'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4
=שאלות=
=שאלות=שאלה כללית == ציונים סופיים ==האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"עוד מעט מתחיל סמס א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב',מתי יפורסמו הציונים הסופיים?) == 8.2.1/2פגישה==בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?הפגישה היום (כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחוםי"א תשרי)בקשר לרישום, היא עם הורים? עוד שאלה, באיזה שעה היא ואיפה? ==7.7 שאלה בקשר לפתרון של מועד ב'==בשביל להוכיח את ב' בשאלה 8 א כתבת ש (1,0) != (1,6) אבל אנחנו נמצאים בz3 אז זה לא השתמשתי בנתון אומר ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו(1,6)=(1,0) ואז הטענה אינה נכונה? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...
===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>נכון! בכלל לא שמתי לב לשאלה. מזל שאני לא נבחנתי על זה. אני אתקן ואעלה מחדש
dimU=dimV=2 אבל <math>תרגילים נוספים?==שלום רב,האם היו תרגולים נוספים אשר היינו אמורים להגיש (בחלקו העליון של דף זה נכתב: "הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:):") או שזו טעות? תדה מראש. ===תשובה===זה לא קשור לקורס הזה בשום צורה, הייתה טעות... פה יש 5 תרגילים בלבד ==ציוני תרגיל==הגשתי את תרגיל 4 ומופיע כאילו לא הגשתי אותו (מס' ת.ז. 205632516)==שאלה 1.ג במבחן==האם כדי להוכיח סכום ישר, לא צריך להוכיח גם סכום ז"א ש- U\neq +W=V</math>. ===תשובה===ברור שכן, שכחתי להוסיף את זה. אני אעלה עוד כמה דקות תוספת לפתרון. :העלאתי את התוספת הדרושה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:52, 13 בספטמבר 2010 (IST) ==תרגילי בית==היכן ניתן למצוא תרגילי בית שלא קיבלתי חזרה? :לא ניתן למצוא אותם בשלב זה. == בקשר לציוני התרגיל ==אנחנו נקבל את הציונים של תרגילים 4 ו5?עברו כבר שבועיים והמבחן.. אני צריך לדעת בשביל להחליט אם לעשות מועד ב'. ===תשובה===הנה רשימת הציונים שיש בינתיים '''[[מדיה:10Linear1TargilTempGrade.pdf|ציוני תרגיל 1-4]]''' ==בקשת הבהרה==למה כוונתכם באמירה "הבוחן יהיה ציון מגן בלבד":1. אם הוא גבוה משיעורי הבית אז הוא יהיה במקומם.2. אם הוא גבוה מהמבחן אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים.3. אם הוא גבוה מהשיעורים אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים.4. אחר? תודה, גל. ===תשובה===מתוך ציון התרגיל בלבד הוא מגן. כלומר המבחן 80 אחוז בכל מקרה (אמנם זה כמו שרשמת, אבל רשמת רק אופציה אחת). אם הוא גבוה משיעורי הבית זה יהיה 10 אחוז 10 אחוז, ואם נמוך זה יהיה 20 אחוז שיעורי בית.
====תשובה לתשובה====
תודה!רבה על התשובה המהירה.כרגע רשום באתר המידע האישי שהמבחן 85%, אני מניח שזה יתעדכן?ומתי נקבל את ציוני תרגול 4-5 ואת השקלול הסופי של הציונים בתרגולים?שוב תודה, גל.
אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V"זה מוזר שרשום שם 85. מהו המשפט הנכון?:"..או שזה יתעדכן או שזה ישאר ככה.אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איבריםאני לא חושב שזה הפרש משמעותי במיוחד...."::"יהי V מ"ו תקבלו את שאר הציונים כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V"אני אקבל אותם. תודה רבה!
==ציונים==מתי יפרסמו את הציון הסופי או את הרכב הציון (אחוזים לכל דבר)?זה יכול להשפיע בהחלטה האם לגשת למועד ב'.אשמח לתשובה מהירה. ==שאלה 8==:האתר לא פועל בחגים, ואני עוד לא ראיתי את הציון שלי, יש דרך כלשהי לראות את הציונים שלי?:ועוד משהו, הציונים שעלו, הם רק בלינארית, או שזה גם בבדידה? תודה רבה, ושנה טובה לכולם!==ציון ביניים==מה זה אומר בדיוק? וכמה עולה לצפות במחברות הבחינה? תודה.2(אגב, ציוני הביניים עלו!!): ציון ביניים = חלקי הציון הכללי לפני מעבר שקלול.1/2הציון הסופי יעלה רק לאחר שיעלו כל ציוני הביניים.: עלות צפייה במחברת בחינה 5 ש"ח דרך כ"א. אפשר לצפות בה דרך האתר, אפשר גם להוריד אותה (ע"י לחיצה על כפתור השמירה תוך כדי הצפייה במחברת). (אינני מתרגל) ==ציון מעבר==בסעיף ג' מותר לקחת בתור U והודיעו מתישהו מה הציון הכללי שצריך כדי לעבור? בכל מקרה, מה הציון?:באופן כללי באוניברסיטה ציון מבחן עובר הוא 60 [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:44, 7 בספטמבר 2010 (IDT)::מה זה אומר שהציון עובר, או נכשל -W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישרבמבחן?מה, אי אפשר לעבור את הקורס עם נכשל במבחן?:::התכוונתי לציון סופי, לא ציון מבחן. ציון סופי 60 זה עובר (במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים אחרי השקלול של ציון התרגיל). [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:10, 7 בספטמבר 2010 (IDT) ==פקטור==היה במבחן בלינארית פקטור? אם כן, כמה? ==אחוזים==בתחילת הסמסטר אמרו לנו שהציון מורכב מ: 80% מבחן, 10% בוחן, 10% ש.ב.. רציתי לדעת האם יש שינוי בהרכב הציון? :לא בטוח. אתם תראו את הציון הסופי כאשר הוא יופיע ==תרגולים 4-5==האם תעלו את הציונים שלהם בהמשך? תודה מראש.:כן, כאשר הם יתקבלו ==הערה==קודם כל אני רוצה להגיד תודה על כל העזרה עם השאלות באלגברה לינארית. אני יודע שזאת בקשה גדולה ואתם לא בהכרח הביטוי מימין חייבים להיענות לה, אך המתרגלים שעד עכשיו ענו על תשובות לאלגברה לינארית, יכולים לעזור גם מתקיים) <br>בבדידה? כי נראה לי שאף אחד לא נכנס לדף של בדידה... תודהרבה!! == פתרונות ==איפה מופיעים הפתרונות של המבחן???:'''[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון המבחן]]''' ==ציונים==איפה יופיעו הציונים?:ומתי?::לפי מה שידוע לי - בעוד כשבוע. אבל אשמח לתשובה ממרצה/מתרגל. ==תגובות לגבי פתרון המבחן==תיקונים: את שאלה 1 ו-4 לא עשיתי ככה שלא התייחסתי אליהם,בשאלה 2, הצבת את 1 במקום a ועדיין השארת a בפיתרון הכללי.. (ובמטריצה)בשאלות האמריקאיות- היה צריך להוכיח ולהפריך או רק לרשום כן/לא?תוכל בבקשה להעלות את ההגדרות, כי יש כמה גרסאות ורציתי לדעת אם יש הבדל, למשל:KerT= מרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 כאשר A מטריצה מייצגת העתקה T, נקרא הגרעין של ההעתקה T. (KerT)/מרחב הוקטורים שההעתקה T שולחת אותם ל-0.סה"כ את שתיהן המרצה כתב לנו ושתיהן הגדרות פורמליות..
===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.
צודק לגבי ההצבות, באמת טעות טפשית. לא היה צריך להוכיח או להפריך, אבל אחת המטרות העיקריות של התשובות היא שמי שצריך יוכל ללמוד מהפתרון למועד ב'. (וכמובן גם מי שלא ייגש - טוב שיידע את התשובות הנכונות). לגבי ההגדרות, אני לא יודע מה המרצים יקבלו. ==צ"למבחן==בשאלה 3 ג' בתשובות, בשלב שלפני שמתקבלת המטריצה הסופית (כפל שתי מטריצות), במטריצה השמאלית, במקום <math>a_{n,n-1}</math>, אני חושבת שאמור להיות <math>-(n-1)</math> ולא <math>-n-1</math>. נכון? :כן, תודה. ==שאלה==יהי אם כתבתי בשאלה 2 ב' שאין בסיס B ויהיו וליד זה את האות פי, זה בסדר? כי אני יודע שהבסיס הוא פי, אבל כתבתי לפני זה שאין בסיס, תודה רבה:(לא מתרגלת) פי? מה הקשר של פי לקבוצה ריקה?:: הכוונה היא לאות <math>b_i\ \empty</math> איברי B, המסמנת את הקבוצה הריקה. האם צריך להוכיח [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT): תחליט: או שאין בסיס, או שיש בסיס והוא הקבוצה הריקה. האפשרות הראשונה בוודאי אינה נכונה, משום שלכל iמרחב וקטורי יש בסיס (את המקרה הסופי הוכחתם בקורס; המקרה הכללי הוא משפט של Hammel). הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, מספר האיברים ב-31 באוגוסט 2010 (IDT):: אני כתבתי שאין בסיס וליד זה את האות <math>b_i\ \empty</math> שווה לעוצמת הבסיס, כל החישובים שלי בתרגים נכונים וגם על פי התשובות שלכם אין לי טעות אחת במבחן, הדבר היחיד שלא היה טוב זה שאחרי שהגעתי לזה שהחיתוך הוא 0 כתבתי שאין בסיס, וליד זה <math>\ \empty</math>, יורידו על זה הרבה נקודות? או כי זה לא שהיה לי טעות אחרת חוץ מזה, וגם כתבתי <math>\ \empty</math> בפתרון הסופי, תודה:::יורידו אולי נקודות, אני לא יודע מראש כמה. אם אין לך טעויות חוץ מזה יהיה לך ציון טוב. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT) ==כמה שאלות לגבי פתרונות המבחן==1. בשאלה 3א האם אפשר היה להוכיח את היותה של הקבוצה בסיס על ידי שימוש בכך ש: א. <math>|B|=N</math> ולכן משום היותה בסיס <math>dimV=n</math> ומשום <math>|C|=n</math> עפ"י הגדרתו אז <math>dimV=|C|</math>. ב. בת"ל (וגם לא הוכחתי כפי שאתם הוכחתם אלא הוכחתי בשלילה, אמנם יצא לי יותר ארוך אבל אני מניח שזה מספיק טריוויאליבסדר, לא?!?). 2. ב-3ב לא יותר קצר למצוא את המטריצה הנדרשת באותו אופן שאתם מצאתם את ההופכית שלה? 3. בפתרון ל-2א יש לך טעות: הצבת a=1 וללכן לא יכול להיות שהפתרון הכללי למקרה של אינסוף פתרומנות תלוי ב-a. 4. איך נעשית חלוקת הנקודות בין הסעיפים בין השאלות הפתוחות? לכל סעיף משקל שווה? תודה מראש ושנה טובה!
===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?
1. בת"ל ובגודל n + השלישי חינם זה סבבה.
2. אפשרי, קצר זה עניין של דעה :)
===תשובה נוספת===אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר 3. כן, העירו לי על עצמוכך. תודה. כמובן שצריך להציב בכל מקום שם את a ולא רק בחלק מהמקומות :)
הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד4. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0xידוע, x^2יוחלט בעת הבדיקה.
כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימדשנה טובה ומבורכת. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''
===הבהרה=שאלה אחרונה==# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (למה אם rankAB <math>(a,b):=\min{\{a\}rankA,\{a,b\rankB}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|אז A וגם B|</math>, או שצריך להוכיחאינן הפיכות? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)!
===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא כי אם A או B הפיכות, אז AB היא בעצם A או B שמבצעים עליה פעולות אלמנטריות, עשיית פעולות אלה לא משנות את מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה השורות ובטח לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא את מימדו, ואז המימד של המרחבמרחב השורות של AB היה שווה למימד המינימלי בין A ו-B ולא קטן ממש.:תודה רבה על התשובה בשעה מוקדמת! אשמח אם תוכל לענות לי על השאלה השניה לפני המבחן! תודה!
* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר==שאלה==במבחן 2003 מועד ב' שאלה 1 (צריך למצוא את [v]c, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד יש טעות בתשובה? עשיתי כמה פעמים מכל הכיוונים ויצא לי תשובה 4 ולא 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:תודה!
<math>B=\{=6.14 עמוד 62 בחוברת==בתשובות שבאתר הוספת לבסיס את (1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאתלמה, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.מה?
ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים מדרגים ומוסיפים את e_i עבור כל העמודות i של וקטור באופן כללי'''.המשתנים החופשיים (כלומר משלימים איברים פותחים)
==מותר::אהה.. באמת?==האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמיםחידשת לי. תמיד כשרוצים להשלים קבוצה בת"ל לקבוצה פורשת אז שמים את הוקטורים מהקבוצה הבת"ל בשורות מטריצה, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשלמדרגים, נתונים ורואים אילו משתנים חופשיים יש. לאחר מכן מוסיפים קבוצה ובה וקטורים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)e_i</math> , עבור כל עמודה i שבה יש משתנים חופשיים? יש איזה משפט קשור או משהו שמסביר למה עושים דווקא ככה? תודה. :::זה פשוט מאד, כמו שאמרתי - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>משלימים את האיברים הפותחים. לאחר התוספת יש n איברים פותחים (2,3,4אם יש n עמודות)ואז מרחב השורות הוא ממימד n ובהכרח מרחב השורות הוא כל F^n. ==1\cdot(1עזרה==איך מוכיחים את המשפט: יהי בסיס v1,2..,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2vn לV וקבוצה w1,2..wn בW,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>אז יש העתקה לינארית כך ש T(vi(=Wi? תודה.!
===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, לא יודע איך הוכיחו לכם בכיתה (כנראה אחרת) אבל אסור מן הסתם להעתיק אפשר עם המטריצה המייצגת. כלומר למצוא את התשובה הזו מאחריםהמטריצה המייצגת לפי ההגדרה נקרא לה A ואז ההעתקה Tx=Ax היא העתקה לינארית שמקיימת את הדרישה.:המטריצה המייצגת '''הוגדרה''' בהתבסס על המשפט הזה ולכן אני לא חושב שמותר להשתמש בה (אני לא מתרגל).
==שאלה 2 בדףשיחלוף==בסעיף aבמשוואה שכוללת מטריצות, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1מותר לשחלף את שני האגפים וזה ישמור על שיוויון,..vn התאמה חח"עבלי להסביר או להוכיח (אם זה לא התרגיל), על והפיכה כך נכון?:אתה מתכוון ש vi-<math>A=[vi]b ולכן בכלל ש v1,B\iff A^T=B^T</math>? בטח שזה נכון..vn בת"ל אז [v1]bזו בדיוק אותה מטריצה,ופעולת השיחלוף מוגדרת היטב (חד-ערכית)..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח מתרגל, אבל אני כמעט בטוח שלא צריך להסביר או להוכיח . ==העתקת המטריצה==בחוברת עמוד 52 שאלה 1.10 ב' - או שלא הבנתי את זה בצורה אחרתההגדרה, או שיש טעות בהגדרת הטווח של ההעתקות T,S.למשל עבור העתקה T: הרי כפל של מטריצה מסדר m על n בוקטור מסדר n על 1 נותן וקטור מסדר m על 1 ולא הפוך! ועוד דבר - צריך לזכור בעל פה את ההגדרות של העתקת המטריצה, ההעתקות <math>L_A</math>, <math>T_A</math> ועוד? אם לא, אז אילו הגדרות של העתקות כן צריך לזכור בעל פה?
===תשובה===
כן ולאאתה צודק זה באמת צריך להיות הפוך. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:
1לא בטוח למה אתה מתכוון, אלה דברים שלמדתם בהרצאה, תלוי מה המרצה אמר שצריך לזכור. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע
2==מושג==מה זה "מרחב האפס"?:קבוצה שהאיבר היחיד בה הוא 0, והקבוצה הזאת היא מרחב וקטורי כל התנאים של מרחב וקטורי מתקיימים. מדוע התאמה ::תודה. בעמוד 50 שאלה 11.15 ד'''לינארית''' חח(בחוברת), אומרים "ע משאירה קבוצה בתמצא בסיס למרחב האפס של A"ל . מה הכוונה?:::<s>הכוונה היא שתמצא בסיס למרחב <math>\{\vec0_A\}</math>, כלומר המרחב שכולל את האיבר הנייטרלי לחיבור ב- בת"לA.</s>
==שאלה 8.4=תשובה=אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>:כןמרחב האפס בלי הקשר הוא אכן המרחב שמכיל בלבד את אפס. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומרהאפס של מטריצה, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהיםבד"כ, הוא מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית.:תודה!
==שאלה 7.198 ממבחן 2002 מועד א'==אפשר רמזלמה סכום איברי המטריצה הוא 1?? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך מאיפה בתשובות הוא עוזר? תודה רבה.:מתוך העמוד הראשי:===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים==='''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.:קראתי הביא את הדוגמה התשיעית הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף ? המטריצה P היא <math>(ובכלל להבין את החומר0,2,1) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24(1,0,2), 20 באוגוסט 2010 (IDT2,1,0)</math> ולכן סכום איברי המטריצה הוא 0+2+1+1+0+2+2+1+0=9, למה 1?? תודה!
===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרתאתה רשמת את מטריצת המעבר מB לC. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי אבל P היא ההופכית שלה מתאפס, מטריצת המעבר מC לB.:וואלה, תודה.. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?
:==החוברת עמוד 48==כתוב שם שמרחב העמודות הוא תת מרחב של <math>F^n, אבל איך זה עוזר</math> כאשר <math>A</math> מסדר <math>mxn</math> ואני חושבת שמרחב העמודות הוא תת מרחב של <math>F^m</math>. לא?(כנ"ל לגבי מרחב השורות, רק הפוך)
::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפסנכון זו טעות בחוברת.
(לא האחד ששאל) מימד מרחב המטריצות מסדר ==שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==איך ניגשים לשאלה כזאת? מה הקשר בין הפיכות של הפונקציה לRANK שלה? אפשר הסבר מפורט בבקשה? זה ממש מבלבל! וגם, למה נתונה מטריצה B אם היא נמצאת בשאלה בכלל? תודה רבה מראש ===תשובה===יש כמה קשרים בין השניים. למשל הrank של מטריצה ריבועית מגודל n שווה לn אם"ם היא הפיכה. אם נסתכל על n אינו n בריבועזה בתור העתקות ליאריות, אז הrank הוא מימד התמונה והוא קטן ככל שמימד הגרעין גדל.:'''למה אני אמור להסיק שA אינה הפיכה ב3?'''::אם תסתכל על המשפט שרשמתי אז תראה שA הפיכה אם"ם הrank שלה הוא n אם הrank של A^2 קטן מהrank של A בוודאי הוא קטן מn ולא יכול להיות שהיא הפיכה. אבל אם A הפיכה בוודאי A^2 הייתה צריכה להיות הפיכה.
==צ"ל טריוויאלישאלה 1 מקובץ מצורף תרגול 4==שלום רב. בשאלה התבקשנו להוכיח ש- <math>[I]_C^B</math> הפיכה. האם צ"ל שאם לא מספיק פשוט לומר ש- <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_iI]_B}=\vec0\iff\forall i\in\_C^B)^{-1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0[I]_B^C</math> אזי ע"י בדיקה שאכן מתקיים שמכפלתן משני הצדדים היא <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_BI</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה, גל.
===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטוריתאפשר, אם ידוע המשפט שקיימת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים ואז להשתמש בנוסחא של מטריצת מעבר.:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה כלומר ש'''כןאם''' למדנו.מבקשים ממני במהלך המבחן להוכיח את זה אסור לי להשתמש במה שאמרתי?::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצותתלוי מה יבקשו ספציפי. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, אם השאלה הייתה מופיעה כמו שהיא במבחן זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>היה בסדר.:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>תשאל בזמן המבחן. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?
::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות ==שאלה==אם v מוכל בw וגם dim של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד v שווה לdim של w אזי v=w זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.משפט? וכיצד ניתן להוכיח?
== בסיס =תשובה===שאלה 7.7 תרגיל 4.
מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשיםובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V)==לא ענית לי על שתי השאלות:זה משפט? איך מוכיחים?===|B|</math>.
לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..:2זה עובדה, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>ומוכיחים כמו בפתרונות שיש באתר כמובן.
==בסיסים==הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=nאפשר להשתמש בזה אלא אם צריך להוכיח את זה במפורש.
זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים ==mod==המספר - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).1 בZ5 כלומר <math>-1 mod 5</math> זה 1 או 4? תודה!
אפשר הסבר? תודה מראש!===תשובה===<math>-1 = 4 +(-1)\cdot 5</math> ולכן זה 4.
==שאלה==
למה אם למערכת הומוגנית Ax=0 יש פתרון יחיד, אזי A הפיכה? תודה!
===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - קודם כל זה משפטנכון רק אם '''A ריבועית'''. יש כמה וכמה הוכחות, למשל מטריצה ריבועית שקולת שורה למטריצת היחידה אם"ם היא הפיכה, ואם הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא לא מטריצת היחידה סימן שיש לה משתנים חופשיים ולכן יותר מפתרון אחד.
דרך אחרת להסתכל על זה היא שעמודות A בת"ל אם"ם למערכת Ax=0 יש פתרון יחיד, וידוע שעמודות מטריצה ריבועית בת"ל אם"ם היא הפיכה.:תודה! ==פרטים על המבחן בעמוד הראשי==פרטים על המבחן בעמוד הראשי:מה לגבי כמה זמן המבחן ומה המבנה שלו?::כבר אמרו את זה בהרצאות.:::ומי שלא הקשיב או לא היה מרוכז? או לא היה בשיעור?::::שישאל את החברים שלו. שאלות לגבי המבחן צריכות להיות מופנות למרצים ולא למתרגלים. ===שאלה קטנה===איפה זה בניין 507? זה הבניין שאנחנו בדרך כלל לומדים בו או בניין אחר? תודה!:אנחנו לומדים ב-604.::אז אפשר הכוונה לגבי איפה זה 507?:::507 זה הבניין הגדול עם המבנה המיוחד והמגני דויד למעלה, ממש ליד הבניין שאתם לומדים בו. ==שאלה/בקשה==נכון יש משפט שאומר (אני לא יודע ממש איך לכתוב בשפה המתמטית בפורום, לכן הבינו ש2 אותיות אחרי הT פירושן שהאות הראשונה למעלה מימין והשנייה למטה מימין וכו'): <math>[T]FG=[Iw]HG[T]EH[Iv]FE</math>? אז השאלה שלי היא, למה צריך את המשפט הזה תכלס? מתי המשפט הזה עוזר? והאם מתרגל יכול, בבקשה, להביא תרגיל אחד שבו חייבים/ רצוי מאוד להשתמש במשפט הזה? תודה רבה! ===תשובה===<math>[T]_G^F=[Iw]_G^H[T]_H^E[Iv]_E^F</math> השתמשנו בנוסחא הזו בשאלה הקודמת שלך... פשוט שם הייתה גם המטריצה <math>[I]_S^S</math> שהיא שווה למטריצת היחידה ולכן לא הזכרנו אותה. == שאלה ==מבחן 2004 מועד א' שאלה אמריקאית 3.. איך מוצאים את המימדים של U ו W?:(אני לא מתרגל)- 2 הSPANים פורשים, רק תבדוק אם יש בכל אחד מהSPANים איברים שתלויים אחד בשני, אם יש- תוריד אותם, ותישאר עם בסיסים לU וW. ===תשובה===מעבירים לצורה וקטורית שמים בשורות מטריצה ומדרגים. ==מבחן תשס"ד מועד ב' חלק אמריקאי שאלה 2==התשובה לא אמורה להיות A^-1*B במקום B*A^-1? כי <math>[T]AB=[I]SB*[T]AS=(A^-1)*B</math> לא? תודה! ===תשובה===לא נתון שB הוא בסיס בכלל. [T] צריכה לקיים את המשוואה <math>[T][v]=[Tv]</math>. לכן <math>[T][v_i]=[T]v_i=[Tv_i]=w_i</math> (כי הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שוות לוקטור עצמו). אבל <math>A^{-1}v_i=e_i</math> ואז <math>BA^{-1}v_i=Be_i=C_i(B)=w_i</math> כפי שרצינו. דרך אחרת להוכיח: (פשוט הרבה יותר מזה) <math>[T]=[T]_S^S=[T]_S^A\cdot [I]_A^S=BA^{-1}</math> ==שאלה על הוכחה==האם ההוכחה הזאת קבילה?: נתון ש<math>AB=I</math> וכי <math>T:F^{n\times{n}}\rightarrow{F^{n\times{n}}}</math> כך ש:<math>T(X)=BX</math>, מספר האיברים בבסיס אני צריך להוכיח ש<math>T</math> על:"נניח -T לא על: לכן קיים <math>Q\in{F^{n\times{n}}}</math> כך שלכל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math><math>T(הרי Z)\not=Q</math> לכן <math>BZ\not=Q</math> לכן <math>ABZ\not=AQ</math> כלומר- <math>Z\not=AQ</math> בסטירה לכך שהטענה נכונה עבור כל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math> לכן T על? האם זה נכון? ===תשובה===כן, עדיף הוכחות כאלה לבצע בחיוב ולא בשלילה. תהי Q מטריצה כלשהיא, אזי המקור שלה הוא AQ ולהוכיח את זה. כן אבל בתרגיל הספציפי הזה אסור היה להשתמש במשפט ש<math>AB=BA=I</math> היה נתון רק ש<math>AB=I</math> == שאלה==מבחן 2 שאלה אמריקאית 2..הטענה חייבת להיות לכל Im(z)==0 אחרת זה לא משנה יכול להתקיים: מה זה מבחן 2? איזו שנה? איזה מועד?::2005 מועד א':::נראה לי שאתה צודק... יהי <math>z=x+yi</math> ולכן <math>z^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i=x^3-3x^2yi+3xy^2+y^3i=(x-yi)^3</math> נפשט ונקבל ש- <math>6x^2yi-6xy^2-2y^3i=-6xy^2+(6x^2y-2y^3)i=0</math>. לאחר השוואה אני קיבלתי שאמנם ישנם אינסוף מקרים אבל בכולם <math>y=0=Im(z)</math> ===תשובה===[[#שאלה ממבחן 2005 מועד א]] ==מטריצות סימטריות ואנטי סימצטריות==שאלה: אם <math>A</math> ו-<math>B</math> סימטריות (שתיהן ריבועיות מאותו גודל) אז: האם <math>ABA</math> סימטרית?חשבתי על לפתור בדרך הזו: לפי סימטריות מתקיים ש: <math>A=A^t</math> וגם <math>B=B^t</math> ולכן <math>ABA=A^tB^tA^t=(BA)^tA^t=(A(BA))^t=(ABA)^t</math>. אי לכך גם <math>ABA</math> סימטרית. עם זאת, במבחן של 2003 (מועד א), זוהי שאלה 8 בחלק של האמריקאיות. אם מה שאני אומר נכון הרי שהתשובה אמורה להיות 3, אבל באתר כתוב שהתשובה היא 1. מה הטעות שלי? תודה, גל. ===תשובה===אתה צודק, ABA סימטרית אם A,B סימטריות מאותו גודל ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 11==איך פותרים שאלה כזאת? הצלחתי להבין ש<math>[T]B=(u1,u2,u3;0,0,0;w1,w2,w3)</math> (; מפריד בין עמודות)אבל איך יודעים איפה יש עוד אפסים? אם התשובה היא 2 או 4? תודה רבה!===תשובה===אני לא מתרגל אבל נראה לי שאני יכול לרמוז לך- תסתכל על הבסיס של האימג'- כל איבר בתמונה אתה יכול להציד כצירוף ליניארי שלהם.:לא הייתי עולה זה בחיים, אבל הבנתי- תודה רבה! ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 9==למה התשובה הנכונה היא- כל התשובות לא נכונות? אני זוכר שלמדנו משפטון שאומר שאם v1,..vk בת"ל אזי Tv1,..Tvk בתל כלומר 3 היא התשובה הנכונה.. לא? תודה! ===תשובה===המשפטון שאתה מזכיר מחייב T '''חח"ע'''. למשל העתקת האפס תהווה דוגמא נגדית לסעיף זה ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 4==הצלחתי להבין, בשיטת האלימנציה, שהתשובה היא T32=0, אבל אני ממש לא יודע בדיוק למה, אפשר בבקשה הסבר קצר על למה אפשר לדעת בוודאות שT32=0 ואיך אפשר להוכיח את זה? תודה! ===תשובה===נבנה בסיס בחרת לגרעין של ההעתקה. הגרעין של T^2 בהכרח '''גדול ממש''' מהגרעין של T אחרת ההעתקה תתקע על אותו מצב ולא תתאפס בחיים (אבל נתון שהיא מתאפסת). ולכן מימד הגרעין גדול ב1 לפחות. אחרי 32 צעדים כאלה נגיע לגרעין בגודל 32 - כלומר העתקת האפס. מדוע ההעתקה תתקע? אני אשאיר את זה כתרגיל.:למה גרעין בגודל 32 הוא העתקת האפס? כי המימד הוא 32?:וזה נכון לומר שהגרעין של TT חייב להיות גדול ממש מהגרעין שלT כי אם היה להם אותו מספרשל איברים בגרעין אז מה שמאפס את T^1024 מאפס גם את T^1023 ואז זה אומר ש T^1023 הוא העתקת האפס, וככה עד שמגיעים ל-שT היא העתקת האפס תמיד, אבל יודעים שהיא לא העתקת האפס תמיד? תודה ::קודם כל כן, אם הגרעין בגודל 32 אז הוא כל המרחב ולכן זו העתקת האפס. ::שנית, לא זו לא הוכחה נכונה. צריך להוכיח שאם נשלים את הבסיס של הגרעין של T^n לבסיס למרחב כולו, אזי הוקטורים שהשלמנו מהווים גם בסיס לתמונה של T^{n+1} ואז ברור שההעתקה חוזרת על עצמה. לא בטוח שזו הוכחה כל כך פשוטה. ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 1==כל מה שאני יודע הוא שהאפסיות של T היא לפחות 1 כי בטוח שV שהוא לא וקטור האפס נמצא בגרעין, וגם ש TT=0 ולכן לכל u מתקיים T(Tu) מוגדר להיות =0 ולכן התמונה מוכלת בגרעין ולכן dim(ImT)<=dim(KerT). אבל כל מה שזה נותן לי זה שהמימד של V הוא לא אפס! אפשר עזרה? תודה רבה!===תשובה===המימד הוא בטוח לא 4 כי 4 זה המימד של כל ההעתקות הלינאריות, והקבוצה הזו לא מכילה את כולם. המימד הוא גם לא אפס, יש יש העתקות שונות מאפס כאלה. נותר לבחור בין 1 לבין 2. נשלים את v לבסיס בעזרת u. אם ההעתקה שונה מאפס, u חייב להשלח לסקלר כפול v (אחרת פעם שנייה שנפעיל את ההעתקה היא לא תתאפס, ישאר שם גורם עם u.) לכן כל שתי העתקות יהיו ת"ל על ידי איפוס הסקלר הזה, ולכן המימד הוא אחד.:תודה רבה, רק עוד שאלה קטנה, איך יודעים שהמימד של כל ההעתקות הוא 4? תודה! ::זה משפט שיש איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות למרחב המטריצות. ואנחנו יודעים מהו המימד של מרחב המטריצות 2 על 2:::הבנתי, תודה! ==שאלה על מכפלת מטריצת הפיכה והשחלוף שלה==טענה: עבור <math>A</math> הפיכה הרי שיתקיים ש- <math>A^t</math> הפיכה (עפ"י משפט) ולכן <math>A^tA</math> הפיכה כי מכפלת שתי מטריצות הפיכות תתן מטריצה הפיכה נוספת.השאלה שלי האם זה הסבר מספק לקיום טענה זו. אם לא, מה עליי להוסיף?ובלי קשר, האם עליי להוסיף הערה מדוע המכפלה <math>A^tA</math> מוגדרת או שזה ברור?תודה, גל. :בגדול זה בסדר, תלוי מה אתה נדרש להוכיח. בזמן מבחן שואלים את המרצה אם צריך להוכיח כך וכך. :: אוקי תודה. האם יהיו מתרגלים או מרצים כלשהם במבחן (אלי אמר שהוא לא יהיה)? אם כן, איך זה הולך? אתם נכנסים לשאלות או שחייבים לשאול לפני הבחינה? :::יהיה מי שיענה על שאלות בזמן המבחן (על שאלון המבחן ולא רמזים לפתרון כמובן) == קישורים למבחנים ==כשעשיתם עריכה לדף של לינארית הוצאתם את הקישורים למבחנים לדוגמא אפשר להחזיר אותם? תודה(::זה נמצא ב[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99&oldid=5475 היסטורית הדף]. ::הם פשוט הועברו בטעות לבדידה במקום ללינארית. הם הוחזרו למקום בדף של לינארית ==שאלה==האם נושא הדטרמיננטות כלול בחומר למבחן? אני לא מתרגל, אבל ודאי שלא ==שאלה דחופה==מחר צריך לבוא בזמן של ההרצאה (9) או בזמן של התרגול (13:00)? תודה רבה! :לא יודע מתי המרצים יגיעו. המתרגלים בגדול אמורים לבוא בזמן התרגול הרגיל. :לפי מה שידוע לי אצלנו (אלי) מתחילים ב-0900. מי שלומד עם אפי מתי צריך להגיע??לפי מה שזכור לי הוא אמר שהוא לא יבוא.. אנחנו צריכים לבוא ב9 או ב1?::אז כנראה שמי שלומד עם אפי צריך להגיע ב1, כי שיעור החזרה שלנו היה ביום שישי, ומחר יהיה לנו רק שיעור חזרה עם המתרגלים ב1.. ==חח"ע ועל של ה"ל==שלום רב,נניח ונתונה לי ה"ל <math>T:V->V</math>. האם נכון לומר ש <math>T</math> חח"ע אם"ם <math>T</math> על? ואם כן, האם עליי להסביר במבחן מדוע? תודה, גל. ===תשובה===זה נכון ונובע ממשפט הדרגה V=dimKer+dimIm (צריך לצטט את המשפט ולהסביר למה זה נובע) למעשה הטענה היא יותר כללית. תהי T:V->W כך שהמימדים של V,W שווים, אזי T על אם"ם T חח"ע. ==2.15ב'==אם אני רוצה למצוא את kerTa אז מה שצריך לעשות זה לכפול את המטריצה A במטריצה כללית מסדר 2x2 ולהשוות לאפס- ואז למצוא את המטריצה הכללית?- הכוונה במטריצה כללית זה שאני אסמן a b c d במקום קבועים במטריצה ואז אבדוק מה אני אקבל.. וזה יהיה הker? :כן, הגרעין זה מה שנשלח לאפס על ידי ההעתקה. ==שאלה==אם אני יודע ש:<math>\dim (W+U)= \dim W + \dim U</math> וגם <math>\dim V= \dim W + \dim U</math>כאשר<math>U,W\le V</math> אז אני יכול להגיד ש:<math>U\oplus W=V</math> ? ===תשובה===כן :(לא אני שאלתי את השאלה) למה כן? אם למשל <math>U=\{(a,0,0)\}</math>, <math>W=\{(0,a,0)\}</math>, <math>V=\{(a,0,b)\}</math>? (כך ש-a,b שייכים ל-R):ומה ז"א: <math>U,W\le V</math>?::אתה צודק, זה לא נכון (לא אני רשמתי את התשובה הקודמת). אם נוסיף את התנאי ש-<math>U+W=V</math> זה כן יהיה נכון. <math>U,W\le V</math> משמעו <math>U,W</math> תת מרחבים של V. ===תשובת מתרגל===המשפט נכון, והרי הוכחה: נתון U,W תתי מרחב של V. אזי ברור ש<math>U+W\subseteq V</math>. לכן לפי הנתון <math>dim(W+U)=dimV</math> יש לנו תת מרחב עם מימד שווה למרחב ולכן הם שווים <math>U+W=V</math>. כעת לפי משפט המימדים <math>dim(U+W)=dimU+dimW + dim(U\cap W)</math> ולכן לפי הנתון <math>dim(U\cap W)=0</math> ולכן <math>U \cap W = \{0\}</math>. וזה מה שצריך על מנת להוכיח סכום ישר. תודה רבה! ואגב לזה שהביא את הדוגמה, בדוגמה שלך W לא תת מרחב של V.אפשר להשתמש בזה או שצריך להוכיח?:נכון, זה בגלל שלא הבנתי מה אומר סימן ה"קטן-שווה". מצטרפת לשאלה.::צריך להוכיח. ==char-ים במבחן==כמעט לא התעסקנו ב-char-ים בשיעורים, לא תרגלנו והמרצים/מתרגלים בד"כ הזכירו את זה כהערת אגב. יהיו char-ים במבחן? תודה, 16:11, 28 באוגוסט 2010 (IDT) ===תשובה===לא יהיה מעבר לדברים דומים למה שעשינו בכיתה. ==1.28==לא הבנתי את התרגיל בכלל. את <math>T(f)</math> אמנם מצאתי בלי בעיה, אבל איך מוצאים את <math>T^{-1}(f)</math>? קראתי פה שאלה ותשובה: ''המימד''' איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?''''' '''יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המרחבהמטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.''' ולא הבנתי בכלל. מה הקשר למטריצות? (אני יודעת מה זו מטריצה מייצגת, קראתי את הקובץ, וגם במחברת, ונראה לי שהבנתי, אבל מה הקשר לתרגיל הזה? בכלל לא הבנתי מה השימוש של המטריצה המייצגת, מלבד לפתרון של תרגילים מסוג "מצא את מטריצה המייצגת"). ומה זה "בסיס בתמונה", בתרגיל הזה הבסיס הוא <math>\{1,x,x^2\}</math>? את המקור אמצא בעזרת מערכת משוואת כזו: <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=1</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x^2</math> ? ואז.. מה אני עושה עם המקור הזה? שוב, מה קשורה המטריצה המייצגת? תודה רבה מראש, מקווה להסבר מפורט. ---- ניסיתי עכשיו לפתור איך שראיתי לנכון, בלי מטריצות וכל זה... סימנתי <math>T^{-1}(f)=mx^2+nx+d</math>. לאחר מכן אמרתי ש-<math>TT^{-1}(f)=I_{R_2[x]}(f)=f=cx^2+bx+a</math> (ה-<math>f</math> הוא סימון). מצד שני, <math>TT^{-1}(f)=T(T^{-1}(f))=T(mx^2+nx+d)</math> וזה שווה למה שמצאתי קודם, הרי יש לי את <math>T(f)</math>. קיבלתי מערכת של 3 משוואות (לפי המקדמים של <math>x^2</math>, <math>x</math>, <math>1</math>) ואז ביטאתי את <math>m</math>,<math>n</math>,<math>d</math> באמצעות <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> וקיבלתי את <math>T^{-1}(f)</math>. בלי מטריצות, רק אלגברה. הגיוני? או שבכלל לא הבנתי את התרגיל? ===תשובה===*למדנו הרי כיצד למצוא העתקה '''מפורשת''' באמצעות מטריצה מייצגת. *אנחנו יודעים שהתמונה היא מרחב וקטורי, ולכן יש לה בסיס נסמן אותו <math>u_1,...,u_n</math>*נמצא w_i כך ש <math>Tw_1=u_1,...,Tw_n=u_n</math>*לכן <math>T^{-1}u_i=w_i</math> וכך אפשר למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת כמו בתרגיל. דרך שנייה:*נמצא את המטריצה המייצגת של T*נהפוך אותה על מנת לקבל מטריצה מייצגת של <math>T^{-1}</math>*נמצא את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת, כמו בתרגיל.
====תשובה לתשובה====
תודהרבה על התשובה! לגבי הדרך הראשונה:*מה זה אומר העתקה '''מפורשת'''?*האם לכל <math>T(u)=v</math>, אבל לא הבנת מתקיים <math>T^{-1}(v)=u</math>?*תודה, הצלחתי לפתור את השאלה שליהתרגיל בדרך הזו! והתשובה יצאה לי כמו זו שיצאה בדרך שעשיתי קודם (זו שפירטתי למעלה). אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזהמעניין איזו קצרה יותר או עדיפה מאיזושהי סיבה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווהיש העדפה כלשהי באופן כללי, אז אני כנראה הבנתי את המשפט ובמבחן בפרט? לגבי הדרך השנייה:*המטריצה המייצגת של <math>T</math> שהיא במקרה הזה לא נכון.פשוט מטריצה <math>[T]_S^S</math> כאשר <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי של <math>R_2[x]</math>, בעצם מטריצה שעמודותיה הן (1,0,0), (0,2,3), (0,3,0) - כלומר הצורה הוקטורית של התמונות המתקבלות עבור מקורות מאיברי הבסיס.נכון?*ישנו משפט שאומר שהמטריצה ההופכית של המטריצה המייצגת של <math>T</math> היא המטריצה המייצגת של <math>T^{-1}</math>? (זה קל להוכחה אבל האם צריך להוכיח בכל פעם?)*איך מוצאים את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת? ואיזה תרגיל?
=====תשובה=====
*צורה בה אתה יודע לאין איבר כללי הולך. לדוגמא: <math>T(x,y,z)=3x+y+z</math>*כן, זו כמעט ההגדרה של ההעתקה ההופכית.*יש העדפה לדרכים שאני הצעתי, בניגוד לפתרון הרבה מערכות משוואות. *לא עקבתי ביחס לתרגיל, אבל בגדול מה שאמרת נשמע נכון.*צריך לצטט את המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתוןבלבד אלא ביקשו מכם להוכיח במפורש*עשינו תרגיל כזה בכיתה. אתה מחשב מטריצה מייצגת שמעבירה מהבסיס הסטנדרטי לאנשהו ואז אתה מקבל נוסחא כזו:<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y, ולא בין מרחבים שוניםz)</math> ======השאלות שנשארו======*בעצם מה שאני צריכה למצוא בתרגיל הזה. הרי המושג אוקיי תודה.*וניתן להשתמש בזה בלי להוכיח, נכון?*דרך הפתרון שלי דווקא פשוטה (רק 3 משוואות קלות), אבל באמת כדאי שאבין את עניין השימוש במטריצה המייצגת. *טוב.*מהו הניסוח המדוייק של המשפט הזה?*הנוסחה היא ממש משפט, לא? אבל לא הבנתי מה כתבת פה: '''פורשלכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>.''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בובבקשה תסביר ברור יותר, אחרת כל קבוצה בעולם ממש חשוב לי להבין את זה (והתרגיל מהכיתה לא כתוב לי, העדפתי להקשיב). **כן*חשוב להבין כי יהיו שאלות '''ישירות''' על מטריצה מייצגת שלא תוכלי להתחמק מזה. **תחפשי במחברת הרצאה הכי טוב*הנוסחא היא פורשת משפט כן. את יודעת ש<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. מה המשוואה הזו אומרת? מצד שמאל יש את המכפלה של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(שכן כל קבוצה פורסת x,y,z)</math>. מצד ימין מקבלים את הSpan הקואורדינטות של Tv לפי הבסיס B. לכן צירוף לינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים שהם המכפלה משמאל שווים בדיוק לTv (הרי זו ההגדרה של עצמהקואורדינטות).
======הבהרה======אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| מובן?:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.
::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>אהה. אזי אם A פורשת . נראה לי שהבנתי! תודה רבה!! אנסה לפתור את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>התרגיל בשתי הדרכים.
:::==2.15==מה הכוננה של (v(Ta בסעיף ב'? תודה!
==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.:ההגדרה בעמוד 56
==מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 10==
למה הטענות הנכונות הן א' וד'? אני חושב ש ב' וג' לא נכונות וגם א' לא נכון. למה א' נכון? א' אומר שכל הפונקציות מR לR הן כל הפונקציות הזוגיות סכום ישר עם כל הפונקציות האיזוגיות. זה לא נכון, כי יש פונקציות שהן לא זוגיות ולא איזוגיות ולא הסכום שלהן, כמו f(x)=x+1 או f(x) =rootX. (שורש של X). ויש גם פונקציות שהן גם זוגיות וגם איזוגיות, כמו f(x)=0 לא? כי אני זוכר מהבגרות שפונקציות זוגיות הן סימטריות ביחס לציר הX (מתקיים) ופונקציות אי זוגיות סימטריות ביחס לציר ה-X "ואז" לY (כלומר לשקף את מה שמימין לציר הX ומשמאל לציר הX ואז זה אמור להיות סימטרי ביחס לציר הY). אני טועה? תודה
===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה כל פונקציה היא סכום של זוגית ואי זוגית, ספציפית עשינו את זה בתרגיל. <math>f(x,y,z)=\alpha v_1 frac{f(x)+ \beta v_2 f(-x)}{2}+ \gamma v_3frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.
*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלותאתה יודע למה ב' לא נכון? מעל הממשיים הוא כן נכון. שמים בשורות מטריצההבעייה היא, מדרגים. אם בצורה המדורגת למשל, מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> שם יש 5 שורות שונות את המטריצה <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}</math> שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית ושונה מאפס אז .:שתי דברים: דבר ראשון, לא הבנתי מהדוגמה שלך למה כל פונקציה היא סכום של פו' זוגית ואי זוגית (ואני לא זוכר שעשינו את זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולובתרגיל).דבר שני, אז מה אם הפונקציה f(x)=0, היא לא גם זוגית וגם אי זוגית? תודה
::אתה יכול לוודא בקלות ש<math>\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> אי זוגית ו<math>\frac{f(x)+f(-x)}{2}</math> זוגית. 0 היא בוודאי גם אי זוגית וגם זוגית. לכן החיתוך הוא אפס, בדיוק כמו שאנחנו מצפים מסכום ישר. ==בקשר ל 6.5מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 3==בשאלה צריך אוקי, עכשיו אני בטוח שיש פה טעות כלשהי. בתשובות כתוב שאפשרות 3 היא הבחירה הנכונה, כלומר 3 לא נכונה. זה לא הגיוני, כי לפי השאלה, יש לבחור רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה תשובה אחת לא נכונה, כלומר אם 3 לא נכונה אז 1 2 ו4 נכונות- אבל תשובה 2 אומרת שאף אחת מהתשובות האחרות היא אינה נכונה, שאת המשפט הזה אפשר להבין ב2 דרכים:-כל התשובות האחרות לא נכונות, שזה לא יכול להיות כי עם 3 הוא לא נכון זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למהאומר ש 1 ו4 נכונות בסתירה לכך שכל התשובות האחרות לא נכונות.-כל התשובות האחרות נכונות, שזה לא הגיוני כי 3 הוא לא נכון.אז נכון שיש טעות כלשהי?אני חושב שהתשובה ההגיונית היחידה היא 2. תודה
===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspanתשובה 3 היא משפט שקר.
:אז לא צריך לפרט רק לציין?אתה צודק שגם 2 הוא משפט שקר, זה פשוט בלבול של כותב השאלה.
==rank==הrank של מטריצת האפס הוא אפס, נכון?::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוףכן
==טריוויאלי או צ"ל?טעות במספר תעודת זהות==האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec xשלום,בציוני הבוחן והתרגילים ישנה אותה טעות במספר תעודת זהות שלי,בשניהם כתוב 205403933 אך המספר הנכון הוא 205413933.אשמח אם תוכלו לתקן זאת :A\vec xבסדר, תודה. =\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</mathשאלה על rank==יהי T:V->V ה"ל וB,C בסיסים בV. מה זה rankT? או שזה טריוויאלימה זה rank([T]BC)? (כשBC אומר שיש B קטן בצד למעלה ימין של [T] וC קטן בצד ימין למטה)? תודה.
===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_irank([T]_C^B)</math> ומראים שעמודות זה דרגה של המטריצה זהות לעמודות המטריצה Iהמייצגת ואנחנו יודעים את ההגדרה של דרגה של מטריצה. הדרגה של העתקה rankT זה המימד של התמונה (עמוד 56 בחוברת).
==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איבריםשאלה ממבחן==בהוכחה של במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 11, מה זה אומר שT היא מעל השדה Zp? זה אומר שהיא מZp לZp? מה שכתבתי בכותרתזה אומר? איך זה יכול להיות שT היא מF לF כשF שדה, לוקחים B1 בסיס של V עם n איבריםהעתקה לינארית צריכה להיות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איבריםלא? למה התשובה הנכונה היא 3? תודה.
לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות ===תשובה===שדה הוא תמיד מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית"ו מעל עצמו ממימד 1. לכן זו העתקה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי. בשאלה מסתכלים על F כמ"ו מעל Z_p בכלל. למה?
תודה מראש!:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (בכל אופן לא למדתם מאפיין ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|השאלה לא ממש רלוונטית.
::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 10, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מהתשובה היא א,ב,ג, ולא כל הטענות נכונות?? הצלחתי למצוא מטריצות כך שכל הטענות יהיו נכונות-n איברים אז B1 תלוי לינארית" א' וב' שתי מטריצות האפס ג' A מטריצת האפס וB מטריצה גדולה ללא אפסים ד' A מטריצה גדולה ללא אפסים וB מטריצת האפס..
:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.
===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסתבד', האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.AB=0 איך הדרגה שלו תהיה שווה לדרגה של A בדיוק?
==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 9, למה הפתרון הוא 3? שמתי משתנים, דירגתי והגעתי למטריצת הזהות, כלומר כל האיקסים שווים לאפס? זה בטוח לא יכול להיות <math>(0,t,0,0,0)</math>! יש טעות? תודה ===תשובה===למעשה המשתנה השני *חייב* להיות חופשי. בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס.כמובן שעוד פתרונות יתכנו, אבל לא פתרונות 1,2,4 בהם המשתנה השני אינו חופשי.:"בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס"- סליחה, ממש לא הבנתי למה התכוונת. מה זה איבר פותח, למה המשתנה השני חייב להיות חופשי, מה זה אומר שאם לא היה איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת? גם אם הייתי יודע מה זה איבר פותח, למה דווקא המשתנה השני חייב להיות חופשי, למה לא השלישי הרביעי החמישי או הראשון? תודה ::כמו שאמרתי, חלק מהאחרים גם יכולים להיות חופשיים. אבל השני '''חייב''' להיות חופשי. איבר פותח או איבר ציר זה האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס. איך יודעים אם משתנה הוא חופשי? אם אין איבר פותח בעמודה שלו. האופציה היחידה לשים איבר שונה מאפס בעמודה של המשתנה השני היא בשורה האחרונה. אבל השורה האחרונה חייבת להיות שורת אפסים על מנת שהמטריצה תהיה אכן מדורגת.:::מה?? המשתנה השני חייב להיות חופשי כי אין איבר פותח בעמודה שלו? אבל אפשר להחליף בין העמודה השניה לחמישית!והשורה האחרונה לא חייבת להיות שורת אפסים, דירגתי והגעתי לשורה ראשונה עם איבר פותח בעמודה הראשונה, שורה שנייה עם איבר פותח בעמודה השניה וככה לכל השורות! ::::אי אפשר להחליף עמודות, ממתי מותר? נתונה מטריצה '''בצורה קנונית'''. אתה לא יכול לשים איזה מספרים שאתה רוצה, רק מספרים שישאירו את המטריצה מדורגת קנונית. נובע מכך, '''בהכרח''', שהשורה האחרונה היא שורת אפסים. אחרת יש איבר פותח שאינו נמצא מימין ממש לאיבר הפותח שלפניו (והאיבר הפותח לפניו בעמודה האחרונה). ==שיעור חזרה ביום ראשון==שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים?
==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איבריםפשוט אני עוברת על כל המחברת ועד עכשיו יש לי בערך 7 שאלות, כדאי לשאול אותן פה, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ללחכות לשיעור? רק כדי להיות בטוח(קשה יותר לשאול ולהסביר פה.. תודה רבה!)
===תשובה===
ת"ל לינארית כמובןשיעור החזרה יהיה עם חומר מוכן מראש. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).:תודה על הכל!
פרט לכך, נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא כל המתרגלים, אבל לפחות אני). בנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי. :תודה על התשובה המהירה! מי אתה? ::ארז.:::אה יופי אתה המתרגל שלי. ==דרך הפתרון ל7עמוד 49 שאלה 11.98==איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש(x1,x2,x3,x4,x5) עבור מטריצה A= a(1-0-0,0-1-0 (מסדר 2,על 3,4,5) +b(5,4,3,אני טוענת ש-rankA=2,1)+... ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5צריך להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"? או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.
===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה מה הכוונה לפי הבסיס הסטנדרטי? ניתן לומר "זו מטריצה מדורגת. דרגת המטריצה שווה למספר השורות השונות מאפס בצורה המודרגת שלה. יש את אותו מרחב שורהפה 2 שורות שונות מאפס":טוב. מספיק לשים את הוקטורים בשורות . פשוט זה נורא ארוך לתרגיל שכולו 2 שורות ><. תודה.:יש לי רעיון, אכתוב "דרגת מטריצה ולדרגמדורגת שווה למספר השורות השונות מ-0 בצורתה המדורגת" ואסמן בכוכבית, ואז בכל פעם אכתוב "לפי * rankA=2". אחרת, זה נורא ארוך וסתמי, לחזור על אותו המשפט 9 פעמים!
למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת ==שאלה ממבחן 2005 מועד א==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 2, z^3=x3 כשx שווה לצמוד של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו)z.:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, למה אף אחת מהתשובות לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצותנכונה? תודה.::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב יצא לי שim(z)=0 גםכשהתעסקתי בZ כa+bi וגם כrcisO. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! זו טעות או שאני טועה? תודה וסליחה על בוֹרוּת.
==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).
::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 ===תשובה===מה לגבי <math>cis(IDT\frac{\pi}{3})</math>? ==2.11==בשאלה 2.11 בב' כתוב שיש העתקהה s::ובכל אופןv -> v וs לא שווה לאפס. לא נאמר ש S העתקה לינארית, האם כשאני מוכיל שב' שקול לא' אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותרצריך להוכיח שS לינארית, אשמח להצעות.או שהיא סתם העתקה?תודה
==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.
===תשובה===
זה טריוויאליהכוונה לS העתקה לינארית, אבל אם אתה רוצה להוכיח:אחרת מה קשור משפט ההגדרה?
B בת"ל בסיס לV ==שאלה ממבחן==אם"ם spanBנתון לי ש:T(1+2x+xx)=V (לפי הגדרה1,1,2):T(1+x+2xx)=(2,1,1):T(2+x+xx)=(1,2,1)אז אני יכול להגיד שפשוט T(axx+bx+c)= (c,b,a) ואז זה ממש ממש פשוט להוכיח שT חח"ע ועל?ועוד שאלה קטנה, כתוב בתחילת השאלה שT העתקה לינארית, אז זה אומר שכדי להוכיח שT איזומורפיזם אני לא צריך להוכיח שהיא העתקה לינארית נכון? תודה. ===תשובה===אי אפשר פשוט להגיד את זה, צריך להוכיח את זה. אף פעם לא צריך להוכיח את הנתון. אם בנוסף B בסיס לU אזי spanBרשום "נתונה העתקה לינארית" אין צורך להוכיח את זה. =U מכאן נובע V=U2.8==סלחו לי אם אני כותב את התשובה, אבל לא קיבלתי מענה האם ההוכחה שלי נכונה או לא- האם אני יכול להוכיח שv=imT1=imT2 כך?x שייך לimT1 וy שייך לimT2 וv שייך לV.:x+y /T1() -> =T1(x)+ T1(y) /+T2(v) -> =T1x+T1y+T2v ->T2() -> =T1T2x+T1T2y+T2T2v =0+T2T2v =T2v:v /T1() -> =T1v /+T2v -> = T1v+T2v =Iv=v /T2() -> =T2v(עשיתי אותן פעולות והגעתי לכך ששני האגפים שווים). ואז רק להוכיח שחיתוך הimים זר, וזה בסדר? או שזה לא נכון? תודה! :לא קיבלת מענה, כי בשביל זה יש בדיקת תרגילים. ביום ראשון יפורסמו פתרונות לתרגילים בכל מקרה.::אני לא יקבל את התרגיל עד המבחן ואני רוצה לדעת אם הפתרון שלי גם בסדר... :::אז תשאל שוב יום ראשון.::::למחוק את השאלה? :::::זה בסדר, תודה :) ==6.14==סעיף א: האם צריך להשלים את הה"ל לפי הבסיס הסטנדרטי , ואז למצוא את T בצורה מפורשת? וכן בסע' ב' האם לשלוח את הוקטורים הנתונים ל-0, ולהמציא וקטור שלישי (בת"ל בשניים הנתונים) ו"לשלוח אותו" לסתם וקטור כלשהו, ואז למצוא את T... אבל אז סע' ב' וג' יכלים להיות זהים? נכון?
==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)
===תשובה===
בשום צורה בסעיף א'צריך למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת. מה להשלים למה זה בחירה שלך, העיקר שיקיים את תנאיי הסעיף. כנ"ל לגבי הסעיפים האחרים. בוודאי שכל העתקה לינארית מסעיף ג'עונה על התנאים של סעיף ב'.====שאלה בקשר לתשובה====האם צריך להראות איך הגענו לההעתקה המסויימת או שפשוט להראות שהיא מקיימת את התנאים? =====תשובה=====צריך לפרט בתרגיל הזה, שכן הוא בוחן את ההבנה של משפט ההגדרה, ומציאת העתקה המפורשת מתוך ההגדרה:התכוונתי האם צריך להסביר איך הגעתי להעתקה עצמה או להראות שזה מתקיים עבור בסיס כלשהו ואז להשתמש במשפט ההגדרה ולהגיע לכללית? (האם צריך להסביר למה בחרתי ככה את ההעתקה עבור האיברים של הבסיס ואיך הגעתי אליה??) ודבר נוסף האם מותר לי להגדיר את ההעתקה שלי כלינארית ואז להשתמש במשפט ההגדרה (כי אני נותן את הערכים שאליהם נשלח הבסיס) ולהגיע להעתקה הכללית? (מותר לי להגדיר אותה כלינארית בכלל בתרגיל הזה? לא'''שאני רואה דרך אחרת.. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה) ==1.28==האם זה נכון להוכיח ש imT1=kerT2, ומכאן נובע שהסכום ישר לפי 2.7 ב.כי T2 אידמפוטנטית?
==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים. אם זה נכון זה בסדר, ואם זה לא נכון אז לא :)
הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים==כמה שאלות==*'''דורש הוכחה או טריוויאלי?''' קבוצה D פורשת מ"ו V. ב-D יש n איברים. האם צריך להסביר למה מכך נובע ש- dimV<=n? (אפשר להניח בשלילה ש-k=dimV>n ואז אם d שייך ל-D, בפרט הצנוסיף ל-D עוד k-n איברים מהצורה ad כאשר a בשדה. נקבל קבוצה חדשה E שפורשת את V וגם dimE=k לכן E בסיס ל-V, אבל E ת"ל הטריוויאלי כי <math>d+a_1ad=0</math> כאשר <math>a_1</math> בשדה אבל <math>a_1=- כלומר כל הסקלרים הם אפסיםa^{-1}</math> שונה מ-0. קיבלנו סתירה לכך שבסיס הוא בת"ל, מ.ש.ל) ההוכחה די ארוכה והיא לא מטרת התרגיל (11.2), אבל מצד שני, האורך שלה מראה על כך שהיא לא ממש טריוויאלית.. בקיצור - צריך או לא צריך?*מה זה cspan? אם יש כזה דבר בכלל..?*הציון שלי של תרגיל 3 לא מופיע, למה ומה לעשות בנושא? (הגשתי אותו!)
== 7.20 ==תודה מראש!!
אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..
===תשובה===
תמיד חשוב לזכור *לא צריך להוכיח את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיסזה אלא מבקשים במפורש. מספיק לצטט את המשפט מההרצאה.
*אני אתן דוגמא, מקווה מנחש שזה יעזור:קיצור של Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם ראיתם את זה בהרצאה או לא.
ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס)*לשלוח למתרגל שלך מייל בנושא.
====תשובה לתשובה====
תודה!
*איזה משפט בדיוק?
*אני ראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...
*אוקיי תודה.
V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.
==שאלה==אם אני יודע ש:v מרחב וקטורי נוצר סופיתלא יודע,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:תפתח מחברת ותחפש. כנראה שיהיה מספיק לכתוב "לפי משפט, מספר האיברים בקבוצה פורשת גדול או שווה למימד"*<math>sp(B)=V</math>*B ::נראה לי שהמשפט שאומר שאם יש קבוצה שפורשת את V, וקבוצה בת"ל.אז אני יכול להגיד שמוכלת ב-B בסיס עבור Vאז מספר האיברים בפורשת גדול שווה ממספר האיברים בבת"ל. ==המבחן==ביום שלישי יש מבחן בלינארית. כמה זמן המבחן?מתי הוא מתחיל? כמה שאלות? מה המבנה?
===תשובה===
כןמה שאמרו בהרצאה. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"לאם לא אמרו, אפשר לשאול ביום ראשון בחזרה
==שאלה 7.10==העברתי את המטריצות לעמודות מה אמרו בהרצאה? אני לא יכול להגיע ביום ראשון לחזרה, ודירגתי את המטריצה שהתקבלהאתם משאירים אותי פה במתח.יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?איך מנמקים את זה?
== 11.10 ==
האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)?
===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים ישזה לא נכון. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Axקח (A=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.(-B
== שאלה 6.14==איך מוכיחים שקבוצה אפשר הכוונה לגבי 6.14? תודה רבה! :הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, השלמה לבסיס. אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.::התכוונתי לגבי א'. תודה:::כן, לגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא פורשתהמרחב הנפרש על ידי ה-w_i מהמשפט. ==2.8==מה זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? ואיך מוצאים בסיס לקבוצהאו מה?זה ממש לא מובן. תודה
===תשובה===
תקרא את אותה שאלה עם התשובה למטה.:סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהיםאת זה אבל לא נורא. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' תודה ::אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את המטריצהזה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן. ===שאלה נוספת===וכשכתוב בב'''בצורה המדורגת T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של המטריצההעתקות, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורותכמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה :ואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו <math>T^2=TT=T\circ T</math>::אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.===עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון===האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם זה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר. זה בסדר? תודה! :אין עובדה שזה סכום ישר, זה מה שצריך להוכיח. אם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר.
הspan :ואתה לא צריך להראות שסכום של הקבוצה x וy הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגתאיבר בV זה טריוויאלי מסגירות. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת אתה צריך להוכיח ש'''כל''' v בV הוא מהצורה v=x+y עבור x,y כלשהם בIm-ים המתאימים.::אוקיי, אז אם אני לוקח v ששייך לV, ואחרי כמה פעולות מגיע ממנו לX+Y, זה בסדר?::האם מותר לי גם (קבוצה תמיד פורשת יהיה לי הרבה יותר קל אם כן) להניח שקיימים v,x,y כמו מקודם, ואז להראות אחרי כמה פעולות ש v=a וגם x+y=a::(a ביטוי מסוים שלא אכתוב כדי לא לגלות את הspan שלה - זו ההגדרההתשובה).זה בסדר? אפשר להגיד שאם זה ואם אין חיתוך בין הim-ים, אז ה-דרוש מתקיים?::ועוד דבר, אני יכול להניח שT1 וT2 הפיכות? תודה!
כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות ::: אי אפשר להניח דברים שלא בנתון. ושוב, אתה חייב להראות ש'''כל''' v הוא מהצורה הנ"ל. איך תעשה את זה? זו החלטה שלך. הניסוח שלך קצת מצחיק- מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשיתקח x,y,v כללים ותוכיח שתמיד x+y=v? הרי וודאי לא יכול להיות שתצליח בזה.
==שאלה על מימדים2.7==אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0שהם מבקשים? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות? כי אם כך אז המימד של {(aלפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני וניתן לסתור אותו,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?)
===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפסהלוגיקה חשובה במתמטיקה. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקהאני אענה לשאלה, אבל חשוב לי להבהיר שאתם צריכים להיות מסוגלים להבין שאלה כזו לבד.
כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת. במקרה הזה המשפט הוא:'''T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.''' אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה). לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות '''וגם''' שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.:ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה::יופי. תמיד טוב לשאול.===שאלה כלליתבקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה===האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא? יש לשים לב כי העתקה אידמפוטנטית מוגדרת <math>T^2 = T</math> פרט ל-0 (בדר"כ) - בהסתמך על הערך "אידמפוטנט" [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%9E%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA] == 1.28 ==המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?(לא ענית לי למטה..)תודה!
===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של כי מה שרשמת זה לא מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל העמודות של קודמותיההמטריצה צריכות להיות וקטורי הקואורדינטות, בוודאי פולינום אינו יכול להיות עמודה של מטריצה. ממליץ בחום רב לקרוא את המסמך על קואורדינטות ומטריצות מייצגות, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות שם דוגמאות והסברים לכל התהליך. ==שאלה (שקשורה ל6.14)==האם העתקה T:V->W חייבת להיות מוגדרת לכל v בV? אני יודע שבהעתקות, לא חייב להיות לכל וקטור בW מקור, כי אני זוכר שהעתקה יכולה להיות על ולא על, אבל האם היא חייבת "לקחת" את כל הקטורים מV אל איברים פותחיםבW אל לא?למשל, אם אני מגדיר העתקה מR4 לR4, האם אני יכול להגיד אותה כך? T(a,b,00) = T(0,0,a,b) אפילו שהוא לא מוגדר לכל V, או לא? תודה ===תשובה===חייב להיות מוגדר לכל v, באופן כללי פונקציה צריכה להיות ח"ע ושלימה (כמו בבדידה) == 1.14 ==אפשר בבקשה הכוונה איך אני מוכיח את א'? עם ב' הסתדרתי.. :אין סעיפים בשאלה 1.14 ::התכוונתי להעתקת האפס!! :::מוכיחים את זה באמצעות הקריטריון המקוצר לבדיקת העתקה לינארית. ::::אני יכול לעשות מעבר כזה: T(v+u) =0 כיוון ש לכל v ששיך לV מתקיים T(v)=0? :::::מן הסתם... זו ההגדרה של העתקת האפס. :::::תודה:)
==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבאהדרגה של מטריצה עם 2 שורות ו2 עמודות שונות משורות אפסים, היא 2 או 4?לפי תשובה קודמת, נראה שכתבתם שהדרגה היא 2,<math>spanאבל זה מביא לסתירה מסוימת, כי אם rank(A+B)=span2 אם A מטריצה מגודל 2 על 2, אז זה אומר גם שהמימד של המרחב R2x2 הוא 2, לא? אבל חשבתי שהמימד של המרחב R2x2 הוא 4, כי בבסיס שלו 4 איברים {(span0,0,0,1)(A\cup B0010)(0100)=span(A\cup B1000)} ? איפה אני טועה? תודה =A\cup B=span=תשובה===לפי תשובה קודמת, ראינו מטריצה כזו עם דרגה 1. אין קשר בין המימד של מרחב המטריצות, לפי המימד של מרחב השורות של המטריצה. הדרגה של מטריצה בגודל nxm היא קטנה שווה למינימום בין n,m. לעומת זאת מימד כל המטריצות הוא nm. אם המטריצה בצורה מדורגת, הדרגה שלה היא '''מספר השורות השונה מאפס'''. בפרט, הדרגה לא יכולה להיות גדולה ממספר השורות.:כמה שאלות: -מהי הגדרה של הדרגה של מטריצה? אם היא קטנה או שווה למינימום בין M,N, זה אומר שאי אפשר לחשב אותה במדויק?:-אם יש מטריצה (Aמטריצות)\cup spanשנראית כך: a, b, c, a+b+c :(Ba וb בשורה הראשונה וה2 האחרים בשורה השניה)</math>, אז מימד המטריצות האלה הוא עדיין MN? אפילו שאחד האיברים במטריצה תלוי באחרים?:-rankT כך שT הוא ממטריצות MxN למטריצות מאותו הגודל, הוא MN או המינימום? יש דבר כזה rankA וגם rankT כשA מטריצה וT העתקה? הם 2 סימונים ל2 דברים שונים? תודה מראש...רבה
===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחבההגדרה רשומה בעמוד זה, מספר פעמים. למשל [[#שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונותלתשובה]] ושתי שאלות מתחתיה.
המעבר הראשון הלא חוקי אם תיקח תת מרחב של מרחב כל המטריצות שלא מכיל את כל המטריצות האפשריות, המימד שלו בהכרח יהיה קטן יותר. לגבי הדוגמא הספציפית צריך לוודא שזה אכן תת מרחב אחרת אין הגדרה למימד שלו. rankT היא הדרגה של העתקה, אני לא יודע אם למדתם את זה או לא. אם כן, יש הגדרה במחברת שלכם. אם T העתקה לינארית ממרחב המטריצות למרחב המטריצות, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ממימד NM ולכן המטריצה שמייצגת אותה היא מגודל NMxNM, ולכן יכול להיות שהדרגה של המטריצה המייצגת הינה NM.::::תודה לגבי כל השאר, יש לי רק עוד דבר לא פתור: נניח שיש מטריצה (משמאל לימיןבוא נגיד, מסדר 2 על 2) כאשר אחד או יותר מהמקומות במטריצה הוא שאפשר להוריד תלוי\ים במקומות האחרים (כמו בדוגמה שנתתי קודם, רק אם הדוגמה שנתתי לא טובה (כי היא לא תת מרחב וכדומה) אז דוגמה אחרת דומה -- המימד של המטריצות מהסוג הזה הוא עדיין MxN או לא? תודה. דוגמא: יהי מרחב המטריצות <math>V=F^{2\times 2}</math> ויהי <math>W=\{A\in V : a_{11}+a_{12}+a_{21}=a_{22}\}</math>. אזי קל לוודא שW תת מרחב של V ושהבסיס שלו הינו <math>B=\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\}</math> לכן המימד של W הינו 3. המימד של V לעומת זאת הוא 4. :איך מצאת את הspan ולהשאיר שיוויוןהבסיס של W? == 1. 28 ==מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצההכוונה וקטור כללי מ R2[X ? הרי הקבוצה יכולה להיות סופיתנניח (1, ואוסף כל הצירופים הלינאריים 1,1) הוא אינו סופי טוב? ===תשובה=== 1. (מעל שדה אינסופי כמובן1,1,1)הוא וקטור '''ספציפי''' - ההפך מ'''כללי''' 2. במרחב הפולינומים <math>\mathbb{R}_2[x]</math> הוקטורים הם '''פולינומים''' מדרגה קטנה שווה 2. לכן וקטור כללי במרחב זה הוא <math>a+bx+cx^2</math> :את האמת שזה מה שחשבתי רק שלא הייתי בטוח..:בכל מקרה, איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה? ::יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית. :::ראיתי הגדרה שאומרת: תהי f:A->B פונקציה. אם קיימת g:B->A כך ש f הרכבה g =למטריצה היחידה של A ו g הרכבה f= למטריצת היחידה של B נאמר :::שf הפיכה וg נקראת הפונקציה ההופכית של f.:::אי אפשר להשתמש בזה עבור הרכבה של העתקות לינאריות? :::: אפשר לומר את זה על העתקות לינאריות, עם הסייג הבא: הרכבה של העתקות לינאריות אינה מטריצה אלא העתקה. כלומר ההרכבה של ההעתקות היא ההעתקת הזהות והמכפלה של המטריצות המייצגות היא מטריצת היחידה (שכן המטריצה המייצגת של העתקת הזהות מבסיס לעצמו היא תמיד מטריצת היחידה). ::::המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?
== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?
2צריך למבחן לדעת את העתקת האינטגרל, הנגזרת ועוד נושאים המוזכרים בחוברת של בועז צבאן ולא למדנו אותם?? === תשובה===אין צורך לדעת דברים שלא נלמדו בהרצאה, בתרגיל או נתנו בשיעורי הבית. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית כמובן שלא מזיק לפתור תרגילים נוספים, אבל אין צורך לזכור הגדרות אחרות. ==שאלה למתרגלים (או למתרגל הספציפי שלי, אדם צ'פמן==למדנו נושא שלם (דטרמיננטות) שלא הזכרנו אותו אפילו בתרגול עם אדם צ'פמן. למה?המרצה אמר שהוא יכול להיות במבחן!תודה. :מוזר, אנחנו מהקבוצה השנייה(עם אלי בגנו) לא למדנו דטרמיננטות בכלל גם לא בתרגול.
===תשובה===
1אם הנושא יהיה במבחן, הוא יהיה בהתחשב בכך שלא היה תרגול. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטוריםבהסמך על מה שלמדתם בהרצאה בלבד.
2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסיםכמובן שלמי שלא למד את זה בהרצאה, זה לא יהיה במבחן.
:לגבי 1==תרגיל 11. 8==מבקשים ממני בתרגיל לתת דוגמות למטריצות אשר מקיימות את התנאי המתבקש.האם אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,צריך להסביר כיצד הגעתי לדרגה של המטריצות A ו-B שבחרתי או שפשוט לכתוב: "דרגתה של המטריצה A שנבחרה היא ..,an},{b1,."ואותו כנ"ל עבור AB..,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?
::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצהתודה מראש, ולא וקטור עמודהגל. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?
::אני מניח שהתכוונת ל::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זהרק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען.
::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית==תרגיל 11.2==האם x הוא בהכרח וקטור מסדר n*1 או שהוא יכול להיות מטריצה?
===תשובה===
הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת)
:תודה!
:ועוד שאלה: כאשר נתון ש-<math>V</math> הוא מרחב העמודות של <math>A</math>, האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: <math>V=span\{v_1,v_2,...,v_n\}</math> כאשר <math>v_1,v_2,...v_n</math> הם וקטורי העמודות של <math>A</math>?
== שאלה לתשובה ==::כן, זו ההגדרה.
רציתי לשאול עוד בנושא==בסיס==הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2, נניח ואני מגיעה לכך ש <math>{a1u1+...anun}ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,{b1u1+..+bnun}.,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,{c1u1+ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,..+cnun}</math> שונים מאפס ובת.xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"לם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי.האם אני יכולה להסיק ש <math>{כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,..an}.,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,{b1..bn}.,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,{c1xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+..cn}</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת.+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל. השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל?נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש...
==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?
===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם '''בת"ל'''השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). אחד התנאים בלבד אינו מספיקכמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחבאלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות.
לדוגמא:<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל אבל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא בסיסריבועית.
אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינםבעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות.
==שאלה 611.4א10 ==בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות?אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגילמה הדרגה?
===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון.
===שאלה על התשובה===את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל.
== שאלה לתשובה ==
====דוגמא====ניקח <math>B=\{(1תודה על התשובה אבל לא כ"כ עזרת לי,0ברור לי שאי אפשר להניח משהו שהוא לא נתון,1)השאלה שלי היתה האם כדי להוכיח את מה שרצו אני מניחה שהם בת"ל,הרי במקרה כללי אני חייבת להניח את זה..לא?ובנוסף לא ענית לי מהי הדרגה של מטריצה(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1כללית,0כלומר שלא יודעם את אבריה)\}\subseteq \mathbb{R}^3<MXN?מימד מרחב השורות/math>העמודות?
<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>==תשובה===זה כמו לשאול: האם x זוגי? התשובה המתבקשת כמובן היא תלוי מהו x.
אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון?
במילים: יש צירוף לינארי אין כזה דבר דרגה של A וצירוף לינארי מטריצת כללית. שוב, הדבר דומה לשאלה מהם הגורמים הראשוניים של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפסמספר כללי x.
כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל. באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה =מימד מרחב העמודות = שאלה 3 ב בבוחן מימד מרחב השורות =מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית =שלום, לא הבנתי למה הזווית מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של 1המטריצה ==תרגיל 2.8==מה הכוונה ב(א) שכתוב <math> T1 +i היא בדיוק פי חלקי ארבעT2 = Iv </math> ? כלומר מה החישוב שעושיםהכוונה בחיבור העתקות ליניאריות?תודה רבה... XD
===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - <math>tgHom(\thetaV,W)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>:
יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי <math>\forall v\in V :D(v)= שאלה 1 ב' בבוחן S(v)+T(v)</math> ===תשובה לתשובה==בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור aתודה רבה XD :P :) :D ==מרחב עמודות ***עוד שאלה***==0 אני לא מצליחה!אתה יכול לפרט יותראיך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A?איך מוצאים את הבסיס?מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.
===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות *הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה. *אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:**שחלוף המטריצה A**דירוג המטריצה המשוחלפת**שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר בודקים מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)*מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.:תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה 1 2 2 4 הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה. :הדרגה היא אחד. המושג הכללי שאתה מתאר (מספר השורות שלא תלויות אחת בשנייה) מוגדר במדויק - הוא נקרא מימד. מימד הוא מספר האיברים בבסיס. ואם תביא את המקרה aהמטריצה הזו לצורה מדורגת תראה בקלות שיש רק שורה אחת שונה מאפס בצורה המדורגת, והיא מהווה בסיס למרחב השורות. ==תרגיל 11.2ב==מהי המטריצה A|b? :המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b. == סכום ישר == לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא? גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי, V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0 זה מקור הטעות, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w צ"ל : 1. U+W מוכל בV. 2.V תת מרחב של U+W 3.U חיתוך W שווה 0. למה צריך להוכיח את 2?? ===תשובה===הביטוי <math>V=U\oplus W</math> אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה: א. V=U+W ב. <math>U\cap W = \{0\}</math> על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון). ב' הוא בדיוק 3 שלך.
תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>