שינויים
=סרטונים מצולמים בנושא=
<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>
=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
:<math>\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin(x)}{1}=-1</math>
==מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>==
נניח <math>L=0\ ,\ M=\infty</math> ועלינו לחשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f\cdot g</math> .
===דוגמא 4===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big]</math> .
זהו מקרה של <math>-\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\Big[x\cdot\ln(x)\Big]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac1frac{1}{x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to 0to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac1frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0}-x=0</math>
'''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
===דוגמא 5===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]</math> .
זהו מקרה של <math>\infty\cdot0</math> . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[e^x\cdot\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{e^{-x}}=</math>
נגזור מונה ומכנה ונקבל
:<math>=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-\frac1frac{1}{x^2}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)}{-e^{-x}}</math>
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי <math>\lim\limits_{x\to\infty}\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)=1</math> , לכן נותר רק לחשב את הגבול
:<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{2}=\infty</math>
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
:<math>\lim\limits_{x\to \infty}\Big[e^x\cdot\sin(\tfrac1{x})\Big]=\infty</math>
==מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>==
===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\left[\fracdfrac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]</math> .
נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\fracdfrac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]=\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\fracdfrac{\sin(x)}{x}\right)^3\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\fracdfrac{\ln(x+1)}{x}\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\fracdfrac{x}{\arctan(x)}\right)^2\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>
במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>
חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>
פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\fracdfrac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות
<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dotscdots=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>
כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}dfrac12\cdot\fracdfrac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=\dfrac{g(0)\frac{1}{2^n}</math>
=משפט לופיטל והוכחתו=
==הוכחה==
נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g}</math> רציפות שמקיימות
<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x) & :x\ne a\\0 & :x=a\end{cases} \quad \tilde{g}=\begin{cases}g(x) & :x\ne a\\0 & :x=a\end{cases}</math> הגבול של מנתם ב- <math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה <math>1</math> , לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\fracdfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\fracdfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\fracdfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .
כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.
הערה: המשפט נכון גם עבור במקרים שהמקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף- לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
או שהגבול של הנגזרות קיים במובן הרחב (<math>L=\infty</math>)
[[קטגוריה:אינפי]]
