שינויים
=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in \R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש
:<math>\lim_lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>:<math>\lim_lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} = \lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{1} = \lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac1{x} = 0</math>
===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim_lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x} = \lim_lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac1{x+1}}{1}=1</math>
===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim_lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>
== מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>==
נניח <math>L=0</math>, <math>M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math>.
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to 0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big]</math>.
זהו מקרה של <math>-\infty\cdot 0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim_lim\limits_{x\to 0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big] = \lim_lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(x)}{\frac1{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>= \lim_lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac1{x}}{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\to 0}-x = 0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin(\tfrac1{x})\Big]</math>.
זהו מקרה של <math>\infty\cdot 0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin(\tfrac1{x})\Big] = \lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin(\tfrac1{x})}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
<math>= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac1{x^2}\cdot\cos(\frac1{x})}{-e^{-x}}.</math>
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos(\tfrac1{x})=1</math>, לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
:<math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2} = \lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x} = \lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2} = \infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim_lim\limits_{x\to \infty}\Big[e^x\cdot\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>
== מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to x_0}f^g</math>.
כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1,M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty, M=0</math>.
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim_lim\limits_{x\to x_0}f^g=e^K</math>
===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}</math>.
ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
:<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty}x^{\frac{1}frac1{x}}</math>
זהו המקרה של <math>\infty^0</math>.
כעת,
:<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty}x^{\frac{1}frac1{x}}=\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty}e^\tfrac{\frac{1}{x}ln(x)}{x} = e^0=1</math>
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty}\frac{1}{x}\ln(x)}{x}=0</math>).
==מקרה רביעי <math>\infty - \infty</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}f-g</math> כאשר <math>L=M=\infty</math>.
במקרה זה נבצע '''מכנה משותף''' או שנוציא '''גורם משותף''' בהתאם לתרגיל, על מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל.
===דוגמא 7===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\Big(\frac{1}frac1{x-1}-\fracfrac1{1}{lnx\ln(x)}\Big)</math>.
זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל
:<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\Big(\frac{1}frac1{x-1}-\fracfrac1{1}{lnx\ln(x)}\Big) = \lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\frac{lnx\ln(x)-x+1}{(x-1)lnx\ln(x)}=</math>
זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math>, נגזור מונה ומכנה ונקבל:
:<math>=\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\frac{\frac{1}frac1{x}-1}{lnx\ln(x)+\frac{x-1}{x}} = \lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\frac{1-x}{xlnxx\cdot\ln(x)+x-1}=</math>
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\frac{-1}{lnx \ln(x)+ 1 +1} = -\frac{-1}{2}frac12</math>
===דוגמא 8===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty} \Big[x-\ln(x)\Big]</math>.
זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty} \Big[x-ln(x) \Big] = \lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty} x \Big( 1-\frac{\ln(x)}{x}\Big) = \infty\cdot (1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).
==מקרה חמישי - כלל לופיטל כחלק מתרגיל גדול יותר==
בסעיף זה אנו מעוניינים להדגיש כי יש להשתמש בכלל לופיטל בתבונה, אחרת נתקל בנגזרות מסובכות למדי. או במילים פשוטות - '''לא לגזור כמו חמור!'''.
מספר עקרונות שמוטב לזכור:
*לעיתים לעתים כללי אריתמטיקה פשוטים יעזרו לנו לחשב את הגבול ללא גזירה כמו '''כפל בצמוד''' או '''הוצאת חזקה משמעותית'''.
*כל ביטוי שאנו יודעים את גבול (אפילו אם הגבול אינו קיים) אינו צריך להשתתף בגזירה.
*מוטב להפריד את הפונקציה למספר ביטויים ולחשב לכל אחד מהם גבול בנפרד. בדוגמא נראה שבחירה חכמה תהפוך תרגיל בלתי -אפשרי עם לופיטל, לפתיר בקלות.
ראו עקרון זה בדוגמא הבאה:
===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 0}\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(1+x+1)\cdot\cos(x)}{x^2 \cdot\arctan^2(x)}</math>.
נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 0}\frac{\sin^3(x)\cdot\ln(1+x+1)\cdot\cos(x)}{x^2 \cdot\arctan^2(x)} = \lim_lim\limits_{x\rightarrow to 0}\Big(\frac{\sin(x)}{x}\Big)^3\cdot\frac{ln(1+x+1)}{x}\cdot \Big(\frac{x}{\arctan(x)}\Big)^2\cdot \cos(x)</math>
במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.
===דוגמא 10 ===
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>
חשב את הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow0to 0}\frac{f(x)}{\sin^{n}(2x)}</math>
פתרון: נגדיר . <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\frac{f(x)}{x^{n}}</math> רציפה וב-<math>0 </math> נגדיר להיות
<math>g(0):=\lim_lim\limits_{x\rightarrow0to 0}\frac{f(x)}{x^{n}}=\lim_lim\limits_{x\to0to 0}\frac{f'(x)}{nx^{n-1}}=lim_\lim\limits_{x\rightarrow0to 0}\frac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dots=\lim_lim\limits_{x\to0to 0}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}frac5{n!}</math>
כעת <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow0to 0}\frac{f(x)}{\sin^{n}(2x)}=\lim_lim\limits_{x\rightarrow0to 0}\frac{g(x)x^{n}}{\sin^{n}(2x)}=\lim_lim\limits_{x\rightarrow0to 0}g(x)\Big(\frac{1}frac1{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\Big)^{n}=g(0)\frac{1}frac1{2^{n}}</math>
=משפט לופיטל והוכחתו=
נניח כי <math>\lim_lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim_lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim_lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim_lim\limits_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g} </math> רציפות שמקיימות <math> \tilde{f}=\begin{cases}f\left(x\right) & x\neq ne a\\0 & x=a\end{cases} \quad \tilde{g}=\begin{cases}g\left(x\right) & x\neq ne a\\0 & x=a\end{cases} </math> הגבול של מנתם בa ב- <math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה <math>1 </math>, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .<math>f,g </math>. על -פי משפט ערך הביניים הבינים של קושי עבור כל <math>x </math> בסביבה הימנית של <math>a </math> שבה <math>f,g </math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)} </math> ולכן נקבל <math>\lim_lim\limits_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_lim\limits_{x\to a^{+}}\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim_lim\limits_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math>. כרצוי השיוויון השוויון האחרון נובע מכך ש - <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץהסנדוויץ'.
הערה: המשפט נכון גם עבור במקרים ש: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף- לא בהכרח לאפס (<math>\lim_lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim_lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)
[[קטגוריה:אינפי]]
