, אחרת נתקל בנגזרות מסובכות למדי. ראו עקרון זה בדוגמא הבאה:
===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^3(x)ln(1+x)cos(x)}{x^2 arctan^2(x)}</math>.
נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^3(x)ln(1+x)cos(x)}{x^2 arctan^2(x)} = \lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{sin(x)}{x}\Big)^3\cdot\frac{ln(1+x)}{x}\cdot \Big(\frac{x}{arctan(x)}\Big)^2\cdot cos(x)</math>
במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.
שימו לב שהפרדנו לפונקציות שונות, חלקנו וכפלנו באותו הביטוי, והוצאנו חזקות החוצה.
=משפט לופיטל והוכחתו=
