שינויים

<math>\tilde{f}=\begin{cases}f(x) & :x\ne a\\0 & :x=a\end{cases} \quad \tilde{g}=\begin{cases}g(x) & :x\ne a\\0 & :x=a\end{cases}</math>

הגבול של מנתם ב- <math>a</math> יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה <math>1</math> , לשם נוחות נמשיך לקרוא להם <math>f,g</math> . על-פי משפט ערך הבינים של קושי עבור כל <math>x</math> בסביבה הימנית של <math>a</math> שבה <math>f,g</math> מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת עבורה:<math>\fracdfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\fracdfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}</math> ולכן נקבל <math>\lim\limits_{x\to a^+}\fracdfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\fracdfrac{f'\big(c(x)\big)}{g'\big(c(x)\big)}=\lim\limits_{c\to a^+}\fracdfrac{f'(c)}{g'(c)}</math> .

הערה: המשפט נכון גם עבור במקרים שהמקרים: השאיפה היא באינסוף (<math>a=\infty</math>) או שהפונקציות שואפות לאינסוף- לא בהכרח לאפס (<math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty</math>)