כלל לופיטל

חזרה למשפטים באינפי

---

משפט: נניח כי $lim_{x\to a^+}f(x)=lim_{x\to a^+}g(x)=0$ ונניח עוד כי $f,g$ גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים $lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ אז מתקיים $lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L$

הוכחה: נוכל לבנות $\tilde{f},\tilde{g}$ רציפות שמקיימות $\tilde{f}=\begin{cases} f\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases} \tilde{g}=\begin{cases} g\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases}$ הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי נוכל לבחור $c(x)$ שמוגדרת בסביבה הימנית שבה f,g מוגדרות שמקיימת $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}$ ולכן נקבל $\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x)}{g'(c(x)}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)}$ כרצוי השיוויון האחרון נוכע מכך ש$x<c(x)<a$