'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4
=שאלות=
=שאלות=שאלה 8.2.1/2==בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה
==צ"לציונים סופיים ==עוד מעט מתחיל סמס א',מתי יפורסמו הציונים הסופיים? ==פגישה==יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל iהפגישה היום (י"א תשרי) בקשר לרישום, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיסהיא עם הורים? או שזה מספיק טריוויאלי עוד שאלה, באיזה שעה היא ואיפה? ==שאלה בקשר לפתרון של מועד ב==בשאלה 8 א כתבת ש (1,0) != (1,6) אבל אנחנו נמצאים בz3 אז זה לא אומר ש (1,6)=(1,0) ואז הטענה אינה נכונה?
===תשובה===
זה נכון! בכלל לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?שמתי לב לשאלה. מזל שאני לא נבחנתי על זה. אני אתקן ואעלה מחדש
==תרגילים נוספים?==
שלום רב,
האם היו תרגולים נוספים אשר היינו אמורים להגיש (בחלקו העליון של דף זה נכתב: "הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:):") או שזו טעות? תדה מראש.
===תשובה נוספת===אני רואה זה לא קשור לקורס הזה בשום צורה, הייתה טעות... פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:יש 5 תרגילים בלבד
הוקטור ==ציוני תרגיל==הגשתי את תרגיל 4 ומופיע כאילו לא הגשתי אותו (1,0,1) הינו מס'''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבדת. הם לא קבוצות עם 3 איבריםז. יש ב(1,0,1205632516) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב ==שאלה 1. בפולינום יש את הרכיבים 1ג במבחן==האם כדי להוכיח סכום ישר, 0x, x^2לא צריך להוכיח גם סכום ז"א ש- U+W=V.
כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא ===תשובה===ברור שכן, שכחתי להוסיף את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''זה. אני אעלה עוד כמה דקות תוספת לפתרון.
:העלאתי את התוספת הדרושה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:52, 13 בספטמבר 2010 (IST) ==מותרתרגילי בית==היכן ניתן למצוא תרגילי בית שלא קיבלתי חזרה? :לא ניתן למצוא אותם בשלב זה. == בקשר לציוני התרגיל ==האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש אנחנו נקבל את הציונים של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,תרגילים 4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>ו5? תודהעברו כבר שבועיים והמבחן.. אני צריך לדעת בשביל להחליט אם לעשות מועד ב'.
===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחריםהנה רשימת הציונים שיש בינתיים '''[[מדיה:10Linear1TargilTempGrade.pdf|ציוני תרגיל 1-4]]'''
==שאלה 2 בדףבקשת הבהרה==בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,למה כוונתכם באמירה "הבוחן יהיה ציון מגן בלבד":1.אם הוא גבוה משיעורי הבית אז הוא יהיה במקומם.vn התאמה חח"ע2. אם הוא גבוה מהמבחן אז החלוקה תהיה 80% מבחן, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v110% בוחן,10% שיעורים.3.vn בת"ל אם הוא גבוה מהשיעורים אז [v1]bהחלוקה תהיה 80% מבחן,10% בוחן, 10% שיעורים.4.[vn]b בת"לאחר? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת תודה, גל.
===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר מתוך ציון התרגיל בלבד הוא נכוןמגן. כלומר המבחן 80 אחוז בכל מקרה (אמנם זה כמו שרשמת, אבל צריך להסביר 2 דברים:רשמת רק אופציה אחת).
1אם הוא גבוה משיעורי הבית זה יהיה 10 אחוז 10 אחוז, ואם נמוך זה יהיה 20 אחוז שיעורי בית. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע
2====תשובה לתשובה====תודה רבה על התשובה המהירה. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל כרגע רשום באתר המידע האישי שהמבחן 85%, אני מניח שזה יתעדכן?ומתי נקבל את ציוני תרגול 4- בת"ל5 ואת השקלול הסופי של הציונים בתרגולים?שוב תודה, גל.
==שאלה 8.4==אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר)מוזר שרשום שם 85. לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.. או שזה יתעדכן או שזה ישאר ככה. אני לא חושב שזה הפרש משמעותי במיוחד. תקבלו את שאר הציונים כאשר אני אקבל אותם.
==שאלה 7ציונים==מתי יפרסמו את הציון הסופי או את הרכב הציון (אחוזים לכל דבר)?זה יכול להשפיע בהחלטה האם לגשת למועד ב'.19אשמח לתשובה מהירה. ==שאלה==:האתר לא פועל בחגים, ואני עוד לא ראיתי את הציון שלי, יש דרך כלשהי לראות את הציונים שלי?:ועוד משהו, הציונים שעלו, הם רק בלינארית, או שזה גם בבדידה? תודה רבה, ושנה טובה לכולם!==ציון ביניים==מה זה אומר בדיוק? וכמה עולה לצפות במחברות הבחינה? תודה. (אגב, ציוני הביניים עלו!!): ציון ביניים = חלקי הציון הכללי לפני מעבר שקלול. הציון הסופי יעלה רק לאחר שיעלו כל ציוני הביניים.: עלות צפייה במחברת בחינה 5 ש"ח דרך כ"א. אפשר רמזלצפות בה דרך האתר, אפשר גם להוריד אותה (ע"י לחיצה על כפתור השמירה תוך כדי הצפייה במחברת). (אינני מתרגל) ==ציון מעבר==הודיעו מתישהו מה הציון הכללי שצריך כדי לעבור? ולא הבנתי בכל מקרה, מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הציון?:באופן כללי באוניברסיטה ציון מבחן עובר הוא עוזר60 [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:44, 7 בספטמבר 2010 (IDT)::מה זה אומר שהציון עובר, או נכשל - במבחן? תודה רבהמה, אי אפשר לעבור את הקורס עם נכשל במבחן?:::התכוונתי לציון סופי, לא ציון מבחן.ציון סופי 60 זה עובר (אחרי השקלול של ציון התרגיל). [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:10, 7 בספטמבר 2010 (IDT) ==פקטור==היה במבחן בלינארית פקטור? אם כן, כמה? ==אחוזים==בתחילת הסמסטר אמרו לנו שהציון מורכב מ:מתוך העמוד הראשי80% מבחן, 10% בוחן, 10% ש.ב.. רציתי לדעת האם יש שינוי בהרכב הציון? :לא בטוח. אתם תראו את הציון הסופי כאשר הוא יופיע ==תרגולים 4-5=דוגמא לעבודה =האם תעלו את הציונים שלהם בהמשך? תודה מראש.:כן, כאשר הם יתקבלו ==הערה==קודם כל אני רוצה להגיד תודה על כל העזרה עם מטריצות כוקטוריםהשאלות באלגברה לינארית. אני יודע שזאת בקשה גדולה ואתם לא חייבים להיענות לה, אך המתרגלים שעד עכשיו ענו על תשובות לאלגברה לינארית, יכולים לעזור גם בבדידה? כי נראה לי שאף אחד לא נכנס לדף של בדידה... תודה רבה!! == פתרונות ==איפה מופיעים הפתרונות של המבחן???:'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx10LinearTestASol.pdf|דוגמאפתרון המבחן]]''' שימושית לתרגיל 4. ==ציונים==איפה יופיעו הציונים?:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר ומתי?::לפי מה שידוע לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) - בעוד כשבוע. אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7אשמח לתשובה ממרצה/מתרגל.19 ==תגובות לגבי פתרון המבחן==תיקונים::נכון את שאלה 1 ו-4 לא עשיתי ככה שלא התייחסתי אליהם, לכן תקרא בשאלה 2, הצבת את התשובה שלי בדיוק מתחת 1 במקום a ועדיין השארת a בפיתרון הכללי.. (ובמטריצה)בשאלות האמריקאיות--[[משתמשהיה צריך להוכיח ולהפריך או רק לרשום כן/לא?תוכל בבקשה להעלות את ההגדרות, כי יש כמה גרסאות ורציתי לדעת אם יש הבדל, למשל:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24KerT= מרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 כאשר A מטריצה מייצגת העתקה T, 20 באוגוסט 2010 נקרא הגרעין של ההעתקה T. (IDTKerT)/מרחב הוקטורים שההעתקה T שולחת אותם ל-0.סה"כ את שתיהן המרצה כתב לנו ושתיהן הגדרות פורמליות..
===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?
:nצודק לגבי ההצבות, אבל איך זה עוזר?באמת טעות טפשית.
::אם אין יותר מn איברים שונים מאפסלא היה צריך להוכיח או להפריך, אז האיבר הn+1 שווה אפסאבל אחת המטרות העיקריות של התשובות היא שמי שצריך יוכל ללמוד מהפתרון למועד ב'. (וכמובן גם מי שלא ייגש - טוב שיידע את התשובות הנכונות).
(לגבי ההגדרות, אני לא האחד ששאל) מימד מרחב המטריצות מסדר n על n אינו n בריבוע?יודע מה המרצים יקבלו.
==צ"ל טריוויאלימבחן==האם צ"ל שאם בשאלה 3 ג' בתשובות, בשלב שלפני שמתקבלת המטריצה הסופית (כפל שתי מטריצות), במטריצה השמאלית, במקום <math>\sum_a_{i=n,n-1}^</math>, אני חושבת שאמור להיות <math>-(n{\left-1)</math> ולא <math>-n-1</math>. נכון? :כן, תודה. ==שאלה==אם כתבתי בשאלה 2 ב' שאין בסיס וליד זה את האות פי, זה בסדר? כי אני יודע שהבסיס הוא פי, אבל כתבתי לפני זה שאין בסיס, תודה רבה:(לא מתרגלת) פי? מה הקשר של פי לקבוצה ריקה?:: הכוונה היא לאות <math>\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)empty</math>, המסמנת את הקבוצה הריקה. [v_i[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1] 22:01,\dots31 באוגוסט 2010 (IDT): תחליט: או שאין בסיס,n\}או שיש בסיס והוא הקבוצה הריקה. האפשרות הראשונה בוודאי אינה נכונה, משום שלכל מרחב וקטורי יש בסיס (את המקרה הסופי הוכחתם בקורס; המקרה הכללי הוא משפט של Hammel). הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT):: אני כתבתי שאין בסיס וליד זה את האות <math>\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0empty</math> אזי , כל החישובים שלי בתרגים נכונים וגם על פי התשובות שלכם אין לי טעות אחת במבחן, הדבר היחיד שלא היה טוב זה שאחרי שהגעתי לזה שהחיתוך הוא 0 כתבתי שאין בסיס, וליד זה <math>[v_1]_B\ \empty</math>,[v_2]_Bיורידו על זה הרבה נקודות? כי זה לא שהיה לי טעות אחרת חוץ מזה,וגם כתבתי <math>\dots\empty</math> בפתרון הסופי,תודה:::יורידו אולי נקודות, אני לא יודע מראש כמה. אם אין לך טעויות חוץ מזה יהיה לך ציון טוב. [v_n[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]_B] 12:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT) ==כמה שאלות לגבי פתרונות המבחן==1. בשאלה 3א האם אפשר היה להוכיח את היותה של הקבוצה בסיס על ידי שימוש בכך ש: א. <math>|B|=N</math> ולכן משום היותה בסיס <math>dimV=n</math> ומשום <math>|C|=n</math> עפ"י הגדרתו אז <math>dimV=|C|</math>. ב. בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטוריתוגם לא הוכחתי כפי שאתם הוכחתם אלא הוכחתי בשלילה, אמנם יצא לי יותר ארוך אבל אני מניח שזה בסדר, לא?!?). או שזה מספיק טריוויאלי 2. ב-3ב לא יותר קצר למצוא את המטריצה הנדרשת באותו אופן שאתם מצאתם את ההופכית שלה? תודה 3.בפתרון ל-2א יש לך טעות: הצבת a=1 וללכן לא יכול להיות שהפתרון הכללי למקרה של אינסוף פתרומנות תלוי ב-a. 4. איך נעשית חלוקת הנקודות בין הסעיפים בין השאלות הפתוחות? לכל סעיף משקל שווה? תודה מראש ושנה טובה!
===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?
::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים1. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד בת"ל ובגודל n + השלישי חינם זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאליסבבה.
== בסיס ==2. אפשרי, קצר זה עניין של דעה :)
מה הכוונה בהגדרה של מימד3. כן, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשיםובכל וקטור שני רכיבים- 1,0העירו לי על כך.אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלותודה. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומרכמובן שצריך להציב בכל מקום שם את a ולא רק בחלק מהמקומות : <math>\dim(V):=|B|</math>.
4. לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כלליידוע, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>יוחלט בעת הבדיקה.
==בסיסים==הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=nשנה טובה ומבורכת.
זה לא מסתדר לי==שאלה אחרונה==למה אם rankAB < min{rankA, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).rankB} אז A וגם B אינן הפיכות? תודה!
אפשר הסבר===תשובה===כי אם A או B הפיכות, אז AB היא בעצם A או B שמבצעים עליה פעולות אלמנטריות, עשיית פעולות אלה לא משנות את מרחב השורות ובטח לא את מימדו, ואז המימד של מרחב השורות של AB היה שווה למימד המינימלי בין A ו-B ולא קטן ממש.:תודה רבה על התשובה בשעה מוקדמת! אשמח אם תוכל לענות לי על השאלה השניה לפני המבחן! תודה! ==שאלה==במבחן 2003 מועד ב' שאלה 1 (צריך למצוא את [v]c, יש טעות בתשובה? עשיתי כמה פעמים מכל הכיוונים ויצא לי תשובה 4 ולא 2. תודה! ==6.14 עמוד 62 בחוברת==בתשובות שבאתר הוספת לבסיס את (1,0,0). למה, לפי מה? :מדרגים ומוסיפים את e_i עבור כל העמודות i של המשתנים החופשיים (כלומר משלימים איברים פותחים) ::אהה.. באמת? חידשת לי. תמיד כשרוצים להשלים קבוצה בת"ל לקבוצה פורשת אז שמים את הוקטורים מהקבוצה הבת"ל בשורות מטריצה, מדרגים, ורואים אילו משתנים חופשיים יש. לאחר מכן מוסיפים קבוצה ובה וקטורים <math>e_i</math>, עבור כל עמודה i שבה יש משתנים חופשיים? יש איזה משפט קשור או משהו שמסביר למה עושים דווקא ככה? תודה. :::זה פשוט מאד, כמו שאמרתי - משלימים את האיברים הפותחים. לאחר התוספת יש n איברים פותחים (אם יש n עמודות) ואז מרחב השורות הוא ממימד n ובהכרח מרחב השורות הוא כל F^n. ==עזרה==איך מוכיחים את המשפט: יהי בסיס v1,..,vn לV וקבוצה w1,..wn בW, אז יש העתקה לינארית כך ש T(vi(=Wi? תודה מראש!
===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפטלא יודע איך הוכיחו לכם בכיתה (כנראה אחרת) אבל אפשר עם המטריצה המייצגת. כלומר למצוא את המטריצה המייצגת לפי ההגדרה נקרא לה A ואז ההעתקה Tx=Ax היא העתקה לינארית שמקיימת את הדרישה.:המטריצה המייצגת '''הוגדרה''' בהתבסס על המשפט הזה ולכן אני לא חושב שמותר להשתמש בה (אני לא מתרגל).
יותר מזה==שיחלוף==במשוואה שכוללת מטריצות, מספר האיברים בבסיס מותר לשחלף את שני האגפים וזה ישמור על שיוויון, בלי להסביר או להוכיח (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת אם זה אותו מספרלא התרגיל) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב, נכון?:אתה מתכוון ש-<math>A=B\iff A^T=B^T</math>? בטח שזה נכון. זו בדיוק אותה מטריצה, ופעולת השיחלוף מוגדרת היטב (חד-ערכית). אני לא מתרגל, אבל אני כמעט בטוח שלא צריך להסביר או להוכיח.
====תשובה לתשובה==העתקת המטריצה==תודהבחוברת עמוד 52 שאלה 1.10 ב' - או שלא הבנתי את ההגדרה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים או שיש טעות בהגדרת הטווח של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווהההעתקות T, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכוןS..?למשל עבור העתקה T: הרי כפל של מטריצה מסדר m על n בוקטור מסדר n על 1 נותן וקטור מסדר m על 1 ולא הפוך!
=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).
======הבהרה======אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשתועוד דבר - צריך לזכור בעל פה את ההגדרות של העתקת המטריצה, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|ההעתקות <math>=|V| L_A</math>, <math>T_A</math> ועוד?:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלתאם לא, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשהאז אילו הגדרות של העתקות כן צריך לזכור בעל פה? תודה מראש.
::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>==תשובה===אתה צודק זה באמת צריך להיות הפוך.
:::תודה!לא בטוח למה אתה מתכוון, אלה דברים שלמדתם בהרצאה, תלוי מה המרצה אמר שצריך לזכור.
==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9מושג==* הכוונה במה זה "לבטא את האיבר הכללי בקבוצהמרחב האפס" ?:קבוצה שהאיבר היחיד בה הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=0, והקבוצה הזאת היא מרחב וקטורי כל התנאים של מרחב וקטורי מתקיימים.::תודה. בעמוד 50 שאלה 11.15 ד' (x+5yבחוברת),6y+z,x+z)אומרים "מצא בסיס למרחב האפס של A". מה הכוונה?:::</maths> או במקרה של פולינומים הכוונה היא שתמצא בסיס למרחב <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3\{\vec0_A\}</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9, כלומר המרחב שכולל את האיבר הנייטרלי לחיבור ב-A.</s>
===תשובה===
מרחב האפס בלי הקשר הוא אכן המרחב שמכיל בלבד את אפס. מרחב האפס של מטריצה, בד"כ, הוא מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית.
:תודה!
==שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==
למה סכום איברי המטריצה הוא 1?? מאיפה בתשובות הוא הביא את התשיעית הזאת? המטריצה P היא <math>(0,2,1),(1,0,2),(2,1,0)</math> ולכן סכום איברי המטריצה הוא 0+2+1+1+0+2+2+1+0=9, למה 1?? תודה!
===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב רשמת את אלפאמטריצת המעבר מB לC. אבל P היא ההופכית שלה, בטא וגמאמטריצת המעבר מC לB.:וואלה, תודה. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.
*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת ==החוברת עמוד 48==כתוב שם שמרחב העמודות הוא תת מרחב ממימד 5. של <math>F^n</math> כאשר <math>A</math> מסדר <math>mxn</math> ואני חושבת שמרחב העמודות הוא תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולושל <math>F^m</math>.לא? (כנ"ל לגבי מרחב השורות, רק הפוך)
:נכון זו טעות בחוברת. ==בקשר ל 6.5שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרשאיך ניגשים לשאלה כזאת? מה הקשר בין הפיכות של הפונקציה לRANK שלה? אפשר הסבר מפורט בבקשה? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט ממש מבלבל! וגם, למהנתונה מטריצה B אם היא נמצאת בשאלה בכלל?תודה רבה מראש
===תשובה===
יש כמה קשרים בין השניים. למשל הrank של מטריצה ריבועית מגודל n שווה לn אם "ם היא הפיכה. אם נסתכל על זה שווה צריך להראות איבר כלליבתור העתקות ליאריות, אז הrank הוא מימד התמונה והוא קטן ככל שמימד הגרעין גדל. :'''למה אני אמור להסיק שA אינה הפיכה ב3?'''::אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש תסתכל על ידי הspanהמשפט שרשמתי אז תראה שA הפיכה אם"ם הrank שלה הוא n אם הrank של A^2 קטן מהrank של A בוודאי הוא קטן מn ולא יכול להיות שהיא הפיכה. אבל אם A הפיכה בוודאי A^2 הייתה צריכה להיות הפיכה.
:אז ==שאלה 1 מקובץ מצורף תרגול 4==שלום רב. בשאלה התבקשנו להוכיח ש- <math>[I]_C^B</math> הפיכה. האם לא צריך לפרט רק לציין?מספיק פשוט לומר ש- <math>([I]_C^B)^{-1}=[I]_B^C</math> ע"י בדיקה שאכן מתקיים שמכפלתן משני הצדדים היא <math>I</math> תודה, גל.
::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת ===תשובה סופית בלבד. ===אפשר לא להציג את , אם ידוע המשפט שקיימת מטריצת מעבר בין כל החישובים עד הסוףשני בסיסים ואז להשתמש בנוסחא של מטריצת מעבר.:כלומר ש'''אם''' מבקשים ממני במהלך המבחן להוכיח את זה אסור לי להשתמש במה שאמרתי?::תלוי מה יבקשו ספציפי. אם השאלה הייתה מופיעה כמו שהיא במבחן זה היה בסדר. תשאל בזמן המבחן.
==טריוויאלי או צ"ל?שאלה==האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>Aאם v מוכל בw וגם dim של v שווה לdim של w אזי v=I</math>w זה משפט? או שזה טריוויאליוכיצד ניתן להוכיח? תודה.
===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I)שאלה 7.7 תרגיל 4.
==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה לא ענית לי על שתי השאלות: זה משפט? איך מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים. ?===
לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינאריתזה עובדה, ומוכיחים כמו בפתרונות שיש באתר כמובן. למה?
תודה מראש!:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה אפשר להשתמש בזה אלא אם צריך להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|את זה במפורש.
::==mod==המספר -1 בZ5 כלומר <math>-1 mod 5</math> זה 1 או 4? תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".
:::זו אינה דרך קלה יותר===תשובה===<math>- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים1 = 4 +(-1)\cdot 5</math> ולכן זה 4.
==שאלה==
למה אם למערכת הומוגנית Ax=0 יש פתרון יחיד, אזי A הפיכה? תודה!
===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת)קודם כל זה נכון רק אם '''A ריבועית'''. הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד יש כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסתוכמה הוכחות, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם למשל מטריצה ריבועית שקולת שורה למטריצת היחידה אם"ם היא הפיכה, ואם הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא לא מטריצת היחידה סימן שיש לה משתנים חופשיים ולכן B1 ת"ליותר מפתרון אחד.
דרך אחרת להסתכל על זה היא שעמודות A בת"ל אם"ם למערכת Ax=0 יש פתרון יחיד, וידוע שעמודות מטריצה ריבועית בת"ל אם"ם היא הפיכה.
:תודה!
==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינאריתפרטים על המבחן בעמוד הראשי==כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים פרטים על המבחן בעמוד הראשי:מה לגבי כמה זמן המבחן ומה המבנה שלו?::כבר אמרו את זה אומר שהאיברים הם בת"ל בהרצאות.:::ומי שלא הקשיב או ת"ללא היה מרוכז? רק כדי או לא היה בשיעור?::::שישאל את החברים שלו. שאלות לגבי המבחן צריכות להיות בטוחמופנות למרצים ולא למתרגלים. ===שאלה קטנה===איפה זה בניין 507? זה הבניין שאנחנו בדרך כלל לומדים בו או בניין אחר? תודה!:אנחנו לומדים ב-604.::אז אפשר הכוונה לגבי איפה זה 507?:::507 זה הבניין הגדול עם המבנה המיוחד והמגני דויד למעלה, ממש ליד הבניין שאתם לומדים בו. ==שאלה/בקשה==נכון יש משפט שאומר (אני לא יודע ממש איך לכתוב בשפה המתמטית בפורום, לכן הבינו ש2 אותיות אחרי הT פירושן שהאות הראשונה למעלה מימין והשנייה למטה מימין וכו'): <math>[T]FG=[Iw]HG[T]EH[Iv]FE</math>? אז השאלה שלי היא, למה צריך את המשפט הזה תכלס? מתי המשפט הזה עוזר? והאם מתרגל יכול, בבקשה, להביא תרגיל אחד שבו חייבים/ רצוי מאוד להשתמש במשפט הזה? תודה רבה! ===תשובה===<math>[T]_G^F=[Iw]_G^H[T]_H^E[Iv]_E^F</math> השתמשנו בנוסחא הזו בשאלה הקודמת שלך... פשוט שם הייתה גם המטריצה <math>[I]_S^S</math> שהיא שווה למטריצת היחידה ולכן לא הזכרנו אותה. == שאלה ==מבחן 2004 מועד א' שאלה אמריקאית 3.. איך מוצאים את המימדים של U ו W?:(אני לא מתרגל)- 2 הSPANים פורשים, רק תבדוק אם יש בכל אחד מהSPANים איברים שתלויים אחד בשני, אם יש- תוריד אותם, ותישאר עם בסיסים לU וW.
===תשובה===
ת"ל לינארית כמובןמעבירים לצורה וקטורית שמים בשורות מטריצה ומדרגים. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).:תודה על הכל!
==דרך הפתרון ל7.9מבחן תשס"ד מועד ב' חלק אמריקאי שאלה 2==איך צריכים לפתור את השאלההתשובה לא אמורה להיות A^-1*B במקום B*A^-1? האם צריך להגיד ש(x1,x2,x3,x4,x5) כי <math>[T]AB=[I]SB*[T]AS= a(A^-1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+... ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5? או שיש דרך אחרת יותר קלה*B</math> לא? תודה.!
===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורהלא נתון שB הוא בסיס בכלל. מספיק לשים [T] צריכה לקיים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרגהמשוואה <math>[T][v]=[Tv]</math>. לכן <math>[T][v_i]=[T]v_i=[Tv_i]=w_i</math> (כי הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שוות לוקטור עצמו). אבל <math>A^{-1}v_i=e_i</math> ואז <math>BA^{-1}v_i=Be_i=C_i(B)=w_i</math> כפי שרצינו.
למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.
==בקשה==אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:'==שאלה=='ולא כך:'=שאלה='דרך אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!להוכיח:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זהפשוט הרבה יותר).
::לא אני כתבתי את ההערה.--<math>[T]=[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינרT]_S^S=[T] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות._S^A\cdot [I]_A^S=BA^{-1}</math>
==שאלה על בסיסים ומ"ויםהוכחה==האם ניתן להגיד ההוכחה הזאת קבילה?: נתון ש<math>AB=I</math> וכי <math>T:F^{n\times{n}}\rightarrow{F^{n\times{n}}}</math> כך ש:<math>T(או האם זה נכון בכללX) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים=BX</math>, אני צריך להוכיח ש<math>T</math> על:"נניח -T לא על: לכן קיים <math>Q\in{F^{n\times{n}}}</math> כך שלכל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math><math>T(Z)\not=Q</math> לכן <math>BZ\not=Q</math> לכן <math>ABZ\not=AQ</math> כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)- <math>Z\not=AQ</math> בסטירה לכך שהטענה נכונה עבור כל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math> לכן T על? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זהנכון? תודה רבה.
===תשובה===
זה טריוויאליכן, עדיף הוכחות כאלה לבצע בחיוב ולא בשלילה. תהי Q מטריצה כלשהיא, אזי המקור שלה הוא AQ ולהוכיח את זה. כן אבל אם אתה רוצה להוכיח:בתרגיל הספציפי הזה אסור היה להשתמש במשפט ש<math>AB=BA=I</math> היה נתון רק ש<math>AB=I</math>
== שאלה==מבחן 2 שאלה אמריקאית 2..הטענה חייבת להיות לכל Im(z)==0 אחרת זה לא יכול להתקיים: מה זה מבחן 2? איזו שנה? איזה מועד?::2005 מועד א':::נראה לי שאתה צודק... יהי <math>z=x+yi</math> ולכן <math>z^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i=x^3-3x^2yi+3xy^2+y^3i=(x-yi)^3</math> נפשט ונקבל ש- <math>6x^2yi-6xy^2-2y^3i=-6xy^2+(6x^2y-2y^3)i=0</math>. לאחר השוואה אני קיבלתי שאמנם ישנם אינסוף מקרים אבל בכולם <math>y=0=Im(z)</math> ===תשובה===[[#שאלה ממבחן 2005 מועד א]] ==מטריצות סימטריות ואנטי סימצטריות==שאלה: אם <math>A</math> ו-<math>B </math> סימטריות (שתיהן ריבועיות מאותו גודל) אז: האם <math>ABA</math> סימטרית?חשבתי על לפתור בדרך הזו: לפי סימטריות מתקיים ש: <math>A=A^t</math> וגם <math>B=B^t</math> ולכן <math>ABA=A^tB^tA^t=(BA)^tA^t=(A(BA))^t=(ABA)^t</math>. אי לכך גם <math>ABA</math> סימטרית. עם זאת, במבחן של 2003 (מועד א), זוהי שאלה 8 בחלק של האמריקאיות. אם מה שאני אומר נכון הרי שהתשובה אמורה להיות 3, אבל באתר כתוב שהתשובה היא 1. מה הטעות שלי? תודה, גל. ===תשובה===אתה צודק, ABA סימטרית אם A,B סימטריות מאותו גודל ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 11==איך פותרים שאלה כזאת? הצלחתי להבין ש<math>[T]B=(u1,u2,u3;0,0,0;w1,w2,w3)</math> (; מפריד בין עמודות)אבל איך יודעים איפה יש עוד אפסים? אם התשובה היא 2 או 4? תודה רבה!===תשובה===אני לא מתרגל אבל נראה לי שאני יכול לרמוז לך- תסתכל על הבסיס של האימג'- כל איבר בתמונה אתה יכול להציד כצירוף ליניארי שלהם.:לא הייתי עולה זה בחיים, אבל הבנתי- תודה רבה! ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 9==למה התשובה הנכונה היא- כל התשובות לא נכונות? אני זוכר שלמדנו משפטון שאומר שאם v1,..vk בת"ל בסיס לV אםאזי Tv1,..Tvk בתל כלומר 3 היא התשובה הנכונה.. לא? תודה! ===תשובה===המשפטון שאתה מזכיר מחייב T '''חח"ם spanBע'''. למשל העתקת האפס תהווה דוגמא נגדית לסעיף זה =V =מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 4==הצלחתי להבין, בשיטת האלימנציה, שהתשובה היא T32=0, אבל אני ממש לא יודע בדיוק למה, אפשר בבקשה הסבר קצר על למה אפשר לדעת בוודאות שT32=0 ואיך אפשר להוכיח את זה? תודה! ===תשובה===נבנה בסיס לגרעין של ההעתקה. הגרעין של T^2 בהכרח '''גדול ממש''' מהגרעין של T אחרת ההעתקה תתקע על אותו מצב ולא תתאפס בחיים (לפי הגדרהאבל נתון שהיא מתאפסת). ולכן מימד הגרעין גדול ב1 לפחות. אחרי 32 צעדים כאלה נגיע לגרעין בגודל 32 - כלומר העתקת האפס. מדוע ההעתקה תתקע? אני אשאיר את זה כתרגיל.:למה גרעין בגודל 32 הוא העתקת האפס? כי המימד הוא 32?:וזה נכון לומר שהגרעין של TT חייב להיות גדול ממש מהגרעין שלT כי אם בנוסף B בסיס לU היה להם אותו מספר של איברים בגרעין אז מה שמאפס את T^1024 מאפס גם את T^1023 ואז זה אומר ש T^1023 הוא העתקת האפס, וככה עד שמגיעים ל-שT היא העתקת האפס תמיד, אבל יודעים שהיא לא העתקת האפס תמיד? תודה ::קודם כל כן, אם הגרעין בגודל 32 אז הוא כל המרחב ולכן זו העתקת האפס. ::שנית, לא זו לא הוכחה נכונה. צריך להוכיח שאם נשלים את הבסיס של הגרעין של T^n לבסיס למרחב כולו, אזי spanBהוקטורים שהשלמנו מהווים גם בסיס לתמונה של T^{n+1} ואז ברור שההעתקה חוזרת על עצמה. לא בטוח שזו הוכחה כל כך פשוטה. =U מכאן נובע =מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 1==כל מה שאני יודע הוא שהאפסיות של T היא לפחות 1 כי בטוח שV שהוא לא וקטור האפס נמצא בגרעין, וגם ש TT=0 ולכן לכל u מתקיים T(Tu)=0 ולכן התמונה מוכלת בגרעין ולכן dim(ImT)<=dim(KerT). אבל כל מה שזה נותן לי זה שהמימד של Vהוא לא אפס! אפשר עזרה? תודה רבה!=U==תשובה===המימד הוא בטוח לא 4 כי 4 זה המימד של כל ההעתקות הלינאריות, והקבוצה הזו לא מכילה את כולם. המימד הוא גם לא אפס, יש יש העתקות שונות מאפס כאלה. נותר לבחור בין 1 לבין 2. נשלים את v לבסיס בעזרת u. אם ההעתקה שונה מאפס, u חייב להשלח לסקלר כפול v (אחרת פעם שנייה שנפעיל את ההעתקה היא לא תתאפס, ישאר שם גורם עם u.) לכן כל שתי העתקות יהיו ת"ל על ידי איפוס הסקלר הזה, ולכן המימד הוא אחד.:תודה רבה, רק עוד שאלה קטנה, איך יודעים שהמימד של כל ההעתקות הוא 4? תודה! ::זה משפט שיש איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות למרחב המטריצות. ואנחנו יודעים מהו המימד של מרחב המטריצות 2 על 2:::הבנתי, תודה! ==שאלה על מכפלת מטריצת הפיכה והשחלוף שלה==טענה: עבור <math>A</math> הפיכה הרי שיתקיים ש- <math>A^t</math> הפיכה (עפ"י משפט) ולכן <math>A^tA</math> הפיכה כי מכפלת שתי מטריצות הפיכות תתן מטריצה הפיכה נוספת.השאלה שלי האם זה הסבר מספק לקיום טענה זו. אם לא, מה עליי להוסיף?ובלי קשר, האם עליי להוסיף הערה מדוע המכפלה <math>A^tA</math> מוגדרת או שזה ברור?תודה, גל. :בגדול זה בסדר, תלוי מה אתה נדרש להוכיח. בזמן מבחן שואלים את המרצה אם צריך להוכיח כך וכך. :: אוקי תודה. האם יהיו מתרגלים או מרצים כלשהם במבחן (אלי אמר שהוא לא יהיה)? אם כן, איך זה הולך? אתם נכנסים לשאלות או שחייבים לשאול לפני הבחינה? :::יהיה מי שיענה על שאלות בזמן המבחן (על שאלון המבחן ולא רמזים לפתרון כמובן) == קישורים למבחנים ==כשעשיתם עריכה לדף של לינארית הוצאתם את הקישורים למבחנים לדוגמא אפשר להחזיר אותם? תודה(::זה נמצא ב[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99&oldid=5475 היסטורית הדף]. ::הם פשוט הועברו בטעות לבדידה במקום ללינארית. הם הוחזרו למקום בדף של לינארית
==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחדנושא הדטרמיננטות כלול בחומר למבחן? אני לא מתרגל, אבל ודאי שלא ==שאלה דחופה==מחר צריך לבוא בזמן של ההרצאה (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan9) או בזמן של התרגול (13:00)?תודה רבה! :לא יודע מתי המרצים יגיעו. המתרגלים בגדול אמורים לבוא בזמן התרגול הרגיל. :לפי מה שידוע לי אצלנו (אלי)מתחילים ב-0900. מי שלומד עם אפי מתי צריך להגיע??לפי מה שזכור לי הוא אמר שהוא לא יבוא.. אנחנו צריכים לבוא ב9 או ב1?::אז כנראה שמי שלומד עם אפי צריך להגיע ב1, כי שיעור החזרה שלנו היה ביום שישי, ומחר יהיה לנו רק שיעור חזרה עם המתרגלים ב1.. ==חח"ע ועל של ה"ל==שלום רב,נניח ונתונה לי ה"ל <math>T:V->V</math>. האם נכון לומר ש <math>T</math> חח"ע אם"ם <math>T</math> על? ואם כן, האם עליי להסביר במבחן מדוע? תודה, גל.
===תשובה===
בשום צורה '''לא''זה נכון ונובע ממשפט הדרגה V=dimKer+dimIm (צריך לצטט את המשפט ולהסביר למה זה נובע) למעשה הטענה היא יותר כללית. תהי T:V->W כך שהמימדים של V,W שווים, אזי T על אם"ם T חח"ע. ==2.15ב'==אם אני רוצה למצוא את kerTa אז מה שצריך לעשות זה לכפול את המטריצה A במטריצה כללית מסדר 2x2 ולהשוות לאפס- ואז למצוא את המטריצה הכללית?- הכוונה במטריצה כללית זה שאני אסמן a b c d במקום קבועים במטריצה ואז אבדוק מה אני אקבל. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה. וזה יהיה הker? :כן, הגרעין זה מה שנשלח לאפס על ידי ההעתקה.
==שאלה==
האם כל span כולל את אפסאם אני יודע ש:<math>\dim (W+U)= \dim W + \dim U</math> וגם <math>\dim V= \dim W + \dim U</math>כאשר<math>U,W\le V</math> אז אני יכול להגיד ש:<math>U\oplus W=V</math> ?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.
הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים(לא אני שאלתי את השאלה) למה כן? אם למשל <math>U=\{(a, בפרט הצ"0,0)\}</math>, <math>W=\{(0,a,0)\}</math>, <math>V=\{(a,0,b)\}</math>? (כך ש-a,b שייכים ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסיםR):ומה ז"א: <math>U,W\le V</math>?::אתה צודק, זה לא נכון (לא אני רשמתי את התשובה הקודמת). אם נוסיף את התנאי ש-<math>U+W=V</math> זה כן יהיה נכון. <math>U,W\le V</math> משמעו <math>U,W</math> תת מרחבים של V.
== 7.20 =תשובת מתרגל===המשפט נכון, והרי הוכחה:
אפשר קצת הסבר נתון U,W תתי מרחב של V. אזי ברור ש<math>U+W\subseteq V</math>. לכן לפי הנתון <math>dim(W+U)=dimV</math> יש לנו תת מרחב עם מימד שווה למרחב ולכן הם שווים <math>U+W=V</math>. כעת לפי משפט המימדים <math>dim(U+W)=dimU+dimW + dim(U\cap W)</math> ולכן לפי הנתון <math>dim(U\cap W)=0</math> ולכן <math>U \cap W = \{0\}</math>. וזה מה שצריך על השאלה? אני מנת להוכיח סכום ישר. תודה רבה! ואגב לזה שהביא את הדוגמה, בדוגמה שלך W לא יודע איך להסתכל על תת מרחב של V.אפשר להשתמש בזה או שצריך להוכיח?:נכון, זהבגלל שלא הבנתי מה אומר סימן ה"קטן-שווה".מצטרפת לשאלה.מה עוזר לי הנתון שV מ::צריך להוכיח. ==char-ים במבחן==כמעט לא התעסקנו ב-char-ים בשיעורים, לא תרגלנו והמרצים/מתרגלים בד"ו מעל שדה F?ואיך כ הזכירו את זה בדיוקמתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים.כהערת אגב.יהיו char-ים במבחן? תודה, 16:11, 28 באוגוסט 2010 (IDT)
===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיסלא יהיה מעבר לדברים דומים למה שעשינו בכיתה.
אני אתן דוגמא==1.28==לא הבנתי את התרגיל בכלל. את <math>T(f)</math> אמנם מצאתי בלי בעיה, מקווה שזה יעזוראבל איך מוצאים את <math>T^{-1}(f)</math>? קראתי פה שאלה ותשובה:
ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>'''''איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?''''' '''יש כמה דרכים. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיסבתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).'''
ולא הבנתי בכלל. מה הקשר למטריצות? (אני יודעת מה זו מטריצה מייצגת, קראתי את הקובץ, וגם במחברת, ונראה לי שהבנתי, אבל מה הקשר לתרגיל הזה? בכלל לא הבנתי מה השימוש של המטריצה המייצגת, מלבד לפתרון של תרגילים מסוג "מצא את מטריצה המייצגת").
V הוא הוא ממימד 2 מעל F (ומה זה ברור). נמצא לו "בסיס מעל H: בתמונה", בתרגיל הזה הבסיס הוא <math>\{(1,0x,x^2\}</math>? את המקור אמצא בעזרת מערכת משוואת כזו: <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=1</math> ,<math>aT(i1)+bT(x)+cT(x^2)=x</math> ,0<math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x^2</math> ? ואז.. מה אני עושה עם המקור הזה? שוב,מה קשורה המטריצה המייצגת? תודה רבה מראש, מקווה להסבר מפורט. ---- ניסיתי עכשיו לפתור איך שראיתי לנכון, בלי מטריצות וכל זה... סימנתי <math>T^{-1}(0f)=mx^2+nx+d</math>. לאחר מכן אמרתי ש-<math>TT^{-1}(f)=I_{R_2[x]}(f)=f=cx^2+bx+a</math> (ה-<math>f</math> הוא סימון). מצד שני,<math>TT^{-1}(f)=T(T^{-1}(f))=T(mx^2+nx+d)</math> וזה שווה למה שמצאתי קודם,הרי יש לי את <math>T(0f)</math>. קיבלתי מערכת של 3 משוואות (לפי המקדמים של <math>x^2</math>,i<math>x</math>, <math>1</math>)\ואז ביטאתי את <math>m</math>,<math>n</math>,<math>d</math> באמצעות <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> וקיבלתי את <math>T^{-1}(f)</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H. בלי מטריצות, רק אלגברה. הגיוני? או שבכלל לא הבנתי את התרגיל?
==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?
===תשובה===
כן*למדנו הרי כיצד למצוא העתקה '''מפורשת''' באמצעות מטריצה מייצגת. זו ההגדרה של *אנחנו יודעים שהתמונה היא מרחב וקטורי, ולכן יש לה בסיסנסמן אותו <math>u_1,. Span(B)..,u_n</math>*נמצא w_i כך ש <math>Tw_1=V (פורש) ובת"לu_1,...,Tw_n=u_n</math>*לכן <math>T^{-1}u_i=w_i</math> וכך אפשר למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת כמו בתרגיל.
==שאלה 7.10==דרך שנייה:העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי *נמצא את המטריצה שהתקבלה.המייצגת של Tיצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?*נהפוך אותה על מנת לקבל מטריצה מייצגת של <math>T^{-1}</math>איך מנמקים *נמצא את זה?ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת, כמו בתרגיל.
====תשובה לתשובה====
תודה רבה על התשובה!
לגבי הדרך הראשונה:
*מה זה אומר העתקה '''מפורשת'''?
*האם לכל <math>T(u)=v</math>, מתקיים <math>T^{-1}(v)=u</math>?
*תודה, הצלחתי לפתור את התרגיל בדרך הזו! והתשובה יצאה לי כמו זו שיצאה בדרך שעשיתי קודם (זו שפירטתי למעלה). מעניין איזו קצרה יותר או עדיפה מאיזושהי סיבה. יש העדפה כלשהי באופן כללי, ובמבחן בפרט?
לגבי הדרך השנייה:
*המטריצה המייצגת של <math>T</math> שהיא במקרה הזה פשוט מטריצה <math>[T]_S^S</math> כאשר <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי של <math>R_2[x]</math>, בעצם מטריצה שעמודותיה הן (1,0,0), (0,2,3), (0,3,0) - כלומר הצורה הוקטורית של התמונות המתקבלות עבור מקורות מאיברי הבסיס. נכון?
*ישנו משפט שאומר שהמטריצה ההופכית של המטריצה המייצגת של <math>T</math> היא המטריצה המייצגת של <math>T^{-1}</math>? (זה קל להוכחה אבל האם צריך להוכיח בכל פעם?)
*איך מוצאים את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת? ואיזה תרגיל?
=====תשובה=====
*צורה בה אתה יודע לאין איבר כללי הולך. לדוגמא: <math>T(x,y,z)=3x+y+z</math>
*כן, זו כמעט ההגדרה של ההעתקה ההופכית.
*יש העדפה לדרכים שאני הצעתי, בניגוד לפתרון הרבה מערכות משוואות.
*לא עקבתי ביחס לתרגיל, אבל בגדול מה שאמרת נשמע נכון.
*צריך לצטט את המשפט בלבד אלא ביקשו מכם להוכיח במפורש
*עשינו תרגיל כזה בכיתה. אתה מחשב מטריצה מייצגת שמעבירה מהבסיס הסטנדרטי לאנשהו ואז אתה מקבל נוסחא כזו:
<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>
======השאלות שנשארו======
*בעצם מה שאני צריכה למצוא בתרגיל הזה. אוקיי תודה.
*וניתן להשתמש בזה בלי להוכיח, נכון?
*דרך הפתרון שלי דווקא פשוטה (רק 3 משוואות קלות), אבל באמת כדאי שאבין את עניין השימוש במטריצה המייצגת.
*טוב.
*מהו הניסוח המדוייק של המשפט הזה?
*הנוסחה היא ממש משפט, לא? אבל לא הבנתי מה כתבת פה: '''לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>.''' בבקשה תסביר ברור יותר, ממש חשוב לי להבין את זה (והתרגיל מהכיתה לא כתוב לי, העדפתי להקשיב).
*
*כן
*חשוב להבין כי יהיו שאלות '''ישירות''' על מטריצה מייצגת שלא תוכלי להתחמק מזה.
*
*תחפשי במחברת הרצאה הכי טוב
*הנוסחא היא משפט כן. את יודעת ש<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. מה המשוואה הזו אומרת? מצד שמאל יש את המכפלה של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>. מצד ימין מקבלים את הקואורדינטות של Tv לפי הבסיס B. לכן צירוף לינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים שהם המכפלה משמאל שווים בדיוק לTv (הרי זו ההגדרה של קואורדינטות).
מובן?
:אהה.. נראה לי שהבנתי! תודה רבה!! אנסה לפתור את התרגיל בשתי הדרכים.
==2.15==
מה הכוננה של (v(Ta בסעיף ב'? תודה
:ההגדרה בעמוד 56
==מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 10==
למה הטענות הנכונות הן א' וד'? אני חושב ש ב' וג' לא נכונות וגם א' לא נכון. למה א' נכון? א' אומר שכל הפונקציות מR לR הן כל הפונקציות הזוגיות סכום ישר עם כל הפונקציות האיזוגיות. זה לא נכון, כי יש פונקציות שהן לא זוגיות ולא איזוגיות ולא הסכום שלהן, כמו f(x)=x+1 או f(x) =rootX. (שורש של X). ויש גם פונקציות שהן גם זוגיות וגם איזוגיות, כמו f(x)=0 לא? כי אני זוכר מהבגרות שפונקציות זוגיות הן סימטריות ביחס לציר הX (מתקיים) ופונקציות אי זוגיות סימטריות ביחס לציר ה-X "ואז" לY (כלומר לשקף את מה שמימין לציר הX ומשמאל לציר הX ואז זה אמור להיות סימטרי ביחס לציר הY). אני טועה? תודה
===תשובה===
השאלה * כל פונקציה היא לא כמה שורות אפסים ישסכום של זוגית ואי זוגית, אלא כמה משתנים חופשיים ישספציפית עשינו את זה בתרגיל. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax<math>f(x)=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>
*אתה יודע למה ב' לא נכון? מעל הממשיים הוא כן נכון. הבעייה היא, למשל, מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> שם יש את המטריצה <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}</math> שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית ושונה מאפס.:שתי דברים: דבר ראשון, לא הבנתי מהדוגמה שלך למה כל פונקציה היא סכום של פו' זוגית ואי זוגית (ואני לא זוכר שעשינו את זה בתרגיל). דבר שני, אז מה אם הפונקציה f(x)=0, היא לא גם זוגית וגם אי זוגית? תודה ::אתה יכול לוודא בקלות ש<math>\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> אי זוגית ו<math>\frac{f(x)+f(-x)}{2}</math> זוגית. 0 היא בוודאי גם אי זוגית וגם זוגית. לכן החיתוך הוא אפס, בדיוק כמו שאנחנו מצפים מסכום ישר. = =מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 3==איך מוכיחים שקבוצה אוקי, עכשיו אני בטוח שיש פה טעות כלשהי. בתשובות כתוב שאפשרות 3 היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצההבחירה הנכונה, כלומר 3 לא נכונה. זה לא הגיוני, כי לפי השאלה, יש לבחור רק תשובה אחת לא נכונה, כלומר אם 3 לא נכונה אז 1 2 ו4 נכונות- אבל תשובה 2 אומרת שאף אחת מהתשובות האחרות היא אינה נכונה, שאת המשפט הזה אפשר להבין ב2 דרכים:-כל התשובות האחרות לא נכונות, שזה לא יכול להיות כי עם 3 הוא לא נכון זה אומר ש 1 ו4 נכונות בסתירה לכך שכל התשובות האחרות לא נכונות.-כל התשובות האחרות נכונות, שזה לא הגיוני כי 3 הוא לא נכון.אז נכון שיש טעות כלשהי?אני חושב שהתשובה ההגיונית היחידה היא 2. תודה
===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורותתשובה 3 היא משפט שקר.
הspan של הקבוצה אתה צודק שגם 2 הוא כמובן הspan משפט שקר, זה פשוט בלבול של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה)כותב השאלה.
כאשר יש מרחב וקטורי ==rank==הrank של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.מטריצת האפס הוא אפס, נכון?:כן
==טעות במספר תעודת זהות==שלום,בציוני הבוחן והתרגילים ישנה אותה טעות במספר תעודת זהות שלי,בשניהם כתוב 205403933 אך המספר הנכון הוא 205413933.אשמח אם תוכלו לתקן זאת :בסדר, תודה. ==שאלה על מימדיםrank==יהי T:V->V ה"ל וB,C בסיסים בV. מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0זה rankT? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {מה זה rank(a,b,0,0[T]BC) סכום ישר ? (0a,0,d,cכשBC אומר שיש B קטן בצד למעלה ימין של [T] וC קטן בצד ימין למטה)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?תודה
===תשובה===
המימד <math>rank([T]_C^B)</math> זה דרגה של מרחב האפס {0} הוא אפסהמטריצה המייצגת ואנחנו יודעים את ההגדרה של דרגה של מטריצה. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקההדרגה של העתקה rankT זה המימד של התמונה (עמוד 56 בחוברת).
==שאלה כלליתממבחן==האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"לבמבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 11, מה זה אומר שT היא מעל השדה Zp?זה אומר שהיא מZp לZp? מה זה אומר? איך זה יכול להיות שT היא מF לF כשF שדה, העתקה לינארית צריכה להיות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, לא? למה התשובה הנכונה היא 3? תודה.
===תשובה===
שורותיה השונות שדה הוא תמיד מ"ו מעל עצמו ממימד 1. לכן זו העתקה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי. בשאלה מסתכלים על F כמ"ו מעל Z_p בכלל. בכל אופן לא למדתם מאפיין ולכן השאלה לא ממש רלוונטית. ==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 10, למה התשובה היא א,ב,ג, ולא כל הטענות נכונות?? הצלחתי למצוא מטריצות כך שכל הטענות יהיו נכונות- א' וב' שתי מטריצות האפס ג' A מטריצת האפס וB מטריצה גדולה ללא אפסים ד' A מטריצה גדולה ללא אפסים וB מטריצת האפס.. ===תשובה===בד', AB=0 איך הדרגה שלו תהיה שווה לדרגה של A בדיוק? ==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 9, למה הפתרון הוא 3? שמתי משתנים, דירגתי והגעתי למטריצת הזהות, כלומר כל האיקסים שווים לאפס? זה בטוח לא יכול להיות <math>(0,t,0,0,0)</math>! יש טעות? תודה ===תשובה===למעשה המשתנה השני *חייב* להיות חופשי. בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס.כמובן שעוד פתרונות יתכנו, אבל לא פתרונות 1,2,4 בהם המשתנה השני אינו חופשי.:"בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס"- סליחה, ממש לא הבנתי למה התכוונת. מה זה איבר פותח, למה המשתנה השני חייב להיות חופשי, מה זה אומר שאם לא היה איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת? גם אם הייתי יודע מה זה איבר פותח, למה דווקא המשתנה השני חייב להיות חופשי, למה לא השלישי הרביעי החמישי או הראשון? תודה ::כמו שאמרתי, חלק מהאחרים גם יכולים להיות חופשיים. אבל השני '''חייב''' להיות חופשי. איבר פותח או איבר ציר זה האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס. איך יודעים אם משתנה הוא חופשי? אם אין איבר פותח בעמודה שלו. האופציה היחידה לשים איבר שונה מאפס בעמודה של המשתנה השני היא בשורה האחרונה. אבל השורה האחרונה חייבת להיות שורת אפסים על מנת שהמטריצה תהיה אכן מדורגת.:::מה?? המשתנה השני חייב להיות חופשי כי אין איבר פותח בעמודה שלו? אבל אפשר להחליף בין העמודה השניה לחמישית! והשורה האחרונה לא חייבת להיות שורת אפסים, דירגתי והגעתי לשורה ראשונה עם איבר פותח בעמודה הראשונה, שורה שנייה עם איבר פותח בעמודה השניה וככה לכל השורות! ::::אי אפשר להחליף עמודות, ממתי מותר? נתונה מטריצה '''בצורה קנונית'''. אתה לא יכול לשים איזה מספרים שאתה רוצה, רק מספרים שישאירו את המטריצה מדורגת הן קנונית. נובע מכך, '''בהכרח ''', שהשורה האחרונה היא שורת אפסים. אחרת יש איבר פותח שאינו נמצא מימין ממש לאיבר הפותח שלפניו (והאיבר הפותח לפניו בעמודה האחרונה). ==שיעור חזרה ביום ראשון==שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים? פשוט אני עוברת על כל המחברת ועד עכשיו יש לי בערך 7 שאלות, כדאי לשאול אותן פה, או לחכות לשיעור? (קשה יותר לשאול ולהסביר פה..) ===תשובה===שיעור החזרה יהיה עם חומר מוכן מראש. פרט לכך, נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא כל המתרגלים, אבל לפחות אני). בנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי. :תודה על התשובה המהירה! מי אתה? ::ארז.:::אה יופי אתה המתרגל שלי. ==עמוד 49 שאלה 11.8==עבור מטריצה A=1-0-0,0-1-0 (מסדר 2 על 3), אני טוענת ש-rankA=2. צריך להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"? תודה. ===תשובה===מה הכוונה לפי הבסיס הסטנדרטי? ניתן לומר "זו מטריצה מדורגת. דרגת המטריצה שווה למספר השורות השונות מאפס בצורה המודרגת שלה. יש פה 2 שורות שונות מאפס":טוב.. פשוט זה נורא ארוך לתרגיל שכולו 2 שורות ><. תודה.:יש לי רעיון, אכתוב "דרגת מטריצה מדורגת שווה למספר השורות השונות מ-0 בצורתה המדורגת" ואסמן בכוכבית, ואז בכל פעם אכתוב "לפי * rankA=2". אחרת, זה נורא ארוך וסתמי, לחזור על אותו המשפט 9 פעמים! ==שאלה ממבחן 2005 מועד א==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 2, z^3=x3 כשx שווה לצמוד של z. למה אף אחת מהתשובות לא נכונה? יצא לי שim(z)=0 גם כשהתעסקתי בZ כa+bi וגם כrcisO. זו טעות או שאני טועה? תודה ===תשובה===מה לגבי <math>cis(\frac{\pi}{3})</math>? ==2.11==בשאלה 2.11 בב' כתוב שיש העתקהה s:v -> v וs לא שווה לאפס. לא נאמר ש S העתקה לינארית, האם כשאני מוכיל שב' שקול לא' אני צריך להוכיח שS לינארית, או שהיא סתם העתקה?תודה ===תשובה===הכוונה לS העתקה לינארית, אחרת מה קשור משפט ההגדרה? ==שאלה ממבחן==אם נתון לי ש:T(1+2x+xx)= (1,1,2):T(1+x+2xx)=(2,1,1):T(2+x+xx)=(1,2,1)אז אני יכול להגיד שפשוט T(axx+bx+c)= (c,b,a) ואז זה ממש ממש פשוט להוכיח שT חח"ע ועל?ועוד שאלה קטנה, כתוב בתחילת השאלה שT העתקה לינארית, אז זה אומר שכדי להוכיח שT איזומורפיזם אני לא צריך להוכיח שהיא העתקה לינארית נכון? תודה. ===תשובה===אי אפשר פשוט להגיד את זה, צריך להוכיח את זה. אף פעם לא צריך להוכיח את הנתון. אם רשום "נתונה העתקה לינארית" אין צורך להוכיח את זה. ==2.8==סלחו לי אם אני כותב את התשובה, אבל לא קיבלתי מענה האם ההוכחה שלי נכונה או לא- האם אני יכול להוכיח שv=imT1=imT2 כך?x שייך לimT1 וy שייך לimT2 וv שייך לV.:x+y /T1() -> =T1(x)+ T1(y) /+T2(v) -> =T1x+T1y+T2v ->T2() -> =T1T2x+T1T2y+T2T2v =0+T2T2v =T2v:v /T1() -> =T1v /+T2v -> = T1v+T2v =Iv=v /T2() -> =T2v(עשיתי אותן פעולות והגעתי לכך ששני האגפים שווים). ואז רק להוכיח שחיתוך הimים זר, וזה בסדר? או שזה לא נכון? תודה! :לא קיבלת מענה, כי בשביל זה יש בדיקת תרגילים. ביום ראשון יפורסמו פתרונות לתרגילים בכל מקרה.::אני לא יקבל את התרגיל עד המבחן ואני רוצה לדעת אם הפתרון שלי גם בסדר... :::אז תשאל שוב יום ראשון.::::למחוק את השאלה? :::::זה בסדר, תודה :) ==6.14==סעיף א: האם צריך להשלים את הה"ל לפי הבסיס הסטנדרטי , ואז למצוא את T בצורה מפורשת? וכן בסע' ב' האם לשלוח את הוקטורים הנתונים ל-0, ולהמציא וקטור שלישי (בת"לבשניים הנתונים) ו"לשלוח אותו" לסתם וקטור כלשהו, ואז למצוא את T. אף שורה איננה צ.. אבל אז סע' ב' וג' יכלים להיות זהים? נכון? ===תשובה===בסעיף א' צריך למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת. מה להשלים למה זה בחירה שלך, העיקר שיקיים את תנאיי הסעיף. כנ"ל לגבי הסעיפים האחרים. בוודאי שכל העתקה לינארית מסעיף ג' עונה על התנאים של קודמותיהסעיף ב'.====שאלה בקשר לתשובה====האם צריך להראות איך הגענו לההעתקה המסויימת או שפשוט להראות שהיא מקיימת את התנאים? =====תשובה=====צריך לפרט בתרגיל הזה, שכן הוא בוחן את ההבנה של משפט ההגדרה, ומציאת העתקה המפורשת מתוך ההגדרה:התכוונתי האם צריך להסביר איך הגעתי להעתקה עצמה או להראות שזה מתקיים עבור בסיס כלשהו ואז להשתמש במשפט ההגדרה ולהגיע לכללית? (האם צריך להסביר למה בחרתי ככה את ההעתקה עבור האיברים של הבסיס ואיך הגעתי אליה??) ודבר נוסף האם מותר לי להגדיר את ההעתקה שלי כלינארית ואז להשתמש במשפט ההגדרה (כי אני נותן את הערכים שאליהם נשלח הבסיס) ולהגיע להעתקה הכללית? (מותר לי להגדיר אותה כלינארית בכלל בתרגיל הזה? לא שאני רואה דרך אחרת..) ==1.28==האם זה נכון להוכיח ש imT1=kerT2, ומכאן נובע שהסכום ישר לפי 2.7 ב. כי T2 אידמפוטנטית? ===תשובה===אם זה נכון זה בסדר, ואם זה לא נכון אז לא :) ==כמה שאלות==*'''דורש הוכחה או טריוויאלי?''' קבוצה D פורשת מ"ו V. ב-D יש לה אפסים במקומות בהם n איברים. האם צריך להסביר למה מכך נובע ש- dimV<=n? (אפשר להניח בשלילה ש-k=dimV>n ואז אם d שייך ל-D, נוסיף ל-D עוד k-n איברים מהצורה ad כאשר a בשדה. נקבל קבוצה חדשה E שפורשת את V וגם dimE=k לכן E בסיס ל-V, אבל E ת"ל כי <math>d+a_1ad=0</math> כאשר <math>a_1</math> בשדה אבל <math>a_1=-a^{-1}</math> שונה מ-0. קיבלנו סתירה לכך שבסיס הוא בת"ל, מ.ש.ל) ההוכחה די ארוכה והיא לא מטרת התרגיל (11.2), אבל מצד שני, האורך שלה מראה על כך שהיא לא ממש טריוויאלית.. בקיצור - צריך או לא צריך?*מה זה cspan? אם יש לשורות הקודמות כזה דבר בכלל..?*הציון שלי של תרגיל 3 לא מופיע, למה ומה לעשות בנושא? (הגשתי אותו!) תודה מראש!! ===תשובה===*לא צריך להוכיח את זה אלא מבקשים במפורש. מספיק לצטט את המשפט מההרצאה. *אני מנחש שזה קיצור של Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם ראיתם את זה בהרצאה או לא. *לשלוח למתרגל שלך מייל בנושא. ====תשובה לתשובה====תודה!*איזה משפט בדיוק?*אני ראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...*אוקיי תודה. :לא יודע, תפתח מחברת ותחפש. כנראה שיהיה מספיק לכתוב "לפי משפט, מספר האיברים בקבוצה פורשת גדול או שווה למימד" ::נראה לי שהמשפט שאומר שאם יש קבוצה שפורשת את V, וקבוצה בת"ל מוכלת ב-V אז מספר האיברים בפורשת גדול שווה ממספר האיברים בבת"ל. ==המבחן==ביום שלישי יש מבחן בלינארית. כמה זמן המבחן? מתי הוא מתחיל? כמה שאלות? מה המבנה? ===תשובה===מה שאמרו בהרצאה. אם לא אמרו, אפשר לשאול ביום ראשון בחזרה מה אמרו בהרצאה? אני לא יכול להגיע ביום ראשון לחזרה, אתם משאירים אותי פה במתח. == 11.10 ==האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)? ===תשובה===לא, זה לא נכון. קח (A=(-B ==שאלה 6.14==אפשר הכוונה לגבי 6.14? תודה רבה! :הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, השלמה לבסיס. אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.::התכוונתי לגבי א'. תודה:::כן, לגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא המרחב הנפרש על ידי ה-w_i מהמשפט. ==2.8==מה זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? או מה? זה ממש לא מובן. תודה ===תשובה===תקרא את אותה שאלה עם התשובה למטה.:סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו את זה אבל לא נורא. תודה ::אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את זה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן.===שאלה נוספת===וכשכתוב בב' T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של העתקות, כמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה :ואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו <math>T^2=TT=T\circ T</math>::אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.===עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון===האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם זה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר. זה בסדר? תודה! :אין עובדה שזה סכום ישר, זה מה שצריך להוכיח. אם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר. :ואתה לא צריך להראות שסכום של x וy הוא איבר בV זה טריוויאלי מסגירות. אתה צריך להוכיח ש'''כל''' v בV הוא מהצורה v=x+y עבור x,y כלשהם בIm-ים המתאימים.::אוקיי, אז אם אני לוקח v ששייך לV, ואחרי כמה פעולות מגיע ממנו לX+Y, זה בסדר?::האם מותר לי גם (יהיה לי הרבה יותר קל אם כן) להניח שקיימים v,x,y כמו מקודם, ואז להראות אחרי כמה פעולות ש v=a וגם x+y=a::(a ביטוי מסוים שלא אכתוב כדי לא לגלות את התשובה). זה בסדר? אפשר להגיד שאם זה ואם אין חיתוך בין הim-ים, אז ה-דרוש מתקיים?::ועוד דבר, אני יכול להניח שT1 וT2 הפיכות? תודה! ::: אי אפשר להניח דברים שלא בנתון. ושוב, אתה חייב להראות ש'''כל''' v הוא מהצורה הנ"ל. איך תעשה את זה? זו החלטה שלך. הניסוח שלך קצת מצחיק- תקח x,y,v כללים ותוכיח שתמיד x+y=v? הרי וודאי לא יכול להיות שתצליח בזה. ==2.7==אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה שהם מבקשים? או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות?(לפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני וניתן לסתור אותו,אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא?) ===תשובה===הלוגיקה חשובה במתמטיקה. אני אענה לשאלה, אבל חשוב לי להבהיר שאתם צריכים להיות מסוגלים להבין שאלה כזו לבד. כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת. במקרה הזה המשפט הוא:'''T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.''' אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה). לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות '''וגם''' שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.:ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה::יופי. תמיד טוב לשאול.===שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה===רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא? יש לשים לב כי העתקה אידמפוטנטית מוגדרת <math>T^2 = T</math> פרט ל-0 (בדר"כ) - בהסתמך על הערך "אידמפוטנט" [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%9E%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA] == 1.28 ==המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?(לא ענית לי למטה..)תודה! ===תשובה===כי מה שרשמת זה לא מטריצה. העמודות של המטריצה צריכות להיות וקטורי הקואורדינטות, בוודאי פולינום אינו יכול להיות עמודה של מטריצה. ממליץ בחום רב לקרוא את המסמך על קואורדינטות ומטריצות מייצגות, יש שם דוגמאות והסברים לכל התהליך. ==שאלה (שקשורה ל6.14)==האם העתקה T:V->W חייבת להיות מוגדרת לכל v בV? אני יודע שבהעתקות, לא חייב להיות לכל וקטור בW מקור, כי אני זוכר שהעתקה יכולה להיות על ולא על, אבל האם היא חייבת "לקחת" את כל הקטורים מV אל איברים פותחיםבW אל לא?למשל, אם אני מגדיר העתקה מR4 לR4, האם אני יכול להגיד אותה כך? T(a,b,00) = T(0,0,a,b) אפילו שהוא לא מוגדר לכל V, או לא? תודה ===תשובה===חייב להיות מוגדר לכל v, באופן כללי פונקציה צריכה להיות ח"ע ושלימה (כמו בבדידה) == 1.14 ==אפשר בבקשה הכוונה איך אני מוכיח את א'? עם ב' הסתדרתי.. :אין סעיפים בשאלה 1.14 ::התכוונתי להעתקת האפס!! :::מוכיחים את זה באמצעות הקריטריון המקוצר לבדיקת העתקה לינארית. ::::אני יכול לעשות מעבר כזה: T(v+u) =0 כיוון ש לכל v ששיך לV מתקיים T(v)=0? :::::מן הסתם... זו ההגדרה של העתקת האפס. :::::תודה:)
==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבאהדרגה של מטריצה עם 2 שורות ו2 עמודות שונות משורות אפסים, היא 2 או 4?לפי תשובה קודמת, נראה שכתבתם שהדרגה היא 2,<math>spanאבל זה מביא לסתירה מסוימת, כי אם rank(A+B)=span2 אם A מטריצה מגודל 2 על 2, אז זה אומר גם שהמימד של המרחב R2x2 הוא 2, לא? אבל חשבתי שהמימד של המרחב R2x2 הוא 4, כי בבסיס שלו 4 איברים {(span0,0,0,1)(A\cup B0010)(0100)=span(A\cup B1000)} ? איפה אני טועה? תודה =A\cup B=span=תשובה===לפי תשובה קודמת, ראינו מטריצה כזו עם דרגה 1. אין קשר בין המימד של מרחב המטריצות, לפי המימד של מרחב השורות של המטריצה. הדרגה של מטריצה בגודל nxm היא קטנה שווה למינימום בין n,m. לעומת זאת מימד כל המטריצות הוא nm. אם המטריצה בצורה מדורגת, הדרגה שלה היא '''מספר השורות השונה מאפס'''. בפרט, הדרגה לא יכולה להיות גדולה ממספר השורות.:כמה שאלות: -מהי הגדרה של הדרגה של מטריצה? אם היא קטנה או שווה למינימום בין M,N, זה אומר שאי אפשר לחשב אותה במדויק?:-אם יש מטריצה (Aמטריצות)\cup spanשנראית כך: a, b, c, a+b+c :(Ba וb בשורה הראשונה וה2 האחרים בשורה השניה)</math>, אז מימד המטריצות האלה הוא עדיין MN? אפילו שאחד האיברים במטריצה תלוי באחרים?:-rankT כך שT הוא ממטריצות MxN למטריצות מאותו הגודל, הוא MN או המינימום? יש דבר כזה rankA וגם rankT כשA מטריצה וT העתקה? הם 2 סימונים ל2 דברים שונים? תודה מראש...רבה
===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחבההגדרה רשומה בעמוד זה, מספר פעמים. למשל [[#שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונותלתשובה]] ושתי שאלות מתחתיה.
המעבר הראשון הלא חוקי אם תיקח תת מרחב של מרחב כל המטריצות שלא מכיל את כל המטריצות האפשריות, המימד שלו בהכרח יהיה קטן יותר. לגבי הדוגמא הספציפית צריך לוודא שזה אכן תת מרחב אחרת אין הגדרה למימד שלו. rankT היא הדרגה של העתקה, אני לא יודע אם למדתם את זה או לא. אם כן, יש הגדרה במחברת שלכם. אם T העתקה לינארית ממרחב המטריצות למרחב המטריצות, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ממימד NM ולכן המטריצה שמייצגת אותה היא מגודל NMxNM, ולכן יכול להיות שהדרגה של המטריצה המייצגת הינה NM.::::תודה לגבי כל השאר, יש לי רק עוד דבר לא פתור: נניח שיש מטריצה (משמאל לימיןבוא נגיד, מסדר 2 על 2) כאשר אחד או יותר מהמקומות במטריצה הוא שאפשר להוריד תלוי\ים במקומות האחרים (כמו בדוגמה שנתתי קודם, רק אם הדוגמה שנתתי לא טובה (כי היא לא תת מרחב וכדומה) אז דוגמה אחרת דומה -- המימד של המטריצות מהסוג הזה הוא עדיין MxN או לא? תודה. דוגמא: יהי מרחב המטריצות <math>V=F^{2\times 2}</math> ויהי <math>W=\{A\in V : a_{11}+a_{12}+a_{21}=a_{22}\}</math>. אזי קל לוודא שW תת מרחב של V ושהבסיס שלו הינו <math>B=\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\}</math> לכן המימד של W הינו 3. המימד של V לעומת זאת הוא 4. :איך מצאת את הspan ולהשאיר שיוויוןהבסיס של W? == 1. 28 ==מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצההכוונה וקטור כללי מ R2[X ? הרי הקבוצה יכולה להיות סופיתנניח (1, ואוסף כל הצירופים הלינאריים 1,1) הוא אינו סופי טוב? ===תשובה=== 1. (מעל שדה אינסופי כמובן1,1,1)הוא וקטור '''ספציפי''' - ההפך מ'''כללי''' 2. במרחב הפולינומים <math>\mathbb{R}_2[x]</math> הוקטורים הם '''פולינומים''' מדרגה קטנה שווה 2. לכן וקטור כללי במרחב זה הוא <math>a+bx+cx^2</math> :את האמת שזה מה שחשבתי רק שלא הייתי בטוח..:בכל מקרה, איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה? ::יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית. :::ראיתי הגדרה שאומרת: תהי f:A->B פונקציה. אם קיימת g:B->A כך ש f הרכבה g =למטריצה היחידה של A ו g הרכבה f= למטריצת היחידה של B נאמר :::שf הפיכה וg נקראת הפונקציה ההופכית של f.:::אי אפשר להשתמש בזה עבור הרכבה של העתקות לינאריות? :::: אפשר לומר את זה על העתקות לינאריות, עם הסייג הבא: הרכבה של העתקות לינאריות אינה מטריצה אלא העתקה. כלומר ההרכבה של ההעתקות היא ההעתקת הזהות והמכפלה של המטריצות המייצגות היא מטריצת היחידה (שכן המטריצה המייצגת של העתקת הזהות מבסיס לעצמו היא תמיד מטריצת היחידה). ::::המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?
== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?
2צריך למבחן לדעת את העתקת האינטגרל, הנגזרת ועוד נושאים המוזכרים בחוברת של בועז צבאן ולא למדנו אותם?? === תשובה===אין צורך לדעת דברים שלא נלמדו בהרצאה, בתרגיל או נתנו בשיעורי הבית. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית כמובן שלא מזיק לפתור תרגילים נוספים, אבל אין צורך לזכור הגדרות אחרות. ==שאלה למתרגלים (או למתרגל הספציפי שלי, אדם צ'פמן==למדנו נושא שלם (דטרמיננטות) שלא הזכרנו אותו אפילו בתרגול עם אדם צ'פמן. למה?המרצה אמר שהוא יכול להיות במבחן!תודה. :מוזר, אנחנו מהקבוצה השנייה(עם אלי בגנו) לא למדנו דטרמיננטות בכלל גם לא בתרגול.
===תשובה===
1אם הנושא יהיה במבחן, הוא יהיה בהתחשב בכך שלא היה תרגול. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטוריםבהסמך על מה שלמדתם בהרצאה בלבד.
2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסיםכמובן שלמי שלא למד את זה בהרצאה, זה לא יהיה במבחן.
:לגבי 1==תרגיל 11. 8==מבקשים ממני בתרגיל לתת דוגמות למטריצות אשר מקיימות את התנאי המתבקש.האם אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,צריך להסביר כיצד הגעתי לדרגה של המטריצות A ו-B שבחרתי או שפשוט לכתוב: "דרגתה של המטריצה A שנבחרה היא ..,an},{b1,."ואותו כנ"ל עבור AB..,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?
::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצהתודה מראש, ולא וקטור עמודהגל. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?
::אני מניח שהתכוונת ל::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זהרק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען.
::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית==תרגיל 11.2==האם x הוא בהכרח וקטור מסדר n*1 או שהוא יכול להיות מטריצה?
===תשובה===
הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת)
:תודה!
:ועוד שאלה: כאשר נתון ש-<math>V</math> הוא מרחב העמודות של <math>A</math>, האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: <math>V=span\{v_1,v_2,...,v_n\}</math> כאשר <math>v_1,v_2,...v_n</math> הם וקטורי העמודות של <math>A</math>?
== שאלה לתשובה ==::כן, זו ההגדרה.
רציתי לשאול עוד בנושא==בסיס==הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2, נניח ואני מגיעה לכך ש <math>{a1u1+...anun}ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,{b1u1+..+bnun}.,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,{c1u1+ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,..+cnun}</math> שונים מאפס ובת.xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"לם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי.האם אני יכולה להסיק ש <math>{כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,..an}.,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,{b1..bn}.,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,{c1xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+..cn}</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת.+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל. השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל?נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש...
==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?
===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם '''בת"ל'''השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). אחד התנאים בלבד אינו מספיקכמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחבאלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות.
לדוגמא:<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל אבל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא בסיסריבועית.
אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינםבעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות.
==שאלה 611.4א10 ==בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות?אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגילמה הדרגה?
===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון.
===שאלה על התשובה===את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל.
== שאלה לתשובה ==
====דוגמא====ניקח <math>B=\{(1תודה על התשובה אבל לא כ"כ עזרת לי,0ברור לי שאי אפשר להניח משהו שהוא לא נתון,1)השאלה שלי היתה האם כדי להוכיח את מה שרצו אני מניחה שהם בת"ל,הרי במקרה כללי אני חייבת להניח את זה..לא?ובנוסף לא ענית לי מהי הדרגה של מטריצה(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1כללית,0כלומר שלא יודעם את אבריה)\}\subseteq \mathbb{R}^3<MXN?מימד מרחב השורות/math>העמודות?
<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>==תשובה===זה כמו לשאול: האם x זוגי? התשובה המתבקשת כמובן היא תלוי מהו x.
אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון?
במילים: יש צירוף לינארי אין כזה דבר דרגה של A וצירוף לינארי מטריצת כללית. שוב, הדבר דומה לשאלה מהם הגורמים הראשוניים של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפסמספר כללי x.
כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל. באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה =מימד מרחב העמודות = שאלה 3 ב בבוחן מימד מרחב השורות =מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית =שלום, לא הבנתי למה הזווית מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של 1המטריצה ==תרגיל 2.8==מה הכוונה ב(א) שכתוב <math> T1 +i היא בדיוק פי חלקי ארבעT2 = Iv </math> ? כלומר מה החישוב שעושיםהכוונה בחיבור העתקות ליניאריות?תודה רבה... XD
===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - <math>tgHom(\thetaV,W)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>:
יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי <math>\forall v\in V :D(v)= שאלה 1 ב' בבוחן S(v)+T(v)</math> ===תשובה לתשובה==בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור aתודה רבה XD :P :) :D ==מרחב עמודות ***עוד שאלה***==0 אני לא מצליחה!אתה יכול לפרט יותראיך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A?איך מוצאים את הבסיס?מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.
===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות *הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה. *אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:**שחלוף המטריצה A**דירוג המטריצה המשוחלפת**שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר בודקים מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)*מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.:תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה 1 2 2 4 הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה. :הדרגה היא אחד. המושג הכללי שאתה מתאר (מספר השורות שלא תלויות אחת בשנייה) מוגדר במדויק - הוא נקרא מימד. מימד הוא מספר האיברים בבסיס. ואם תביא את המקרה aהמטריצה הזו לצורה מדורגת תראה בקלות שיש רק שורה אחת שונה מאפס בצורה המדורגת, והיא מהווה בסיס למרחב השורות. ==תרגיל 11.2ב==מהי המטריצה A|b? :המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b. == סכום ישר == לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא? גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי, V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0 זה מקור הטעות, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w צ"ל : 1. U+W מוכל בV. 2.V תת מרחב של U+W 3.U חיתוך W שווה 0. למה צריך להוכיח את 2?? ===תשובה===הביטוי <math>V=U\oplus W</math> אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה: א. V=U+W ב. <math>U\cap W = \{0\}</math> על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון). ב' הוא בדיוק 3 שלך.
תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>