כלל לופיטל

משפט לופיטל

נניח כי $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0$ ונניח עוד כי $f,g$ גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים $\lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ אז מתקיים $\lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L$

הוכחה

נוכל לבנות $\tilde{f},\tilde{g}$ רציפות שמקיימות $\tilde{f}=\begin{cases} f\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases} \tilde{g}=\begin{cases} g\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases}$ הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור $a<c(x)<x$ שמקיימת $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}$ ולכן נקבל $\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)}$ כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש $a<c(x)<x$ וממשפט הסנדויץ

שימוש בכלל לופיטל

תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה $x_0\in\mathbb{R}$ או $x_0=\pm\infty$ כך ש

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L$

$\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=M$

נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.

מקרה ראשון $\frac{0}{0}$ או $\frac{\infty}{\infty}$

נניח $M=L=0$ או $M=L=\pm\infty$

אזי אם הגבול $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'}{g'}$ קיים, הוא שווה לגבול $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f}{g}$

דוגמא 1

חשבו את הגבול $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x}$.

זהו מקרה של $\frac{\infty}{\infty}$. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$

דוגמא 3

חשבו את הגבול $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}$.

זהו מקרה של $\frac{0}{0}$. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-sin(x)}{1}=-1$