שינויים
=סרטונים מצולמים בנושא=
<videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash>
=כלל לופיטל=
תהיינה שתי פונקציות <math>f,g</math> . ותהי נקודה <math>x_0\in\R</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש-
===דוגמא 9===
חשבו את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\left[\fracdfrac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]</math> .
נפריד אותו לחלקים באופן הבא:
:<math>\lim\limits_{x\to0}\left[\fracdfrac{\sin^3(x)\cdot\ln(x+1)\cdot\cos(x)}{x^2\cdot\arctan^2(x)}\right]=\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\fracdfrac{\sin(x)}{x}\right)^3\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\fracdfrac{\ln(x+1)}{x}\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\left[\left(\fracdfrac{x}{\arctan(x)}\right)^2\right]\cdot\lim\limits_{x\to0}\cos(x)</math>
במקרה זה, קל לראות שכל אחד מהגבולות הפנימיים שווה אחד (אם נפעיל את כלל לופיטל, כמובן), ולכן הגבול כולו שווה 1.
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>
חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>
פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\fracdfrac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות
<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dotscdots=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>
כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}dfrac12\cdot\fracdfrac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=\dfrac{g(0)\frac{1}{2^n}</math>
=משפט לופיטל והוכחתו=
הגבול של מנתם ב-<math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1, לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> עבורה
:<math>\dfrac{f(x)}{g(x)}=\fracdfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math>
ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .
כרצוי השוויון האחרון נובע מכך ש- <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדוויץ'.
הערה: המשפט נכון גם עבור המקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)
