שינויים
/* דוגמא 10 */
תרגיל: יהא <math>n>1</math> . נניח <math>f(x)</math> גזירה <math>n+1</math> פעמים ומקיימת <math>f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0,f^{(n)}(0)=5</math>
חשב את הגבול <math>\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}</math>
פתרון: נגדיר <math>g(x)</math> ואז <math>g(x)=\fracdfrac{f(x)}{x^n}</math> רציפה וב- <math>0</math> נגדיר להיות
<math>g(0):=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{x^n}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f'(x)}{nx^{n-1}}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f^{(2)}(x)}{n(n-1)x^{n-2}}=\dotscdots=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f^{(n)}(x)}{n!}=\frac{5}{n!}</math>
כעת <math>\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{f(x)}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to0}\fracdfrac{g(x)x^n}{\sin^n(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)\Big(\frac1{2}dfrac12\cdot\fracdfrac{2x}{\sin(2x)}\Big)^n=\dfrac{g(0)\frac{1}{2^n}</math>
=משפט לופיטל והוכחתו=
