שינויים
=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math>. ותהי נקודה <math>x_0\in \R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L</math>
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=M</math>
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
== מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>==
נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math>
===דוגמא 1===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל :<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{1} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac1frac{1}{x} = 0</math>
===דוגמא 2===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to 0to0}\frac{\ln(x+1)}{x}</math>.
זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל :<math>\lim\limits_{x\to 0to0}\frac{\ln(x+1)}{x} = \lim\limits_{x\to 0to0}\frac{\frac1frac{1}{x+1}}{1}=1</math>
===דוגמא 3===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\fracdfrac{\cos(x)}{x-\fracdfrac{\pi}{2}}</math>. זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math> . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>
== מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>==נניח <math>L=0</math>\ , <math>\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math>.
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to 0to0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big]</math>.
זהו מקרה של <math>-\infty\cdot 0cdot0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל: :<math>\lim\limits_{x\to 0to0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big] = \lim\limits_{x\to 0to0}\frac{\ln(x)}{\frac1{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>= \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac1frac{1}{x}}{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\to 0to0}-x = 0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin\left(\tfrac1tfrac{1}{x}\right)\Big]</math>.
זהו מקרה של <math>\infty\cdot 0cdot0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל: :<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin\left(\tfrac1tfrac{1}{x}\right)\Big] = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac1tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac1{x^2}\cdot\cos\left(\frac1tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}.</math>
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac1tfrac{1}{x}\right)=1</math>, לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}</math>
זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים): :<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2} = \infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to \infty}\Big[e^x\cdot\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>
== מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g</math>.
כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1\ ,\ M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty\ , \ M=0</math>.
בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-
ראשית נבחין כי <math>f^g = e^{\ln(f^g)} = e^{g\cdot\ln(f)}</math>,
שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim\limits_{x\to x_0}\Big[g\cdot\ln(f)\Big]</math>.
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
:<math>\lim\limits_{x\to x_0}f^g=e^K</math>
===דוגמא 6===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}</math>.
ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^\frac1frac{1}{x}</math> זהו המקרה של <math>\infty^0</math>.
כעת,
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}x^{\frac1{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^\tfrac{\ln(x)}{x} = e^0=1</math>
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>).
==מקרה רביעי <math>\infty-\infty</math>==
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f-g\big]</math> כאשר <math>L=M=\infty</math> .
===דוגמא 7===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to 1to1}\Big(left[\frac1frac{1}{x-1}-\frac1frac{1}{\ln(x)}\Big)right]</math>.
זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to 1to1}\Big(left[\frac1frac{1}{x-1}-\frac1frac{1}{\ln(x)}\Big) right]= \lim\limits_{x\to 1to1}\left[\frac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}=\right]</math> זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math>, נגזור מונה ומכנה ונקבל: :<math>=\lim\limits_{x\to 1to1}\left[\frac{\frac1frac{1}{x}-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}} \right]= \lim\limits_{x\to 1to1}\left[\frac{1-x}{x\cdot\ln(x)+x-1}=\right]</math>
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to 1to1}\left[\frac{-1}{\ln(x)+1+1} \right]= -\frac12</math>
===דוגמא 8===
זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נוציא גורם משותף ונקבל
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[x-\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\left[x\Bigleft(1-\frac{\ln(x)}{x}\Bigright)\right]=\infty\cdot (1-0)=\infty</math>
(שוב השתמשנו בדוגמא 1).
