גרסה מ־18:11, 21 באוגוסט 2010 (הצגת מקור) אור שחף (שיחה | תרומות) (←‏שאלות) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה אחרונה מ־14:44, 15 באוגוסט 2011 (הצגת מקור) 85.250.169.140 (שיחה) (←‏שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה)
(425 גרסאות ביניים של 54 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 12:		שורה 12:
	'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3		'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3
		+
		+	'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4
	=שאלות=		=שאלות=
−	==פסבדו הופכי==	+	=שאלות=
−	זה בסדר אם אני אומר שאם <math>P\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v</math> לכל וקטור <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> (בשאלה 7.19) עבור מטריצה P כלשהי אז <math>(v^+P)\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v^+v=I</math> כאשר <math>v^+</math> הוא מקיים <math>v^+v=I</math> (נקרא הפסבדו הופכי של v)? במילים אחרות, האם צריך להוכיח שלכל וקטור המקיים <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> קיים <math>v^+</math> כנ"ל?	+
−	==7.32==	+	== ציונים סופיים ==
−	אם המטריצות הן מעל c אז איך בכלל ניתן לייצג אותן מעל r?	+	עוד מעט מתחיל סמס א',
		+	מתי יפורסמו הציונים הסופיים?
−	==שאלה==	+	==פגישה==
−	האם ניתן להגיד ש <math>dim(A)>=dim(span(A))</math> תמיד? וצריך להסביר את זה בצורה כלשהי?	+	הפגישה היום (י"א תשרי) בקשר לרישום, היא עם הורים?
−	ועוד משהו- אם נתון לי ש A מוכלת בspan(B)- אפשר להגיד ש<math>dim(A)<=dim(span(B))</math>?	+
−	:A אינו בהכרח מ"ו ולכן זה לא נכון. אתה יכול להגיד ש-<math>\forall A:|A|\ge\dim(\operatorname{span}(A))</math>. לשאלה השנייה אין שום טעם - העוצמה של A יכולה להיות גדולה, קטנה או שווה למימד. למשל <math>A_1=\{(1,0)\},A_2=\{(1,0),(0,1)\},A_3=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}</math> מקיימות <math>1=|A_1|<\dim(\mathbb R^2),2=|A_2|=\dim(\mathbb R^2),3=|A_3|>\dim(\mathbb R^2)</math>	+
−	==כמה שאלות קטנות==	+	עוד שאלה, באיזה שעה היא ואיפה?
−	* '''הגדרה מתמטית של מרחב שורות:''' בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-<math>F^m</math>). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?	+
−	* האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)	+
−	* האם יש משפט שאומר ש-<math>dim(R^n)=n</math>?	+
−	תודה מראש!	+	==שאלה בקשר לפתרון של מועד ב==
		+	בשאלה 8 א כתבת ש (1,0) != (1,6) אבל אנחנו נמצאים בz3 אז זה לא אומר ש (1,6)=(1,0) ואז הטענה אינה נכונה?
−	==7.19==	+	===תשובה===
−	הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.	+	נכון! בכלל לא שמתי לב לשאלה. מזל שאני לא נבחנתי על זה. אני אתקן ואעלה מחדש
−	:נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)	+
−	::זה אמור להיות <math>a_n^2</math>? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על <math>A^{n}v</math> כמו שתארתי.	+	==תרגילים נוספים?==
−	:::כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.	+	שלום רב,
−	:::חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?	+	האם היו תרגולים נוספים אשר היינו אמורים להגיש (בחלקו העליון של דף זה נכתב: "הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:):") או שזו טעות? תדה מראש.
−	==העתקה לינארית==	+	===תשובה===
−	מותר להשתמש בעובדה ש-<math>[\ ]_B:V\to\mathbb F^n</math> היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?	+	זה לא קשור לקורס הזה בשום צורה, הייתה טעות... פה יש 5 תרגילים בלבד
		+
		+	==ציוני תרגיל==
		+	הגשתי את תרגיל 4 ומופיע כאילו לא הגשתי אותו (מס' ת.ז. 205632516)
		+	==שאלה 1.ג במבחן==
		+	האם כדי להוכיח  סכום ישר, לא צריך להוכיח גם סכום ז"א ש- U+W=V.
	===תשובה===		===תשובה===
−	אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)	+	ברור שכן, שכחתי להוסיף את זה. אני אעלה עוד כמה דקות תוספת לפתרון.
−	====שאלה בקשר לתשובה====	+
−	בהרצאה הראנו שההעתקה היא ליניארית וגם חח"ע ועל אז בשאלות בדף מותר לי להניח את זה (ולציין שכך הראנו בהרצאה) ורק להראות את ההתחייבות שהבת"ל נשמר (ב-2 א) או ההשתייכות לנפרש(ב- 2ב)?	+
−	==I]<sup>B</sup><sub>C</sub>]==	+	:העלאתי את התוספת הדרושה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:52, 13 בספטמבר 2010 (IST)
−	צ"ל ש-<math>[I]_C^B</math> מטריצה ריבועית?	+
−	:כן.	+
−	==שאלה 6.5==	+	==תרגילי בית==
		+	היכן ניתן למצוא תרגילי בית שלא קיבלתי חזרה?
−	לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)	+	:לא ניתן למצוא אותם בשלב זה.
		+
		+	== בקשר לציוני התרגיל ==
		+	אנחנו נקבל את הציונים של תרגילים 4 ו5?
		+	עברו כבר שבועיים והמבחן..
		+
		+	אני צריך לדעת בשביל להחליט אם לעשות מועד ב'.
	===תשובה===		===תשובה===
−	אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות	+	הנה רשימת הציונים שיש בינתיים '''[[מדיה:10Linear1TargilTempGrade.pdf|ציוני תרגיל 1-4]]'''
−	<math>a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה <math>(a,b,c)</math> וכדומה).	+	==בקשת הבהרה==
−	====שאלה בקשר לתשובה====	+	למה כוונתכם באמירה "הבוחן יהיה ציון מגן בלבד":
−	בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר  a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)	+	1. אם הוא גבוה משיעורי הבית אז הוא יהיה במקומם.
−	==צ"ל?==	+	2. אם הוא גבוה מהמבחן אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים.
−	יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס <math>C\subseteq B</math> ל-<math>U\le V</math>? או שזה טריוויאלי?	+	3. אם הוא גבוה מהשיעורים אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים.
		+	4. אחר?
		+
		+	תודה, גל.
	===תשובה===		===תשובה===
−	לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"	+	מתוך ציון התרגיל בלבד הוא מגן. כלומר המבחן 80 אחוז בכל מקרה (אמנם זה כמו שרשמת, אבל רשמת רק אופציה אחת).
−	==6.5ג==	+	אם הוא גבוה משיעורי הבית זה יהיה 10 אחוז 10 אחוז, ואם נמוך זה יהיה 20 אחוז שיעורי בית.
−	ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-<math>\mathbb F^{2\times2}</math> היא <math>\mathbb R^{2\times2}</math>?	+
		+	====תשובה לתשובה====
		+	תודה רבה על התשובה המהירה.
		+	כרגע רשום באתר המידע האישי שהמבחן 85%, אני מניח שזה יתעדכן?
		+	ומתי נקבל את ציוני תרגול 4-5 ואת השקלול הסופי של הציונים בתרגולים?
		+	שוב תודה, גל.
		+
		+	:זה מוזר שרשום שם 85... או שזה יתעדכן או שזה ישאר ככה. אני לא חושב שזה הפרש משמעותי במיוחד. תקבלו את שאר הציונים כאשר אני אקבל אותם.
		+
		+	==ציונים==
		+	מתי יפרסמו את הציון הסופי או את הרכב הציון (אחוזים לכל דבר)?
		+	זה יכול להשפיע בהחלטה האם לגשת למועד ב'.
		+	אשמח לתשובה מהירה.
		+	==שאלה==
		+	:האתר לא פועל בחגים, ואני עוד לא ראיתי את הציון שלי, יש דרך כלשהי לראות את הציונים שלי?
		+	:ועוד משהו, הציונים שעלו, הם רק בלינארית, או שזה גם בבדידה? תודה רבה, ושנה טובה לכולם!
		+	==ציון ביניים==
		+	מה זה אומר בדיוק? וכמה עולה לצפות במחברות הבחינה? תודה. (אגב, ציוני הביניים עלו!!)
		+	: ציון ביניים = חלקי הציון הכללי לפני מעבר שקלול. הציון הסופי יעלה רק לאחר שיעלו כל ציוני הביניים.
		+	: עלות צפייה במחברת בחינה 5 ש"ח דרך כ"א. אפשר לצפות בה דרך האתר, אפשר גם להוריד אותה (ע"י לחיצה על כפתור השמירה תוך כדי הצפייה במחברת). (אינני מתרגל)
		+
		+	==ציון מעבר==
		+	הודיעו מתישהו מה הציון הכללי שצריך כדי לעבור? בכל מקרה, מה הציון?
		+	:באופן כללי באוניברסיטה ציון מבחן עובר הוא 60 [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:44, 7 בספטמבר 2010 (IDT)
		+	::מה זה אומר שהציון עובר, או נכשל - במבחן? מה, אי אפשר לעבור את הקורס עם נכשל במבחן?
		+	:::התכוונתי לציון סופי, לא ציון מבחן. ציון סופי 60 זה עובר (אחרי השקלול של ציון התרגיל). [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:10, 7 בספטמבר 2010 (IDT)
		+
		+	==פקטור==
		+	היה במבחן בלינארית פקטור? אם כן, כמה?
		+
		+	==אחוזים==
		+	בתחילת הסמסטר אמרו לנו שהציון מורכב מ: 80% מבחן, 10% בוחן, 10% ש.ב..
		+	רציתי לדעת האם יש שינוי בהרכב הציון?
		+
		+	:לא בטוח. אתם תראו את הציון הסופי כאשר הוא יופיע
		+
		+	==תרגולים 4-5==
		+	האם תעלו את הציונים שלהם בהמשך? תודה מראש.
		+	:כן, כאשר הם יתקבלו
		+
		+	==הערה==
		+	קודם כל אני רוצה להגיד תודה על כל העזרה עם השאלות באלגברה לינארית. אני יודע שזאת בקשה גדולה ואתם לא חייבים להיענות לה, אך המתרגלים שעד עכשיו ענו על תשובות לאלגברה לינארית, יכולים לעזור גם בבדידה? כי נראה לי שאף אחד לא נכנס לדף של בדידה... תודה רבה!!
		+
		+	== פתרונות ==
		+	איפה מופיעים הפתרונות של המבחן???
		+	:'''[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון המבחן]]'''
		+
		+	==ציונים==
		+	איפה יופיעו הציונים?
		+	:ומתי?
		+	::לפי מה שידוע לי - בעוד כשבוע. אבל אשמח לתשובה ממרצה/מתרגל.
		+
		+	==תגובות לגבי פתרון המבחן==
		+	תיקונים:
		+
		+	את שאלה 1 ו-4 לא עשיתי ככה שלא התייחסתי אליהם,
		+	בשאלה 2, הצבת את 1 במקום a ועדיין השארת a בפיתרון הכללי.. (ובמטריצה)
		+	בשאלות האמריקאיות- היה צריך להוכיח ולהפריך או רק לרשום כן/לא?
		+	תוכל בבקשה להעלות את ההגדרות, כי יש כמה גרסאות ורציתי לדעת אם יש הבדל, למשל:
		+	KerT= מרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 כאשר A מטריצה מייצגת העתקה T, נקרא הגרעין של ההעתקה T.
		+	(KerT)
		+	/
		+	מרחב הוקטורים שההעתקה T שולחת אותם ל-0.
		+	סה"כ את שתיהן המרצה כתב לנו ושתיהן הגדרות פורמליות..
	===תשובה===		===תשובה===
−	זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.	+
−	:כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?	+	צודק לגבי ההצבות, באמת טעות טפשית.
−	::כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.	+
		+	לא היה צריך להוכיח או להפריך, אבל אחת המטרות העיקריות של התשובות היא שמי שצריך יוכל ללמוד מהפתרון למועד ב'. (וכמובן גם מי שלא ייגש - טוב שיידע את התשובות הנכונות).
		+
		+	לגבי ההגדרות, אני לא יודע מה המרצים יקבלו.
		+
		+	==מבחן==
		+	בשאלה 3 ג' בתשובות, בשלב שלפני שמתקבלת המטריצה הסופית (כפל שתי מטריצות), במטריצה השמאלית, במקום <math>a_{n,n-1}</math>, אני חושבת שאמור להיות <math>-(n-1)</math> ולא <math>-n-1</math>. נכון?
		+
		+	:כן, תודה.
	==שאלה==		==שאלה==
−	נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>	+	אם כתבתי בשאלה 2 ב' שאין בסיס וליד זה את האות פי, זה בסדר? כי אני יודע שהבסיס הוא פי, אבל כתבתי לפני זה שאין בסיס, תודה רבה
−	אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:	+	:(לא מתרגלת) פי? מה הקשר של פי לקבוצה ריקה?
−	<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?	+	:: הכוונה היא לאות <math>\ \empty</math>, המסמנת את הקבוצה הריקה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT)
−	תודה מראש!	+	: תחליט: או שאין בסיס, או שיש בסיס והוא הקבוצה הריקה. האפשרות הראשונה בוודאי אינה נכונה, משום שלכל מרחב וקטורי יש בסיס (את המקרה הסופי הוכחתם בקורס; המקרה הכללי הוא משפט של Hammel). הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT)
		+	:: אני כתבתי שאין בסיס וליד זה את האות <math>\ \empty</math>, כל החישובים שלי בתרגים נכונים וגם על פי התשובות שלכם אין לי טעות אחת במבחן, הדבר היחיד שלא היה טוב זה שאחרי שהגעתי לזה שהחיתוך הוא 0 כתבתי שאין בסיס, וליד זה <math>\ \empty</math>, יורידו על זה הרבה נקודות? כי זה לא שהיה לי טעות אחרת חוץ מזה, וגם כתבתי <math>\ \empty</math> בפתרון הסופי, תודה
		+	:::יורידו אולי נקודות, אני לא יודע מראש כמה. אם אין לך טעויות חוץ מזה יהיה לך ציון טוב. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
		+
		+	==כמה שאלות לגבי פתרונות המבחן==
		+	1. בשאלה 3א האם אפשר היה להוכיח את היותה של הקבוצה בסיס על ידי שימוש בכך ש:
		+
		+	א. <math>|B|=N</math> ולכן משום היותה בסיס <math>dimV=n</math> ומשום <math>|C|=n</math> עפ"י הגדרתו אז <math>dimV=|C|</math>.
		+
		+	ב. בת"ל (וגם לא הוכחתי כפי שאתם הוכחתם אלא הוכחתי בשלילה, אמנם יצא לי יותר ארוך אבל אני מניח שזה בסדר, לא?!?).
		+
		+	2. ב-3ב לא יותר קצר למצוא את המטריצה הנדרשת באותו אופן שאתם מצאתם את ההופכית שלה?
		+
		+	3. בפתרון ל-2א יש לך טעות: הצבת a=1 וללכן לא יכול להיות שהפתרון הכללי למקרה של אינסוף פתרומנות תלוי ב-a.
		+
		+	4. איך נעשית חלוקת הנקודות בין הסעיפים בין השאלות הפתוחות? לכל סעיף משקל שווה?
		+
		+
		+	תודה מראש ושנה טובה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	לא, זה מה שצריך להוכיח.
−	אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>	+	1. בת"ל ובגודל n + השלישי חינם זה סבבה.
−	אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>	+
−	:אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.	+	2. אפשרי, קצר זה עניין של דעה :)
−	::וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)	+	3. כן, העירו לי על כך. תודה. כמובן שצריך להציב בכל מקום שם את a ולא רק בחלק מהמקומות :)
−	:::צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H	+	4. לא ידוע, יוחלט בעת הבדיקה.
−	==שאלה ראשונה בדף==	+	שנה טובה ומבורכת.
−	האם הנימוק הבא מספיק:	+
−	מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.	+	==שאלה אחרונה==
−	=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.	+	למה אם rankAB < min{rankA,rankB} אז A וגם B אינן הפיכות? תודה!
−	זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"	+	כי אם A או B הפיכות, אז AB היא בעצם A או B שמבצעים עליה פעולות אלמנטריות, עשיית פעולות אלה לא משנות את מרחב השורות ובטח לא את מימדו, ואז המימד של מרחב השורות של AB היה שווה למימד המינימלי בין A ו-B  ולא קטן ממש.
		+	:תודה רבה על התשובה בשעה מוקדמת! אשמח אם תוכל לענות לי על השאלה השניה לפני המבחן! תודה!
−	אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.	+	==שאלה==
−	: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?	+	במבחן 2003 מועד ב' שאלה 1 (צריך למצוא את [v]c, יש טעות בתשובה? עשיתי כמה פעמים מכל הכיוונים ויצא לי תשובה 4 ולא 2. תודה!
−	::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.	+	==6.14 עמוד 62 בחוברת==
−	:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?	+	בתשובות שבאתר הוספת לבסיס את (1,0,0). למה, לפי מה?
−	::::זה מספיק.	+
−	==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==	+	:מדרגים ומוסיפים את e_i עבור כל העמודות i של המשתנים החופשיים (כלומר משלימים איברים פותחים)
−	לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?	+
−	תודה מראש!	+	::אהה.. באמת? חידשת לי. תמיד כשרוצים להשלים קבוצה בת"ל לקבוצה פורשת אז שמים את הוקטורים מהקבוצה הבת"ל בשורות מטריצה, מדרגים, ורואים אילו משתנים חופשיים יש. לאחר מכן מוסיפים קבוצה ובה וקטורים <math>e_i</math>, עבור כל עמודה i שבה יש משתנים חופשיים? יש איזה משפט קשור או משהו שמסביר למה עושים דווקא ככה? תודה.
		+
		+	:::זה פשוט מאד, כמו שאמרתי - משלימים את האיברים הפותחים. לאחר התוספת יש n איברים פותחים (אם יש n עמודות) ואז מרחב השורות הוא ממימד n ובהכרח מרחב השורות הוא כל F^n.
		+
		+	==עזרה==
		+	איך מוכיחים את המשפט: יהי בסיס v1,..,vn לV וקבוצה w1,..wn בW, אז יש העתקה לינארית כך ש T(vi(=Wi? תודה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.	+	לא יודע איך הוכיחו לכם בכיתה (כנראה אחרת) אבל אפשר עם המטריצה המייצגת. כלומר למצוא את המטריצה המייצגת לפי ההגדרה נקרא לה A ואז ההעתקה Tx=Ax היא העתקה לינארית שמקיימת את הדרישה.
		+	:המטריצה המייצגת '''הוגדרה''' בהתבסס על המשפט הזה ולכן אני לא חושב שמותר להשתמש בה (אני לא מתרגל).
−	האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה  יש אותו מרחב שורות?	+	==שיחלוף==
		+	במשוואה שכוללת מטריצות, מותר לשחלף את שני האגפים וזה ישמור על שיוויון, בלי להסביר או להוכיח (אם זה לא התרגיל), נכון?
		+	:אתה מתכוון ש-<math>A=B\iff A^T=B^T</math>? בטח שזה נכון. זו בדיוק אותה מטריצה, ופעולת השיחלוף מוגדרת היטב (חד-ערכית). אני לא מתרגל, אבל אני כמעט בטוח שלא צריך להסביר או להוכיח.
−	====תשובה לתשובה====	+	==העתקת המטריצה==
−	את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)	+	בחוברת עמוד 52 שאלה 1.10 ב' - או שלא הבנתי את ההגדרה, או שיש טעות בהגדרת הטווח של ההעתקות T,S. למשל עבור העתקה T: הרי כפל של מטריצה מסדר m על n בוקטור מסדר n על 1 נותן וקטור מסדר m על 1 ולא הפוך!
−	את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.
−	ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:	+	ועוד דבר - צריך לזכור בעל פה את ההגדרות של העתקת המטריצה, ההעתקות <math>L_A</math>, <math>T_A</math> ועוד? אם לא, אז אילו הגדרות של העתקות כן צריך לזכור בעל פה?
−	"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"	+	===תשובה===
		+	אתה צודק זה באמת צריך להיות הפוך.
−	תודה על העזרה!	+	לא בטוח למה אתה מתכוון, אלה דברים שלמדתם בהרצאה, תלוי מה המרצה אמר שצריך לזכור.
		+	==מושג==
		+	מה זה "מרחב האפס"?
		+	:קבוצה שהאיבר היחיד בה הוא 0, והקבוצה הזאת היא מרחב וקטורי כל התנאים של מרחב וקטורי מתקיימים.
		+	::תודה. בעמוד 50 שאלה 11.15 ד' (בחוברת), אומרים "מצא בסיס למרחב האפס של A". מה הכוונה?
		+	:::<s>הכוונה היא שתמצא בסיס למרחב <math>\{\vec0_A\}</math>, כלומר המרחב שכולל את האיבר הנייטרלי לחיבור ב-A.</s>
−	*ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש<math>Ax</math> הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.	+	===תשובה===
		+	מרחב האפס בלי הקשר הוא אכן המרחב שמכיל בלבד את אפס. מרחב האפס של מטריצה, בד"כ, הוא מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית.
		+	:תודה!
−	*אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת '''ששקולת שורה לראשונה'''. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?	+	==שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==
		+	למה סכום איברי המטריצה הוא 1?? מאיפה בתשובות הוא הביא את התשיעית הזאת? המטריצה P היא <math>(0,2,1),(1,0,2),(2,1,0)</math> ולכן סכום איברי המטריצה הוא 0+2+1+1+0+2+2+1+0=9, למה 1?? תודה!
		+
		+	===תשובה===
		+	אתה רשמת את מטריצת המעבר מB לC. אבל P היא ההופכית שלה, מטריצת המעבר מC לB.
		+	:וואלה, תודה..
−	*בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח '''ת"ל'''. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.	+	==החוברת עמוד 48==
		+	כתוב שם שמרחב העמודות הוא תת מרחב של <math>F^n</math> כאשר <math>A</math> מסדר <math>mxn</math> ואני חושבת שמרחב העמודות הוא תת מרחב של <math>F^m</math>. לא? (כנ"ל לגבי מרחב השורות, רק הפוך)
−	תודה רבה!!! נשארו רק כמה דברים קטנים מאוד שלא הבנתי (והעברתי את השאלות למעלה)	+	:נכון זו טעות בחוברת.
−	==שאלה כללית==	+	==שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==
−	האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)	+	איך ניגשים לשאלה כזאת? מה הקשר בין הפיכות של הפונקציה לRANK שלה? אפשר הסבר מפורט בבקשה? זה ממש מבלבל! וגם, למה נתונה מטריצה B אם היא נמצאת בשאלה בכלל? תודה רבה מראש
	===תשובה===		===תשובה===
−	לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).	+	יש כמה קשרים בין השניים. למשל הrank של מטריצה ריבועית מגודל n שווה לn אם"ם היא הפיכה. אם נסתכל על זה בתור העתקות ליאריות, אז הrank הוא מימד התמונה והוא קטן ככל שמימד הגרעין גדל.
−	אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.	+	:'''למה אני אמור להסיק שA אינה הפיכה ב3?'''
−	:[[#שאלה על מימדים]]	+	::אם תסתכל על המשפט שרשמתי אז תראה שA הפיכה אם"ם הrank שלה הוא n אם הrank של A^2 קטן מהrank של A בוודאי הוא קטן מn ולא יכול להיות שהיא הפיכה. אבל אם A הפיכה בוודאי A^2 הייתה צריכה להיות הפיכה.
−	== 8.2.1/2==	+	==שאלה 1 מקובץ מצורף תרגול 4==
−	בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)	+	שלום רב. בשאלה התבקשנו להוכיח ש- <math>[I]_C^B</math> הפיכה. האם לא מספיק פשוט לומר ש- <math>([I]_C^B)^{-1}=[I]_B^C</math> ע"י בדיקה שאכן מתקיים שמכפלתן משני הצדדים היא <math>I</math> תודה, גל.
	===תשובה===		===תשובה===
−	השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.	+	אפשר, אם ידוע המשפט שקיימת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים ואז להשתמש בנוסחא של מטריצת מעבר.
		+	:כלומר ש'''אם''' מבקשים ממני במהלך המבחן להוכיח את זה אסור לי להשתמש במה שאמרתי?
		+	::תלוי מה יבקשו ספציפי. אם השאלה הייתה מופיעה כמו שהיא במבחן זה היה בסדר. תשאל בזמן המבחן.
−	כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.	+	==שאלה==
		+	אם v מוכל בw וגם dim של v שווה לdim של w אזי v=w זה משפט? וכיצד ניתן להוכיח?
		+
		+	===תשובה===
		+	שאלה 7.7 תרגיל 4.
		+
		+	===לא ענית לי על שתי השאלות: זה משפט? איך מוכיחים?===
		+
		+	זה עובדה, ומוכיחים כמו בפתרונות שיש באתר כמובן.
		+
		+	אפשר להשתמש בזה אלא אם צריך להוכיח את זה במפורש.
−	==7.7 ב'==	+	==mod==
−	בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...	+	המספר -1 בZ5 כלומר <math>-1 mod 5</math> זה 1 או 4? תודה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:	+	<math>-1 = 4 +(-1)\cdot 5</math> ולכן זה 4.
−	<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>	+
−	dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>	+	==שאלה==
		+	למה אם למערכת הומוגנית Ax=0 יש פתרון יחיד, אזי A הפיכה? תודה!
		+	===תשובה===
		+	קודם כל זה נכון רק אם '''A ריבועית'''. יש כמה וכמה הוכחות, למשל מטריצה ריבועית שקולת שורה למטריצת היחידה אם"ם היא הפיכה, ואם הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא לא מטריצת היחידה סימן שיש לה משתנים חופשיים ולכן יותר מפתרון אחד.
−	====תשובה לתשובה====	+	דרך אחרת להסתכל על זה היא שעמודות A בת"ל אם"ם למערכת Ax=0 יש פתרון יחיד, וידוע שעמודות מטריצה ריבועית בת"ל אם"ם היא הפיכה.
−	תודה!	+	:תודה!
−	אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?	+	==פרטים על המבחן בעמוד הראשי==
−	:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."	+	פרטים על המבחן בעמוד הראשי
−	::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!	+	:מה לגבי כמה זמן המבחן ומה המבנה שלו?
		+	::כבר אמרו את זה בהרצאות.
		+	:::ומי שלא הקשיב או לא היה מרוכז? או לא היה בשיעור?
		+	::::שישאל את החברים שלו. שאלות לגבי המבחן צריכות להיות מופנות למרצים ולא למתרגלים.
−	==שאלה 8.2.1/2==	+	===שאלה קטנה===
−	בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה	+	איפה זה בניין 507? זה הבניין שאנחנו בדרך כלל לומדים בו או בניין אחר? תודה!
		+	:אנחנו לומדים ב-604.
		+	::אז אפשר הכוונה לגבי איפה זה 507?
		+	:::507 זה הבניין הגדול עם המבנה המיוחד והמגני דויד למעלה, ממש ליד הבניין שאתם לומדים בו.
		+
		+	==שאלה/בקשה==
		+	נכון יש משפט שאומר (אני לא יודע ממש איך לכתוב בשפה המתמטית בפורום, לכן הבינו ש2 אותיות אחרי הT פירושן שהאות הראשונה למעלה מימין והשנייה למטה מימין וכו'): <math>[T]FG=[Iw]HG[T]EH[Iv]FE</math>? אז השאלה שלי היא, למה צריך את המשפט הזה תכלס? מתי המשפט הזה עוזר? והאם מתרגל יכול, בבקשה, להביא תרגיל אחד שבו חייבים/ רצוי מאוד להשתמש במשפט הזה? תודה רבה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.	+	<math>[T]_G^F=[Iw]_G^H[T]_H^E[Iv]_E^F</math>
−	==צ"ל?==	+	השתמשנו בנוסחא הזו בשאלה הקודמת שלך... פשוט שם הייתה גם המטריצה <math>[I]_S^S</math> שהיא שווה למטריצת היחידה ולכן לא הזכרנו אותה.
−	יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?	+
		+	== שאלה ==
		+	מבחן 2004 מועד א' שאלה אמריקאית 3.. איך מוצאים את המימדים של U ו W?
		+	:(אני לא מתרגל)- 2 הSPANים פורשים, רק תבדוק אם יש בכל אחד מהSPANים איברים שתלויים אחד בשני, אם יש- תוריד אותם, ותישאר עם בסיסים לU וW.
	===תשובה===		===תשובה===
−	זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?	+	מעבירים לצורה וקטורית שמים בשורות מטריצה ומדרגים.
		+	==מבחן תשס"ד מועד ב' חלק אמריקאי שאלה 2==
		+	התשובה לא אמורה להיות A^-1*B במקום B*A^-1? כי  <math>[T]AB=[I]SB*[T]AS=(A^-1)*B</math> לא? תודה!
−	===תשובה נוספת===	+	===תשובה===
−	אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:	+	לא נתון שB הוא בסיס בכלל. [T] צריכה לקיים את המשוואה <math>[T][v]=[Tv]</math>. לכן <math>[T][v_i]=[T]v_i=[Tv_i]=w_i</math> (כי הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שוות לוקטור עצמו). אבל <math>A^{-1}v_i=e_i</math> ואז <math>BA^{-1}v_i=Be_i=C_i(B)=w_i</math> כפי שרצינו.
−	הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.
−	כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''	+	דרך אחרת להוכיח: (פשוט הרבה יותר)
−	===הבהרה===	+	<math>[T]=[T]_S^S=[T]_S^A\cdot [I]_A^S=BA^{-1}</math>
−	# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).	+
−	# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).	+	==שאלה על הוכחה==
−	# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)	+	האם ההוכחה הזאת קבילה?: נתון ש<math>AB=I</math> וכי <math>T:F^{n\times{n}}\rightarrow{F^{n\times{n}}}</math> כך ש:<math>T(X)=BX</math>, אני צריך להוכיח ש<math>T</math> על:
		+	"נניח -T לא על: לכן קיים <math>Q\in{F^{n\times{n}}}</math> כך שלכל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math>
		+	<math>T(Z)\not=Q</math> לכן <math>BZ\not=Q</math> לכן <math>ABZ\not=AQ</math> כלומר- <math>Z\not=AQ</math> בסטירה לכך שהטענה נכונה עבור כל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math> לכן T על? האם זה נכון?
	===תשובה===		===תשובה===
−	* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.	+	כן, עדיף הוכחות כאלה לבצע בחיוב ולא בשלילה. תהי Q מטריצה כלשהיא, אזי המקור שלה הוא AQ ולהוכיח את זה.
		+	כן אבל בתרגיל הספציפי הזה אסור היה להשתמש במשפט ש<math>AB=BA=I</math> היה נתון רק ש<math>AB=I</math>
−	* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:	+	== שאלה==
		+	מבחן 2 שאלה אמריקאית 2..
		+	הטענה חייבת להיות לכל Im(z)==0 אחרת זה לא יכול להתקיים
		+	: מה זה מבחן 2? איזו שנה? איזה מועד?
		+	::2005 מועד א'
		+	:::נראה לי שאתה צודק... יהי <math>z=x+yi</math> ולכן <math>z^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i=x^3-3x^2yi+3xy^2+y^3i=(x-yi)^3</math> נפשט ונקבל ש- <math>6x^2yi-6xy^2-2y^3i=-6xy^2+(6x^2y-2y^3)i=0</math>. לאחר השוואה אני קיבלתי שאמנם ישנם אינסוף מקרים אבל בכולם <math>y=0=Im(z)</math>
−	<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.	+	===תשובה===
		+	[[#שאלה ממבחן 2005 מועד א]]
−	ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.	+	==מטריצות סימטריות ואנטי סימצטריות==
		+	שאלה: אם <math>A</math> ו-<math>B</math> סימטריות (שתיהן ריבועיות מאותו גודל) אז: האם <math>ABA</math> סימטרית?
		+	חשבתי על לפתור בדרך הזו: לפי סימטריות מתקיים ש: <math>A=A^t</math> וגם <math>B=B^t</math> ולכן <math>ABA=A^tB^tA^t=(BA)^tA^t=(A(BA))^t=(ABA)^t</math>. אי לכך גם <math>ABA</math> סימטרית. עם זאת, במבחן של 2003 (מועד א), זוהי שאלה 8 בחלק של האמריקאיות. אם מה שאני אומר נכון הרי שהתשובה אמורה להיות 3, אבל באתר כתוב שהתשובה היא 1. מה הטעות שלי? תודה, גל.
−	==מותר?==
−	האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.
	===תשובה===		===תשובה===
−	מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.	+	אתה צודק, ABA סימטרית אם A,B סימטריות מאותו גודל
−	==שאלה 2 בדף==	+	==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 11==
−	בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.	+	איך פותרים שאלה כזאת? הצלחתי להבין ש
		+	<math>[T]B=(u1,u2,u3;0,0,0;w1,w2,w3)</math> (; מפריד בין עמודות)
		+	אבל איך יודעים איפה יש עוד אפסים? אם התשובה היא 2 או 4? תודה רבה!
		+	===תשובה===
		+	אני לא מתרגל אבל נראה לי שאני יכול לרמוז לך- תסתכל על הבסיס של האימג'- כל איבר בתמונה אתה יכול להציד כצירוף ליניארי שלהם.
		+	:לא הייתי עולה זה בחיים, אבל הבנתי- תודה רבה!
		+
		+	==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 9==
		+	למה התשובה הנכונה היא- כל התשובות לא נכונות? אני זוכר שלמדנו משפטון שאומר שאם v1,..vk בת"ל אזי Tv1,..Tvk בתל כלומר 3 היא התשובה הנכונה.. לא? תודה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:	+	המשפטון שאתה מזכיר מחייב T '''חח"ע'''. למשל העתקת האפס תהווה דוגמא נגדית לסעיף זה
−	1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע	+	==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 4==
		+	הצלחתי להבין, בשיטת האלימנציה, שהתשובה היא T32=0, אבל אני ממש לא יודע בדיוק למה, אפשר בבקשה הסבר קצר על למה אפשר לדעת בוודאות שT32=0 ואיך אפשר להוכיח את זה? תודה!
−	2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.
−	==שאלה 8.4==	+	===תשובה===
−	אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>	+	נבנה בסיס לגרעין של ההעתקה. הגרעין של T^2 בהכרח '''גדול ממש''' מהגרעין של T אחרת ההעתקה תתקע על אותו מצב ולא תתאפס בחיים (אבל נתון שהיא מתאפסת). ולכן מימד הגרעין גדול ב1 לפחות. אחרי 32 צעדים כאלה נגיע לגרעין בגודל 32 - כלומר העתקת האפס.
−	:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.	+
−	==שאלה 7.19==	+	מדוע ההעתקה תתקע? אני אשאיר את זה כתרגיל.
−	אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.	+	:למה גרעין בגודל 32 הוא העתקת האפס? כי המימד הוא 32?
−	:מתוך העמוד הראשי:	+	:וזה נכון לומר שהגרעין של TT חייב להיות גדול ממש מהגרעין שלT כי אם היה להם אותו מספר של איברים בגרעין אז מה שמאפס את T^1024 מאפס גם את T^1023 ואז זה אומר ש T^1023 הוא העתקת האפס, וככה עד שמגיעים ל-שT היא העתקת האפס תמיד, אבל יודעים שהיא לא העתקת האפס תמיד? תודה
−	===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===	+
−	'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.	+
−	:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19	+
−	::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)	+
		+	::קודם כל כן, אם הגרעין בגודל 32 אז הוא כל המרחב ולכן זו העתקת האפס.
		+
		+	::שנית, לא זו לא הוכחה נכונה. צריך להוכיח שאם נשלים את הבסיס של הגרעין של T^n לבסיס למרחב כולו, אזי הוקטורים שהשלמנו מהווים גם בסיס לתמונה של T^{n+1} ואז ברור שההעתקה חוזרת על עצמה. לא בטוח שזו הוכחה כל כך פשוטה.
		+
		+	==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 1==
		+	כל מה שאני יודע הוא שהאפסיות של T היא לפחות 1 כי בטוח שV שהוא לא וקטור האפס נמצא בגרעין, וגם ש TT=0 ולכן לכל u מתקיים T(Tu)=0 ולכן התמונה מוכלת בגרעין ולכן dim(ImT)<=dim(KerT). אבל כל מה שזה נותן לי זה שהמימד של V הוא לא אפס! אפשר עזרה? תודה רבה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?	+	המימד הוא בטוח לא 4 כי 4 זה המימד של כל ההעתקות הלינאריות, והקבוצה הזו לא מכילה את כולם. המימד הוא גם לא אפס, יש יש העתקות שונות מאפס כאלה.
−	:n, אבל איך זה עוזר?	+	נותר לבחור בין 1 לבין 2. נשלים את v לבסיס בעזרת u. אם ההעתקה שונה מאפס, u חייב להשלח לסקלר כפול v (אחרת פעם שנייה שנפעיל את ההעתקה היא לא תתאפס, ישאר שם גורם עם u.) לכן כל שתי העתקות יהיו ת"ל על ידי איפוס הסקלר הזה, ולכן המימד הוא אחד.
		+	:תודה רבה, רק עוד שאלה קטנה, איך יודעים שהמימד של כל ההעתקות הוא 4? תודה!
−	::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.	+	::זה משפט שיש איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות למרחב המטריצות. ואנחנו יודעים מהו המימד של מרחב המטריצות 2 על 2
		+	:::הבנתי, תודה!
−	==צ"ל טריוויאלי==	+	==שאלה על מכפלת מטריצת הפיכה והשחלוף שלה==
−	האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.	+	טענה: עבור <math>A</math> הפיכה הרי שיתקיים ש- <math>A^t</math> הפיכה (עפ"י משפט) ולכן <math>A^tA</math> הפיכה כי מכפלת שתי מטריצות הפיכות תתן מטריצה הפיכה נוספת.
		+	השאלה שלי האם זה הסבר מספק לקיום טענה זו. אם לא, מה עליי להוסיף?
		+	ובלי קשר, האם עליי להוסיף הערה מדוע המכפלה <math>A^tA</math> מוגדרת או שזה ברור?
		+	תודה, גל.
		+
		+
		+	:בגדול זה בסדר, תלוי מה אתה נדרש להוכיח. בזמן מבחן שואלים את המרצה אם צריך להוכיח כך וכך.
		+
		+	:: אוקי תודה. האם יהיו מתרגלים או מרצים כלשהם במבחן (אלי אמר שהוא לא יהיה)? אם כן, איך זה הולך? אתם נכנסים לשאלות או שחייבים לשאול לפני הבחינה?
		+
		+	:::יהיה מי שיענה על שאלות בזמן המבחן  (על שאלון המבחן ולא רמזים לפתרון כמובן)
		+
		+	== קישורים למבחנים ==
		+	כשעשיתם עריכה לדף של לינארית הוצאתם את הקישורים למבחנים לדוגמא אפשר להחזיר אותם? תודה(:
		+	:זה נמצא ב[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99&oldid=5475 היסטורית הדף].
		+
		+
		+	::הם פשוט הועברו בטעות לבדידה במקום ללינארית. הם הוחזרו למקום בדף של לינארית
		+
		+	==שאלה==
		+	האם נושא הדטרמיננטות כלול בחומר למבחן?
		+
		+	אני לא מתרגל, אבל ודאי שלא
		+
		+	==שאלה דחופה==
		+	מחר צריך לבוא בזמן של ההרצאה (9) או בזמן של התרגול (13:00)? תודה רבה!
		+
		+	:לא יודע מתי המרצים יגיעו. המתרגלים בגדול אמורים לבוא בזמן התרגול הרגיל.
		+
		+	:לפי מה שידוע לי אצלנו (אלי) מתחילים ב-0900.
		+
		+	מי שלומד עם אפי מתי צריך להגיע??
		+	לפי מה שזכור לי הוא אמר שהוא לא יבוא.. אנחנו צריכים לבוא ב9 או ב1?
		+	::אז כנראה שמי שלומד עם אפי צריך להגיע ב1, כי שיעור החזרה שלנו היה ביום שישי, ומחר יהיה לנו רק שיעור חזרה עם המתרגלים ב1..
		+
		+	==חח"ע ועל של ה"ל==
		+	שלום רב,
		+	נניח ונתונה לי ה"ל <math>T:V->V</math>. האם נכון לומר ש <math>T</math> חח"ע אם"ם <math>T</math> על? ואם כן, האם עליי להסביר במבחן מדוע?
		+
		+	תודה, גל.
	===תשובה===		===תשובה===
−	אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.	+	זה נכון ונובע ממשפט הדרגה V=dimKer+dimIm (צריך לצטט את המשפט ולהסביר למה זה נובע)
−	:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.	+
−	::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.	+
−	:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?	+
−	::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.	+	למעשה הטענה היא יותר כללית. תהי T:V->W כך שהמימדים של V,W שווים, אזי T על אם"ם T חח"ע.
−	== בסיס ==	+	==2.15ב'==
		+	אם אני רוצה למצוא את kerTa אז מה שצריך לעשות זה לכפול את המטריצה A במטריצה כללית מסדר 2x2 ולהשוות לאפס- ואז למצוא את המטריצה הכללית?- הכוונה במטריצה כללית זה שאני אסמן a  b c d במקום קבועים במטריצה ואז אבדוק מה אני אקבל.. וזה יהיה הker?
−	מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים	+	:כן, הגרעין זה מה שנשלח לאפס על ידי ההעתקה.
−	ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.	+
−	אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?	+
−	:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.	+
−	לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..	+	==שאלה==
−	:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.	+	אם אני יודע ש:<math>\dim (W+U)= \dim W + \dim U</math> וגם <math>\dim V= \dim W + \dim U</math>
		+	כאשר<math>U,W\le V</math> אז אני יכול להגיד ש:<math>U\oplus W=V</math> ?
−	==בסיסים==	+	===תשובה===
−	הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.	+	כן
−	זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).	+	:(לא אני שאלתי את השאלה) למה כן? אם למשל <math>U=\{(a,0,0)\}</math>, <math>W=\{(0,a,0)\}</math>, <math>V=\{(a,0,b)\}</math>? (כך ש-a,b שייכים ל-R)
		+	:ומה ז"א: <math>U,W\le V</math>?
		+	::אתה צודק, זה לא נכון (לא אני רשמתי את התשובה הקודמת). אם נוסיף את התנאי ש-<math>U+W=V</math> זה כן יהיה נכון. <math>U,W\le V</math> משמעו <math>U,W</math> תת מרחבים של V.
−	אפשר הסבר? תודה מראש!	+	===תשובת מתרגל===
		+	המשפט נכון, והרי הוכחה:
		+
		+	נתון U,W תתי מרחב של V. אזי ברור ש<math>U+W\subseteq V</math>. לכן לפי הנתון <math>dim(W+U)=dimV</math> יש לנו תת מרחב עם מימד שווה למרחב ולכן הם שווים <math>U+W=V</math>.
		+
		+	כעת לפי משפט המימדים <math>dim(U+W)=dimU+dimW + dim(U\cap W)</math> ולכן לפי הנתון <math>dim(U\cap W)=0</math>  ולכן <math>U \cap W = \{0\}</math>.
		+
		+	וזה מה שצריך על מנת להוכיח סכום ישר.
		+
		+	תודה רבה! ואגב לזה שהביא את הדוגמה, בדוגמה שלך W לא תת מרחב של V.
		+	אפשר להשתמש בזה או שצריך להוכיח?
		+	:נכון, זה בגלל שלא הבנתי מה אומר סימן ה"קטן-שווה". מצטרפת לשאלה.
		+	::צריך להוכיח.
		+
		+	==char-ים במבחן==
		+	כמעט לא התעסקנו ב-char-ים בשיעורים, לא תרגלנו והמרצים/מתרגלים בד"כ הזכירו את זה כהערת אגב. יהיו char-ים במבחן? תודה, 16:11, 28 באוגוסט 2010 (IDT)
	===תשובה===		===תשובה===
−	מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.	+	לא יהיה מעבר לדברים דומים למה שעשינו בכיתה.
−	יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.	+	==1.28==
		+	לא הבנתי את התרגיל בכלל. את <math>T(f)</math> אמנם מצאתי בלי בעיה, אבל איך מוצאים את <math>T^{-1}(f)</math>? קראתי פה שאלה ותשובה:
		+
		+	'''''איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?'''''
		+	'''יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.'''
		+
		+	ולא הבנתי בכלל. מה הקשר למטריצות? (אני יודעת מה זו מטריצה מייצגת, קראתי את הקובץ, וגם במחברת, ונראה לי שהבנתי, אבל מה הקשר לתרגיל הזה? בכלל לא הבנתי מה השימוש של המטריצה המייצגת, מלבד לפתרון של תרגילים מסוג "מצא את מטריצה המייצגת").
		+
		+	ומה זה "בסיס בתמונה", בתרגיל הזה הבסיס הוא <math>\{1,x,x^2\}</math>? את המקור אמצא בעזרת מערכת משוואת כזו: <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=1</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x^2</math> ? ואז.. מה אני עושה עם המקור הזה? שוב, מה קשורה המטריצה המייצגת?
		+
		+	תודה רבה מראש, מקווה להסבר מפורט.
		+
		+	----
		+
		+	ניסיתי עכשיו לפתור איך שראיתי לנכון, בלי מטריצות וכל זה... סימנתי <math>T^{-1}(f)=mx^2+nx+d</math>. לאחר מכן אמרתי ש-<math>TT^{-1}(f)=I_{R_2[x]}(f)=f=cx^2+bx+a</math> (ה-<math>f</math> הוא סימון). מצד שני, <math>TT^{-1}(f)=T(T^{-1}(f))=T(mx^2+nx+d)</math> וזה שווה למה שמצאתי קודם, הרי יש לי את <math>T(f)</math>. קיבלתי מערכת של 3 משוואות (לפי המקדמים של <math>x^2</math>, <math>x</math>, <math>1</math>) ואז ביטאתי את <math>m</math>,<math>n</math>,<math>d</math> באמצעות <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> וקיבלתי את <math>T^{-1}(f)</math>.
		+
		+	בלי מטריצות, רק אלגברה. הגיוני? או שבכלל לא הבנתי את התרגיל?
		+
		+
		+	===תשובה===
		+	*למדנו הרי כיצד למצוא העתקה '''מפורשת''' באמצעות מטריצה מייצגת.
		+	*אנחנו יודעים שהתמונה היא מרחב וקטורי, ולכן יש לה בסיס נסמן אותו <math>u_1,...,u_n</math>
		+	*נמצא w_i כך ש <math>Tw_1=u_1,...,Tw_n=u_n</math>
		+	*לכן <math>T^{-1}u_i=w_i</math> וכך אפשר למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת כמו בתרגיל.
		+
		+	דרך שנייה:
		+	*נמצא את המטריצה המייצגת של T
		+	*נהפוך אותה על מנת לקבל מטריצה מייצגת של <math>T^{-1}</math>
		+	*נמצא את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת, כמו בתרגיל.
	====תשובה לתשובה====		====תשובה לתשובה====
−	תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?	+	תודה רבה על התשובה!
		+
		+	לגבי הדרך הראשונה:
		+	*מה זה אומר העתקה '''מפורשת'''?
		+	*האם לכל <math>T(u)=v</math>, מתקיים <math>T^{-1}(v)=u</math>?
		+	*תודה, הצלחתי לפתור את התרגיל בדרך הזו! והתשובה יצאה לי כמו זו שיצאה בדרך שעשיתי קודם (זו שפירטתי למעלה). מעניין איזו קצרה יותר או עדיפה מאיזושהי סיבה. יש העדפה כלשהי באופן כללי, ובמבחן בפרט?
		+
		+	לגבי הדרך השנייה:
		+	*המטריצה המייצגת של <math>T</math> שהיא במקרה הזה פשוט מטריצה <math>[T]_S^S</math> כאשר <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי של <math>R_2[x]</math>, בעצם מטריצה שעמודותיה הן (1,0,0), (0,2,3), (0,3,0) - כלומר הצורה הוקטורית של התמונות המתקבלות עבור מקורות מאיברי הבסיס. נכון?
		+	*ישנו משפט שאומר שהמטריצה ההופכית של המטריצה המייצגת של <math>T</math> היא המטריצה המייצגת של <math>T^{-1}</math>? (זה קל להוכחה אבל האם צריך להוכיח בכל פעם?)
		+	*איך מוצאים את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת? ואיזה תרגיל?
	=====תשובה=====		=====תשובה=====
−	המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).	+	*צורה בה אתה יודע לאין איבר כללי הולך. לדוגמא: <math>T(x,y,z)=3x+y+z</math>
		+	*כן, זו כמעט ההגדרה של ההעתקה ההופכית.
		+	*יש העדפה לדרכים שאני הצעתי, בניגוד לפתרון הרבה מערכות משוואות.
−	======הבהרה======	+	*לא עקבתי ביחס לתרגיל, אבל בגדול מה שאמרת נשמע נכון.
−	אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?	+	*צריך לצטט את המשפט בלבד אלא ביקשו מכם להוכיח במפורש
−	:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.	+	*עשינו תרגיל כזה בכיתה. אתה מחשב מטריצה מייצגת שמעבירה מהבסיס הסטנדרטי לאנשהו ואז אתה מקבל נוסחא כזו:
		+	<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>
−	::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>	+	======השאלות שנשארו======
		+	*בעצם מה שאני צריכה למצוא בתרגיל הזה. אוקיי תודה.
		+	*וניתן להשתמש בזה בלי להוכיח, נכון?
		+	*דרך הפתרון שלי דווקא פשוטה (רק 3 משוואות קלות), אבל באמת כדאי שאבין את עניין השימוש במטריצה המייצגת.
−	:::תודה!	+	*טוב.
		+	*מהו הניסוח המדוייק של המשפט הזה?
		+	*הנוסחה היא ממש משפט, לא? אבל לא הבנתי מה כתבת פה: '''לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>.''' בבקשה תסביר ברור יותר, ממש חשוב לי להבין את זה (והתרגיל מהכיתה לא כתוב לי, העדפתי להקשיב).
−	==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
−	* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
−	* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.
		+	*
		+	*כן
		+	*חשוב להבין כי יהיו שאלות '''ישירות''' על מטריצה מייצגת שלא תוכלי להתחמק מזה.
		+
		+	*
		+	*תחפשי במחברת הרצאה הכי טוב
		+	*הנוסחא היא משפט כן. את יודעת ש<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. מה המשוואה הזו אומרת? מצד שמאל יש את המכפלה של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>. מצד ימין מקבלים את הקואורדינטות של Tv לפי הבסיס B. לכן צירוף לינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים שהם המכפלה משמאל שווים בדיוק לTv (הרי זו ההגדרה של קואורדינטות).
		+
		+	מובן?
		+
		+	:אהה.. נראה לי שהבנתי! תודה רבה!! אנסה לפתור את התרגיל בשתי הדרכים.
		+
		+	==2.15==
		+	מה הכוננה של (v(Ta בסעיף ב'? תודה
		+
		+	:ההגדרה בעמוד 56
		+
		+	==מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 10==
		+	למה הטענות הנכונות הן א' וד'? אני חושב ש ב' וג' לא נכונות וגם א' לא נכון. למה א' נכון? א' אומר שכל הפונקציות מR לR הן כל הפונקציות הזוגיות סכום ישר עם כל הפונקציות האיזוגיות. זה לא נכון, כי יש פונקציות שהן לא זוגיות ולא איזוגיות ולא הסכום שלהן, כמו f(x)=x+1 או f(x) =rootX. (שורש של X). ויש גם פונקציות שהן גם זוגיות וגם איזוגיות, כמו f(x)=0 לא? כי אני זוכר מהבגרות שפונקציות זוגיות הן סימטריות ביחס לציר הX (מתקיים) ופונקציות אי זוגיות סימטריות ביחס לציר ה-X "ואז" לY (כלומר לשקף את מה שמימין לציר הX ומשמאל לציר הX ואז זה אמור להיות סימטרי ביחס לציר הY). אני טועה? תודה
	===תשובה===		===תשובה===
−	*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.	+	* כל פונקציה היא סכום של זוגית ואי זוגית, ספציפית עשינו את זה בתרגיל. <math>f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>
−	*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.	+	*אתה יודע למה ב' לא נכון? מעל הממשיים הוא כן נכון. הבעייה היא, למשל, מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> שם יש את המטריצה <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}</math> שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית ושונה מאפס.
		+	:שתי דברים: דבר ראשון, לא הבנתי מהדוגמה שלך למה כל פונקציה היא סכום של פו' זוגית ואי זוגית (ואני לא זוכר שעשינו את זה בתרגיל). דבר שני, אז מה אם הפונקציה f(x)=0, היא לא גם זוגית וגם אי זוגית? תודה
−	==בקשר ל 6.5==	+	::אתה יכול לוודא בקלות ש<math>\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> אי זוגית ו<math>\frac{f(x)+f(-x)}{2}</math> זוגית. 0 היא בוודאי גם אי זוגית וגם זוגית. לכן החיתוך הוא אפס, בדיוק כמו שאנחנו מצפים מסכום ישר.
−	בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?	+
		+	==מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 3==
		+	אוקי, עכשיו אני בטוח שיש פה טעות כלשהי. בתשובות כתוב שאפשרות 3 היא הבחירה הנכונה, כלומר 3 לא נכונה. זה לא הגיוני, כי לפי השאלה, יש לבחור רק תשובה אחת לא נכונה, כלומר אם 3 לא נכונה אז 1 2 ו4 נכונות- אבל תשובה 2 אומרת שאף אחת מהתשובות האחרות היא אינה נכונה, שאת המשפט הזה אפשר להבין ב2 דרכים:
		+	-כל התשובות האחרות לא נכונות, שזה לא יכול להיות כי עם 3 הוא לא נכון זה אומר ש 1 ו4 נכונות בסתירה לכך שכל התשובות האחרות לא נכונות.
		+	-כל התשובות האחרות נכונות, שזה לא הגיוני כי 3 הוא לא נכון.
		+	אז נכון שיש טעות כלשהי? אני חושב שהתשובה ההגיונית היחידה היא 2. תודה
	===תשובה===		===תשובה===
−	אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.	+	תשובה 3 היא משפט שקר.
−	:אז לא צריך לפרט רק לציין?	+	אתה צודק שגם 2 הוא משפט שקר, זה פשוט בלבול של כותב השאלה.
−	::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף	+	==rank==
		+	הrank של מטריצת האפס הוא אפס, נכון?
		+	:כן
−	==טריוויאלי או צ"ל?==	+	==טעות במספר תעודת זהות==
−	האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.	+	שלום,בציוני הבוחן והתרגילים ישנה אותה טעות במספר תעודת זהות שלי,בשניהם כתוב 205403933 אך המספר הנכון הוא 205413933.
		+	אשמח אם תוכלו לתקן זאת
		+
		+
		+	:בסדר, תודה.
		+
		+	==שאלה על rank==
		+	יהי T:V->V ה"ל וB,C בסיסים בV. מה זה rankT? מה זה rank([T]BC)? (כשBC אומר שיש B קטן בצד למעלה ימין של [T] וC קטן בצד ימין למטה)? תודה
	===תשובה===		===תשובה===
−	אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).	+	<math>rank([T]_C^B)</math> זה דרגה של המטריצה המייצגת ואנחנו יודעים את ההגדרה של דרגה של מטריצה. הדרגה של העתקה rankT זה המימד של התמונה (עמוד 56 בחוברת).
−	==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==	+	==שאלה ממבחן==
−	בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.	+	במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 11, מה זה אומר שT היא מעל השדה Zp? זה אומר שהיא מZp לZp? מה זה אומר? איך זה יכול להיות שT היא מF לF כשF שדה, העתקה לינארית צריכה להיות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, לא? למה התשובה הנכונה היא 3? תודה.
−	לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?	+	===תשובה===
		+	שדה הוא תמיד מ"ו מעל עצמו ממימד 1. לכן זו העתקה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי. בשאלה מסתכלים על F כמ"ו מעל  Z_p בכלל.
−	תודה מראש!	+	בכל אופן לא למדתם מאפיין ולכן השאלה לא ממש רלוונטית.
−	:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.	+
−	::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".	+	==שאלה ממבחן==
		+	במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 10, למה התשובה היא א,ב,ג, ולא כל הטענות נכונות?? הצלחתי למצוא מטריצות כך שכל הטענות יהיו נכונות-
		+
		+	א' וב' שתי מטריצות האפס
		+
		+	ג' A מטריצת האפס וB מטריצה גדולה ללא אפסים
		+
		+	ד' A מטריצה גדולה ללא אפסים וB מטריצת האפס..
−	:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.
	===תשובה===		===תשובה===
−	משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.	+	בד', AB=0 איך הדרגה שלו תהיה שווה לדרגה של A בדיוק?
−	:תודה!	+	==שאלה ממבחן==
		+	במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 9, למה הפתרון הוא 3? שמתי משתנים, דירגתי והגעתי למטריצת הזהות, כלומר כל האיקסים שווים לאפס? זה בטוח לא יכול להיות <math>(0,t,0,0,0)</math>! יש טעות? תודה
−	==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==	+	===תשובה===
−	כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!	+	למעשה המשתנה השני *חייב* להיות חופשי. בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס.
		+	כמובן שעוד פתרונות יתכנו, אבל לא פתרונות 1,2,4 בהם המשתנה השני אינו חופשי.
		+	:"בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס"- סליחה, ממש לא הבנתי למה התכוונת. מה זה איבר פותח, למה המשתנה השני חייב להיות חופשי, מה זה אומר שאם לא היה איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת? גם אם הייתי יודע מה זה איבר פותח, למה דווקא המשתנה השני חייב להיות חופשי, למה לא השלישי הרביעי החמישי או הראשון? תודה
		+
		+
		+	::כמו שאמרתי, חלק מהאחרים גם יכולים להיות חופשיים. אבל השני '''חייב''' להיות חופשי. איבר פותח או איבר ציר זה האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס. איך יודעים אם משתנה הוא חופשי? אם אין איבר פותח בעמודה שלו. האופציה היחידה לשים איבר שונה מאפס בעמודה של המשתנה השני היא בשורה האחרונה. אבל השורה האחרונה חייבת להיות שורת אפסים על מנת שהמטריצה תהיה אכן מדורגת.
		+	:::מה?? המשתנה השני חייב להיות חופשי כי אין איבר פותח בעמודה שלו? אבל אפשר להחליף בין העמודה השניה לחמישית! והשורה האחרונה לא חייבת להיות שורת אפסים, דירגתי והגעתי לשורה ראשונה עם איבר פותח בעמודה הראשונה, שורה שנייה עם איבר פותח בעמודה השניה וככה לכל השורות!
		+
		+	::::אי אפשר להחליף עמודות, ממתי מותר? נתונה מטריצה '''בצורה קנונית'''. אתה לא יכול לשים איזה מספרים שאתה רוצה, רק מספרים שישאירו את המטריצה מדורגת קנונית. נובע מכך, '''בהכרח''', שהשורה האחרונה היא שורת אפסים. אחרת יש איבר פותח שאינו נמצא מימין ממש לאיבר הפותח שלפניו (והאיבר הפותח לפניו בעמודה האחרונה).
		+
		+	==שיעור חזרה ביום ראשון==
		+	שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים?
		+
		+	פשוט אני עוברת על כל המחברת ועד עכשיו יש לי בערך 7 שאלות, כדאי לשאול אותן פה, או לחכות לשיעור? (קשה יותר לשאול ולהסביר פה..)
	===תשובה===		===תשובה===
−	ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).	+	שיעור החזרה יהיה עם חומר מוכן מראש.
−	:תודה על הכל!	+
		+	פרט לכך, נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא כל המתרגלים, אבל לפחות אני).
		+
		+	בנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי.
		+
		+	:תודה על התשובה המהירה! מי אתה?
		+
		+	::ארז.
		+	:::אה יופי אתה המתרגל שלי.
		+
		+	==עמוד 49 שאלה 11.8==
		+	עבור מטריצה A=1-0-0,0-1-0 (מסדר 2 על 3), אני טוענת ש-rankA=2. צריך להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"?
−	==דרך הפתרון ל7.9==	+	תודה.
−	איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש	+
−	(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...	+
−	ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?	+
−	או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.	+
	===תשובה===		===תשובה===
−	למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.	+	מה הכוונה לפי הבסיס הסטנדרטי? ניתן לומר "זו מטריצה מדורגת. דרגת המטריצה שווה למספר השורות השונות מאפס בצורה המודרגת שלה. יש פה 2 שורות שונות מאפס"
		+	:טוב.. פשוט זה נורא ארוך לתרגיל שכולו 2 שורות ><. תודה.
		+	:יש לי רעיון, אכתוב "דרגת מטריצה מדורגת שווה למספר השורות השונות מ-0 בצורתה המדורגת" ואסמן בכוכבית, ואז בכל פעם אכתוב "לפי * rankA=2". אחרת, זה נורא ארוך וסתמי, לחזור על אותו המשפט 9 פעמים!
−	למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).	+	==שאלה ממבחן 2005 מועד א==
−	:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.	+	במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 2, z^3=x3 כשx שווה לצמוד של z. למה אף אחת מהתשובות לא נכונה? יצא לי שim(z)=0 גם כשהתעסקתי בZ כa+bi וגם כrcisO. זו טעות או שאני טועה? תודה
−	::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.	+
−	:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.	+
−	==בקשה==
−	אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
−	'==שאלה=='
−	ולא כך:
−	'=שאלה='
−	אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
−	:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).
−	::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)	+	===תשובה===
−	::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.	+	מה לגבי <math>cis(\frac{\pi}{3})</math>?
		+
		+	==2.11==
		+	בשאלה 2.11 בב' כתוב שיש העתקהה s:v -> v וs לא שווה לאפס. לא נאמר ש S העתקה לינארית, האם כשאני מוכיל שב' שקול לא' אני צריך להוכיח שS לינארית, או שהיא סתם העתקה?
		+	תודה
−	==שאלה על בסיסים ומ"וים==
−	האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.
	===תשובה===		===תשובה===
−	זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:	+	הכוונה לS העתקה לינארית, אחרת מה קשור משפט ההגדרה?
−	B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.	+	==שאלה ממבחן==
−	::תודה!	+	אם נתון לי ש
		+	:T(1+2x+xx)= (1,1,2)
		+	:T(1+x+2xx)=(2,1,1)
		+	:T(2+x+xx)=(1,2,1)
		+	אז אני יכול להגיד שפשוט T(axx+bx+c)= (c,b,a) ואז זה ממש ממש פשוט להוכיח שT חח"ע ועל?
		+	ועוד שאלה קטנה, כתוב בתחילת השאלה שT העתקה לינארית, אז זה אומר שכדי להוכיח שT איזומורפיזם אני לא צריך להוכיח שהיא העתקה לינארית נכון? תודה.
		+
		+	===תשובה===
		+	אי אפשר פשוט להגיד את זה, צריך להוכיח את זה.
		+
		+	אף פעם לא צריך להוכיח את הנתון. אם רשום "נתונה העתקה לינארית" אין צורך להוכיח את זה.
		+
		+	==2.8==
		+	סלחו לי אם אני כותב את התשובה, אבל לא קיבלתי מענה האם ההוכחה שלי נכונה או לא- האם אני יכול להוכיח שv=imT1=imT2 כך?
		+	x שייך לimT1 וy שייך לimT2 וv שייך לV.
		+	:x+y /T1() -> =T1(x)+ T1(y) /+T2(v) -> =T1x+T1y+T2v ->T2() -> =T1T2x+T1T2y+T2T2v =0+T2T2v =T2v
		+	:v /T1() -> =T1v /+T2v -> = T1v+T2v =Iv=v /T2() -> =T2v
		+	(עשיתי אותן פעולות והגעתי לכך ששני האגפים שווים). ואז רק להוכיח שחיתוך הimים זר, וזה בסדר? או שזה לא נכון? תודה!
		+
		+	:לא קיבלת מענה, כי בשביל זה יש בדיקת תרגילים. ביום ראשון יפורסמו פתרונות לתרגילים בכל מקרה.
		+	::אני לא יקבל את התרגיל עד המבחן ואני רוצה לדעת אם הפתרון שלי גם בסדר...
		+
		+	:::אז תשאל שוב יום ראשון.
		+	::::למחוק את השאלה?
		+
		+	:::::זה בסדר, תודה :)
		+
		+	==6.14==
		+	סעיף א: האם צריך להשלים את הה"ל לפי הבסיס הסטנדרטי , ואז למצוא את T בצורה מפורשת? וכן בסע' ב' האם לשלוח את הוקטורים הנתונים ל-0, ולהמציא וקטור שלישי (בת"ל בשניים הנתונים) ו"לשלוח אותו" לסתם וקטור כלשהו, ואז למצוא את T... אבל אז סע' ב' וג' יכלים להיות זהים? נכון?
−	==שאלה==
−	האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)
	===תשובה===		===תשובה===
−	בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.	+	בסעיף א' צריך למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת. מה להשלים למה זה בחירה שלך, העיקר שיקיים את תנאיי הסעיף.
		+
		+	כנ"ל לגבי הסעיפים האחרים.
		+
		+	בוודאי שכל העתקה לינארית מסעיף ג' עונה על התנאים של סעיף ב'.
		+	====שאלה בקשר לתשובה====
		+	האם צריך להראות איך הגענו לההעתקה המסויימת או שפשוט להראות שהיא מקיימת את התנאים?
		+
		+	=====תשובה=====
		+	צריך לפרט בתרגיל הזה, שכן הוא בוחן את ההבנה של משפט ההגדרה, ומציאת העתקה המפורשת מתוך ההגדרה
		+	:התכוונתי האם צריך להסביר איך הגעתי להעתקה עצמה או להראות שזה מתקיים עבור בסיס כלשהו ואז להשתמש במשפט ההגדרה ולהגיע לכללית? (האם צריך להסביר למה בחרתי ככה את ההעתקה עבור האיברים של הבסיס ואיך הגעתי אליה??) ודבר נוסף האם מותר לי להגדיר את ההעתקה שלי כלינארית ואז להשתמש במשפט ההגדרה (כי אני נותן את הערכים שאליהם נשלח הבסיס) ולהגיע להעתקה הכללית? (מותר לי להגדיר אותה כלינארית בכלל בתרגיל הזה? לא שאני רואה דרך אחרת..)
		+
		+	==1.28==
		+	האם זה נכון להוכיח ש imT1=kerT2, ומכאן נובע שהסכום ישר לפי 2.7 ב. כי T2 אידמפוטנטית?
−	==שאלה==
−	האם כל span כולל את אפס?
	===תשובה===		===תשובה===
−	כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.	+	אם זה נכון זה בסדר, ואם זה לא נכון אז לא :)
−	הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים	+	==כמה שאלות==
		+	*'''דורש הוכחה או טריוויאלי?''' קבוצה D פורשת מ"ו V. ב-D יש n איברים. האם צריך להסביר למה מכך נובע ש- dimV<=n? (אפשר להניח בשלילה ש-k=dimV>n ואז אם d שייך ל-D, נוסיף ל-D עוד k-n איברים מהצורה ad כאשר a בשדה. נקבל קבוצה חדשה E שפורשת את V וגם dimE=k לכן E בסיס ל-V, אבל E ת"ל כי <math>d+a_1ad=0</math> כאשר <math>a_1</math> בשדה אבל <math>a_1=-a^{-1}</math> שונה מ-0. קיבלנו סתירה לכך שבסיס הוא בת"ל, מ.ש.ל) ההוכחה די ארוכה והיא לא מטרת התרגיל (11.2), אבל מצד שני, האורך שלה מראה על כך שהיא לא ממש טריוויאלית.. בקיצור - צריך או לא צריך?
		+	*מה זה cspan? אם יש כזה דבר בכלל..?
		+	*הציון שלי של תרגיל 3 לא מופיע, למה ומה לעשות בנושא? (הגשתי אותו!)
−	== 7.20 ==	+	תודה מראש!!
−	אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
−	מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..
	===תשובה===		===תשובה===
−	תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.	+	*לא צריך להוכיח את זה אלא מבקשים במפורש. מספיק לצטט את המשפט מההרצאה.
−	אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:	+	*אני מנחש שזה קיצור של Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם ראיתם את זה בהרצאה או לא.
−	ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).	+	*לשלוח למתרגל שלך מייל בנושא.
		+	====תשובה לתשובה====
		+	תודה!
		+	*איזה משפט בדיוק?
		+	*אני ראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...
		+	*אוקיי תודה.
−	V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.
−	==שאלה==	+	:לא יודע, תפתח מחברת ותחפש. כנראה שיהיה מספיק לכתוב "לפי משפט, מספר האיברים בקבוצה פורשת גדול או שווה למימד"
−	אם אני יודע ש:	+
−	v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:	+	::נראה לי שהמשפט שאומר שאם יש קבוצה שפורשת את V, וקבוצה בת"ל מוכלת ב-V אז מספר האיברים בפורשת גדול שווה ממספר האיברים בבת"ל.
−	*<math>sp(B)=V</math>	+
−	*B בת"ל.	+	==המבחן==
−	אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?	+	ביום שלישי יש מבחן בלינארית. כמה זמן המבחן? מתי הוא מתחיל? כמה שאלות? מה המבנה?
		+
	===תשובה===		===תשובה===
−	כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל	+	מה שאמרו בהרצאה. אם לא אמרו, אפשר לשאול ביום ראשון בחזרה
−	==שאלה 7.10==	+	מה אמרו בהרצאה? אני לא יכול להגיע ביום ראשון לחזרה, אתם משאירים אותי פה במתח.
−	העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.	+
−	יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?	+
−	איך מנמקים את זה?	+
		+	== 11.10 ==
		+	האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)?
	===תשובה===		===תשובה===
−	השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.	+	לא, זה לא נכון. קח (A=(-B
−	== שאלה ==	+	==שאלה 6.14==
−	איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?	+	אפשר הכוונה לגבי 6.14? תודה רבה!
		+
		+	:הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, השלמה לבסיס. אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.
		+	::התכוונתי לגבי א'. תודה
		+	:::כן, לגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא המרחב הנפרש על ידי ה-w_i מהמשפט.
		+
		+	==2.8==
		+	מה זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? או מה? זה ממש לא מובן. תודה
	===תשובה===		===תשובה===
−	למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.	+	תקרא את אותה שאלה עם התשובה למטה.
		+	:סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו את זה אבל לא נורא. תודה
−	הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).	+	::אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את זה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן.
		+	===שאלה נוספת===
		+	וכשכתוב בב' T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של העתקות, כמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה
−	כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.	+	:ואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו <math>T^2=TT=T\circ T</math>
		+	::אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.
		+	===עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון===
		+	האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם זה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר. זה בסדר? תודה!
−	==שאלה על מימדים==	+	:אין עובדה שזה סכום ישר, זה מה שצריך להוכיח. אם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר.
−	מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?	+
		+	:ואתה לא צריך להראות שסכום של x וy הוא איבר בV זה טריוויאלי מסגירות. אתה צריך להוכיח ש'''כל''' v בV הוא מהצורה v=x+y עבור x,y כלשהם בIm-ים המתאימים.
		+	::אוקיי, אז אם אני לוקח v ששייך לV, ואחרי כמה פעולות מגיע ממנו לX+Y, זה בסדר?
		+	::האם מותר לי גם (יהיה לי הרבה יותר קל אם כן) להניח שקיימים v,x,y כמו מקודם, ואז להראות אחרי כמה פעולות ש v=a וגם x+y=a
		+	::(a ביטוי מסוים שלא אכתוב כדי לא לגלות את התשובה). זה בסדר? אפשר להגיד שאם זה ואם אין חיתוך בין הim-ים, אז ה-דרוש מתקיים?
		+	::ועוד דבר, אני יכול להניח שT1 וT2 הפיכות? תודה!
		+
		+	::: אי אפשר להניח דברים שלא בנתון. ושוב, אתה חייב להראות ש'''כל''' v הוא מהצורה הנ"ל. איך תעשה את זה? זו החלטה שלך. הניסוח שלך קצת מצחיק- תקח x,y,v כללים ותוכיח שתמיד x+y=v? הרי וודאי לא יכול להיות שתצליח בזה.
		+
		+	==2.7==
		+	אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה שהם מבקשים? או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות?(לפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני וניתן לסתור אותו,אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא?)
	===תשובה===		===תשובה===
−	המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.	+	הלוגיקה חשובה במתמטיקה. אני אענה לשאלה, אבל חשוב לי להבהיר שאתם צריכים להיות מסוגלים להבין שאלה כזו לבד.
−	==שאלה כללית==	+	כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת.
−	האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?	+
		+	במקרה הזה המשפט הוא:
		+	'''T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.'''
		+
		+	אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה).
		+
		+	לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות '''וגם''' שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.
		+	:ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה
		+	::יופי. תמיד טוב לשאול.
		+	===שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה===
		+	רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא?
		+
		+
		+	יש לשים לב כי העתקה אידמפוטנטית מוגדרת <math>T^2 = T</math>  פרט ל-0 (בדר"כ) - בהסתמך על הערך "אידמפוטנט" [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%9E%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA]
		+
		+	== 1.28 ==
		+	המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?
		+	(לא ענית לי למטה..)תודה!
	===תשובה===		===תשובה===
−	שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.	+	כי מה שרשמת זה לא מטריצה. העמודות של המטריצה צריכות להיות וקטורי הקואורדינטות, בוודאי פולינום אינו יכול להיות עמודה של מטריצה.
		+
		+	ממליץ בחום רב לקרוא את המסמך על קואורדינטות ומטריצות מייצגות, יש שם דוגמאות והסברים לכל התהליך.
		+
		+	==שאלה (שקשורה ל6.14)==
		+	האם העתקה T:V->W חייבת להיות מוגדרת לכל v בV? אני יודע שבהעתקות, לא חייב להיות לכל וקטור בW מקור, כי אני זוכר שהעתקה יכולה להיות על ולא על, אבל האם היא חייבת "לקחת" את כל הקטורים מV אל איברים בW אל לא?
		+	למשל, אם אני מגדיר העתקה מR4 לR4, האם אני יכול להגיד אותה כך? T(a,b,00) = T(0,0,a,b) אפילו שהוא לא מוגדר לכל V, או לא? תודה
		+
		+	===תשובה===
		+	חייב להיות מוגדר לכל v, באופן כללי פונקציה צריכה להיות ח"ע ושלימה (כמו בבדידה)
		+
		+	== 1.14 ==
		+	אפשר בבקשה הכוונה איך אני מוכיח את א'? עם ב' הסתדרתי..
		+
		+	:אין סעיפים בשאלה 1.14
		+
		+	::התכוונתי להעתקת האפס!!
		+
		+	:::מוכיחים את זה באמצעות הקריטריון המקוצר לבדיקת העתקה לינארית.
		+
		+	::::אני יכול לעשות מעבר כזה: T(v+u) =0 כיוון ש לכל v ששיך לV מתקיים T(v)=0?
		+
		+	:::::מן הסתם... זו ההגדרה של העתקת האפס.
		+
		+	:::::תודה:)
	==שאלה==		==שאלה==
−	האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?	+	הדרגה של מטריצה עם 2 שורות ו2 עמודות שונות משורות אפסים, היא 2 או 4? לפי תשובה קודמת, נראה שכתבתם שהדרגה היא 2,
−	<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>	+	אבל זה מביא לסתירה מסוימת, כי אם rank(A) =2 אם A מטריצה מגודל 2 על 2, אז זה אומר גם שהמימד של המרחב R2x2 הוא 2, לא? אבל חשבתי שהמימד של המרחב R2x2 הוא 4, כי בבסיס שלו 4 איברים {(0,0,0,1)(0010)(0100)(1000)} ? איפה אני טועה? תודה
−	תודה מראש...	+
		+	===תשובה===
		+	לפי תשובה קודמת, ראינו מטריצה כזו עם דרגה 1. אין קשר בין המימד של מרחב המטריצות, לפי המימד של מרחב השורות של המטריצה. הדרגה של מטריצה בגודל nxm היא קטנה שווה למינימום בין n,m. לעומת זאת מימד כל המטריצות הוא nm.
		+
		+	אם המטריצה בצורה מדורגת, הדרגה שלה היא '''מספר השורות השונה מאפס'''. בפרט, הדרגה לא יכולה להיות גדולה ממספר השורות.
		+	:כמה שאלות: -מהי הגדרה של הדרגה של מטריצה? אם היא קטנה או שווה למינימום בין M,N, זה אומר שאי אפשר לחשב אותה במדויק?
		+	:-אם יש מטריצה (מטריצות) שנראית כך: a, b, c, a+b+c
		+	:(a וb בשורה הראשונה וה2 האחרים בשורה השניה), אז מימד המטריצות האלה הוא עדיין MN? אפילו שאחד האיברים במטריצה תלוי באחרים?
		+	:-rankT כך שT הוא ממטריצות MxN למטריצות מאותו הגודל, הוא MN או המינימום? יש דבר כזה rankA וגם rankT כשA מטריצה וT העתקה? הם 2 סימונים ל2 דברים שונים? תודה רבה
	===תשובה===		===תשובה===
−	לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.	+	ההגדרה רשומה בעמוד זה, מספר פעמים. למשל [[#שאלה לתשובה]] ושתי שאלות מתחתיה.
−	המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)	+	אם תיקח תת מרחב של מרחב כל המטריצות שלא מכיל את כל המטריצות האפשריות, המימד שלו בהכרח יהיה קטן יותר. לגבי הדוגמא הספציפית צריך לוודא שזה אכן תת מרחב אחרת אין הגדרה למימד שלו.
		+
		+	rankT היא הדרגה של העתקה, אני לא יודע אם למדתם את זה או לא. אם כן, יש הגדרה במחברת שלכם. אם T העתקה לינארית ממרחב המטריצות למרחב המטריצות, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ממימד NM ולכן המטריצה שמייצגת אותה היא מגודל NMxNM, ולכן יכול להיות שהדרגה של המטריצה המייצגת הינה NM.
		+	::::תודה לגבי כל השאר, יש לי רק עוד דבר לא פתור: נניח שיש מטריצה (בוא נגיד, מסדר 2 על 2) כאשר אחד או יותר מהמקומות במטריצה הוא תלוי\ים במקומות האחרים (כמו בדוגמה שנתתי קודם, רק אם הדוגמה שנתתי לא טובה (כי היא לא תת מרחב וכדומה) אז דוגמה אחרת דומה -- המימד של המטריצות מהסוג הזה הוא עדיין MxN או לא? תודה.
		+
		+
		+	דוגמא:
		+
		+	יהי מרחב המטריצות <math>V=F^{2\times 2}</math> ויהי <math>W=\{A\in V : a_{11}+a_{12}+a_{21}=a_{22}\}</math>.
		+
		+	אזי קל לוודא שW תת מרחב של V ושהבסיס שלו הינו
		+	<math>B=\{
		+	\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},
		+	\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},
		+	\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}
		+	\}</math>
		+
		+	לכן המימד של W הינו 3.
		+
		+	המימד של V לעומת זאת הוא 4.
		+
		+	:איך מצאת את הבסיס של W?
		+
		+	== 1.28 ==
		+	מה הכוונה וקטור כללי מ R2[X ? נניח (1,1,1) הוא טוב?
		+
		+	===תשובה===
		+
		+	1. (1,1,1) הוא וקטור '''ספציפי''' - ההפך מ'''כללי'''
		+
		+	2. במרחב הפולינומים <math>\mathbb{R}_2[x]</math> הוקטורים הם '''פולינומים''' מדרגה קטנה שווה 2. לכן וקטור כללי במרחב זה הוא <math>a+bx+cx^2</math>
		+
		+	:את האמת שזה מה שחשבתי רק שלא הייתי בטוח..
		+	:בכל מקרה, איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?
		+
		+	::יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.
		+
		+	:::ראיתי הגדרה שאומרת: תהי f:A->B פונקציה. אם קיימת g:B->A כך ש f הרכבה g =למטריצה היחידה של A ו g הרכבה f= למטריצת היחידה של B נאמר
		+	:::שf הפיכה וg נקראת הפונקציה ההופכית של f.
		+	:::אי אפשר להשתמש בזה עבור הרכבה של העתקות לינאריות?
		+
		+	:::: אפשר לומר את זה על העתקות לינאריות, עם הסייג הבא: הרכבה של העתקות לינאריות אינה מטריצה אלא העתקה. כלומר ההרכבה של ההעתקות היא ההעתקת הזהות והמכפלה של המטריצות המייצגות היא מטריצת היחידה (שכן המטריצה המייצגת של העתקת הזהות מבסיס לעצמו היא תמיד מטריצת היחידה).
		+
		+	::::המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?
	== שאלה ==		== שאלה ==
−	1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
−	v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?
−	2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?	+	צריך למבחן לדעת את העתקת האינטגרל, הנגזרת ועוד נושאים המוזכרים בחוברת של בועז צבאן ולא למדנו אותם??
		+
		+	=== תשובה===
		+	אין צורך לדעת דברים שלא נלמדו בהרצאה, בתרגיל או נתנו בשיעורי הבית.
		+
		+	כמובן שלא מזיק לפתור תרגילים נוספים, אבל אין צורך לזכור הגדרות אחרות.
		+
		+	==שאלה למתרגלים (או למתרגל הספציפי שלי, אדם צ'פמן==
		+	למדנו נושא שלם (דטרמיננטות) שלא הזכרנו אותו אפילו בתרגול עם אדם צ'פמן. למה? המרצה אמר שהוא יכול להיות במבחן!
		+	תודה.
		+
		+	:מוזר, אנחנו מהקבוצה השנייה(עם אלי בגנו) לא למדנו דטרמיננטות בכלל גם לא בתרגול.
	===תשובה===		===תשובה===
−	1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.	+	אם הנושא יהיה במבחן, הוא יהיה בהתחשב בכך שלא היה תרגול. בהסמך על מה שלמדתם בהרצאה בלבד.
−	2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.	+	כמובן שלמי שלא למד את זה בהרצאה, זה לא יהיה במבחן.
−	:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?	+	==תרגיל 11.8==
		+	מבקשים ממני בתרגיל לתת דוגמות למטריצות אשר מקיימות את התנאי המתבקש.
		+	האם אני צריך להסביר כיצד הגעתי לדרגה של המטריצות A ו-B שבחרתי או שפשוט לכתוב: "דרגתה של המטריצה A שנבחרה היא ... "
		+	ואותו כנ"ל עבור AB.
−	::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?	+	תודה מראש, גל.
−	::אני מניח שהתכוונת ל	+	:צריך רק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען.
−	::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.	+
−	::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.	+	==תרגיל 11.2==
		+	האם x הוא בהכרח וקטור מסדר n*1 או שהוא יכול להיות מטריצה?
		+	===תשובה===
		+	הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת)
		+	:תודה!
		+	:ועוד שאלה: כאשר נתון ש-<math>V</math> הוא מרחב העמודות של <math>A</math>, האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: <math>V=span\{v_1,v_2,...,v_n\}</math> כאשר <math>v_1,v_2,...v_n</math> הם וקטורי העמודות של <math>A</math>?
−	== שאלה לתשובה ==	+	::כן, זו ההגדרה.
−	רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש	+	==בסיס==
		+	הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2,...ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,...,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,...xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"ם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי. כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,...,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,...,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+...+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל.
−	<math>(a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun)</math> שונים מאפס ובת"ל.	+	השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל?
		+	נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש...
−	האם אני יכולה להסיק ש <math>(a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn)</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?
−	*אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום <math>a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n</math> זה פשוט לא עובד.	+	===תשובה===
		+	למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). כמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. אלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות.
−	*הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.	+	חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא ריבועית.
−	*זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).	+	חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות.
−	==שאלה 2 בדף המצורף==	+	== 11.10 ==
−	כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?	+	המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות?
		+	אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז מה הדרגה?
	===תשובה===		===תשובה===
−	בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.	+	לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון.
−	לדוגמא:	+	השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל.
−	<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.	+
−	אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.	+	== שאלה לתשובה ==
−	==שאלה 6.4א==	+	תודה על התשובה אבל לא כ"כ עזרת לי, ברור לי שאי אפשר להניח משהו שהוא לא נתון, השאלה שלי היתה האם
−	בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?	+	כדי להוכיח את מה שרצו אני מניחה שהם בת"ל,הרי במקרה כללי אני חייבת להניח את זה..לא?ובנוסף לא ענית לי מהי הדרגה
		+	של מטריצה(כללית, כלומר שלא יודעם את אבריה) MXN?מימד מרחב השורות/העמודות?
	===תשובה===		===תשובה===
−	<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>	+	זה כמו לשאול: האם x זוגי? התשובה המתבקשת כמובן היא תלוי מהו x.
−	===שאלה על התשובה===	+	אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון?
−	את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?	+
		+	אין כזה דבר דרגה של מטריצת כללית. שוב, הדבר דומה לשאלה מהם הגורמים הראשוניים של מספר כללי x.
−	====דוגמא====
−	ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>
−	<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>	+	כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל.
−	במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.	+	באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה = מימד מרחב העמודות = מימד מרחב השורות = מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית = מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה
−	== שאלה 3 ב בבוחן ==	+	==תרגיל 2.8==
−	שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?	+	מה הכוונה ב(א) שכתוב <math> T1 + T2 = Iv </math> ? כלומר מה הכוונה בחיבור העתקות ליניאריות? תודה רבה... XD
	===תשובה===		===תשובה===
−	במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>	+	כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - <math>Hom(V,W)</math>:
−	== שאלה 1 ב' בבוחן ==	+	יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי <math>\forall v\in V :D(v)=S(v)+T(v)</math>
−	בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.	+
−	דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!	+	===תשובה לתשובה===
−	אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!	+
−	אתה יכול לפרט יותר?	+	תודה רבה XD :P :) :D
		+
		+	==מרחב עמודות ***עוד שאלה***==
		+	איך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A? איך מוצאים את הבסיס?
		+	מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.
	===תשובה===		===תשובה===
−	אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.	+	*הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה.
		+
		+	*אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:
		+	**שחלוף המטריצה A
		+	**דירוג המטריצה המשוחלפת
		+	**שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)
		+	*מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.
		+	:תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה
		+
		+	1 2
		+
		+	2 4
		+
		+	הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה.
		+
		+	:הדרגה היא אחד. המושג הכללי שאתה מתאר (מספר השורות שלא תלויות אחת בשנייה) מוגדר במדויק - הוא נקרא מימד. מימד הוא מספר האיברים בבסיס. ואם תביא את המטריצה הזו לצורה מדורגת תראה בקלות שיש רק שורה אחת שונה מאפס בצורה המדורגת, והיא מהווה בסיס למרחב השורות.
		+
		+	==תרגיל 11.2ב==
		+	מהי המטריצה A|b?
		+
		+	:המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b.
		+
		+	== סכום ישר ==
		+
		+	לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא?
		+
		+	גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי,
		+
		+	V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w
		+
		+	צ"ל :
		+
		+	1. U+W מוכל בV.
		+
		+	2.V תת מרחב של U+W
		+
		+	3.U חיתוך W שווה 0.
		+
		+	למה צריך להוכיח את 2??
		+
		+	===תשובה===
		+	הביטוי <math>V=U\oplus W</math> אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה:
		+
		+	א. V=U+W
		+
		+	ב. <math>U\cap W = \{0\}</math>
		+
		+
		+	על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון).
		+
		+	ב' הוא בדיוק 3 שלך.
−	תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
−	אוקי תודה!
	<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>		<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>

---

גרסה אחרונה מ־14:44, 15 באוגוסט 2011

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - בוחן + תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 3

ארכיון 5 - תרגיל 4

שאלות

שאלות

ציונים סופיים

עוד מעט מתחיל סמס א', מתי יפורסמו הציונים הסופיים?

פגישה

הפגישה היום (י"א תשרי) בקשר לרישום, היא עם הורים?

עוד שאלה, באיזה שעה היא ואיפה?

שאלה בקשר לפתרון של מועד ב

בשאלה 8 א כתבת ש (1,0) != (1,6) אבל אנחנו נמצאים בz3 אז זה לא אומר ש (1,6)=(1,0) ואז הטענה אינה נכונה?

תשובה

נכון! בכלל לא שמתי לב לשאלה. מזל שאני לא נבחנתי על זה. אני אתקן ואעלה מחדש

תרגילים נוספים?

שלום רב, האם היו תרגולים נוספים אשר היינו אמורים להגיש (בחלקו העליון של דף זה נכתב: "הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:):") או שזו טעות? תדה מראש.

תשובה

זה לא קשור לקורס הזה בשום צורה, הייתה טעות... פה יש 5 תרגילים בלבד

ציוני תרגיל

הגשתי את תרגיל 4 ומופיע כאילו לא הגשתי אותו (מס' ת.ז. 205632516)

שאלה 1.ג במבחן

האם כדי להוכיח סכום ישר, לא צריך להוכיח גם סכום ז"א ש- U+W=V.

תשובה

ברור שכן, שכחתי להוסיף את זה. אני אעלה עוד כמה דקות תוספת לפתרון.

העלאתי את התוספת הדרושה. --ארז שיינר 22:52, 13 בספטמבר 2010 (IST)

תרגילי בית

היכן ניתן למצוא תרגילי בית שלא קיבלתי חזרה?

לא ניתן למצוא אותם בשלב זה.

בקשר לציוני התרגיל

אנחנו נקבל את הציונים של תרגילים 4 ו5? עברו כבר שבועיים והמבחן..

אני צריך לדעת בשביל להחליט אם לעשות מועד ב'.

תשובה

הנה רשימת הציונים שיש בינתיים ציוני תרגיל 1-4

בקשת הבהרה

למה כוונתכם באמירה "הבוחן יהיה ציון מגן בלבד": 1. אם הוא גבוה משיעורי הבית אז הוא יהיה במקומם. 2. אם הוא גבוה מהמבחן אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים. 3. אם הוא גבוה מהשיעורים אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים. 4. אחר?

תודה, גל.

תשובה

מתוך ציון התרגיל בלבד הוא מגן. כלומר המבחן 80 אחוז בכל מקרה (אמנם זה כמו שרשמת, אבל רשמת רק אופציה אחת).

אם הוא גבוה משיעורי הבית זה יהיה 10 אחוז 10 אחוז, ואם נמוך זה יהיה 20 אחוז שיעורי בית.

תשובה לתשובה

תודה רבה על התשובה המהירה. כרגע רשום באתר המידע האישי שהמבחן 85%, אני מניח שזה יתעדכן? ומתי נקבל את ציוני תרגול 4-5 ואת השקלול הסופי של הציונים בתרגולים? שוב תודה, גל.

זה מוזר שרשום שם 85... או שזה יתעדכן או שזה ישאר ככה. אני לא חושב שזה הפרש משמעותי במיוחד. תקבלו את שאר הציונים כאשר אני אקבל אותם.

ציונים

מתי יפרסמו את הציון הסופי או את הרכב הציון (אחוזים לכל דבר)? זה יכול להשפיע בהחלטה האם לגשת למועד ב'. אשמח לתשובה מהירה.

שאלה

האתר לא פועל בחגים, ואני עוד לא ראיתי את הציון שלי, יש דרך כלשהי לראות את הציונים שלי?

ועוד משהו, הציונים שעלו, הם רק בלינארית, או שזה גם בבדידה? תודה רבה, ושנה טובה לכולם!

ציון ביניים

מה זה אומר בדיוק? וכמה עולה לצפות במחברות הבחינה? תודה. (אגב, ציוני הביניים עלו!!)

ציון ביניים = חלקי הציון הכללי לפני מעבר שקלול. הציון הסופי יעלה רק לאחר שיעלו כל ציוני הביניים.

עלות צפייה במחברת בחינה 5 ש"ח דרך כ"א. אפשר לצפות בה דרך האתר, אפשר גם להוריד אותה (ע"י לחיצה על כפתור השמירה תוך כדי הצפייה במחברת). (אינני מתרגל)

ציון מעבר

הודיעו מתישהו מה הציון הכללי שצריך כדי לעבור? בכל מקרה, מה הציון?

באופן כללי באוניברסיטה ציון מבחן עובר הוא 60 ארז שיינר 21:44, 7 בספטמבר 2010 (IDT)

מה זה אומר שהציון עובר, או נכשל - במבחן? מה, אי אפשר לעבור את הקורס עם נכשל במבחן?

התכוונתי לציון סופי, לא ציון מבחן. ציון סופי 60 זה עובר (אחרי השקלול של ציון התרגיל). ארז שיינר 23:10, 7 בספטמבר 2010 (IDT)

פקטור

היה במבחן בלינארית פקטור? אם כן, כמה?

אחוזים

בתחילת הסמסטר אמרו לנו שהציון מורכב מ: 80% מבחן, 10% בוחן, 10% ש.ב.. רציתי לדעת האם יש שינוי בהרכב הציון?

לא בטוח. אתם תראו את הציון הסופי כאשר הוא יופיע

תרגולים 4-5

האם תעלו את הציונים שלהם בהמשך? תודה מראש.

כן, כאשר הם יתקבלו

הערה

קודם כל אני רוצה להגיד תודה על כל העזרה עם השאלות באלגברה לינארית. אני יודע שזאת בקשה גדולה ואתם לא חייבים להיענות לה, אך המתרגלים שעד עכשיו ענו על תשובות לאלגברה לינארית, יכולים לעזור גם בבדידה? כי נראה לי שאף אחד לא נכנס לדף של בדידה... תודה רבה!!

פתרונות

איפה מופיעים הפתרונות של המבחן???

פתרון המבחן

ציונים

איפה יופיעו הציונים?

ומתי?

לפי מה שידוע לי - בעוד כשבוע. אבל אשמח לתשובה ממרצה/מתרגל.

תגובות לגבי פתרון המבחן

תיקונים:

את שאלה 1 ו-4 לא עשיתי ככה שלא התייחסתי אליהם, בשאלה 2, הצבת את 1 במקום a ועדיין השארת a בפיתרון הכללי.. (ובמטריצה) בשאלות האמריקאיות- היה צריך להוכיח ולהפריך או רק לרשום כן/לא? תוכל בבקשה להעלות את ההגדרות, כי יש כמה גרסאות ורציתי לדעת אם יש הבדל, למשל: KerT= מרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 כאשר A מטריצה מייצגת העתקה T, נקרא הגרעין של ההעתקה T. (KerT) / מרחב הוקטורים שההעתקה T שולחת אותם ל-0. סה"כ את שתיהן המרצה כתב לנו ושתיהן הגדרות פורמליות..

תשובה

צודק לגבי ההצבות, באמת טעות טפשית.

לא היה צריך להוכיח או להפריך, אבל אחת המטרות העיקריות של התשובות היא שמי שצריך יוכל ללמוד מהפתרון למועד ב'. (וכמובן גם מי שלא ייגש - טוב שיידע את התשובות הנכונות).

לגבי ההגדרות, אני לא יודע מה המרצים יקבלו.

מבחן

בשאלה 3 ג' בתשובות, בשלב שלפני שמתקבלת המטריצה הסופית (כפל שתי מטריצות), במטריצה השמאלית, במקום , אני חושבת שאמור להיות ולא . נכון?

כן, תודה.

שאלה

אם כתבתי בשאלה 2 ב' שאין בסיס וליד זה את האות פי, זה בסדר? כי אני יודע שהבסיס הוא פי, אבל כתבתי לפני זה שאין בסיס, תודה רבה

(לא מתרגלת) פי? מה הקשר של פי לקבוצה ריקה?

הכוונה היא לאות , המסמנת את הקבוצה הריקה. עוזי ו. 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT)

תחליט: או שאין בסיס, או שיש בסיס והוא הקבוצה הריקה. האפשרות הראשונה בוודאי אינה נכונה, משום שלכל מרחב וקטורי יש בסיס (את המקרה הסופי הוכחתם בקורס; המקרה הכללי הוא משפט של Hammel). הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. עוזי ו. 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT)

אני כתבתי שאין בסיס וליד זה את האות , כל החישובים שלי בתרגים נכונים וגם על פי התשובות שלכם אין לי טעות אחת במבחן, הדבר היחיד שלא היה טוב זה שאחרי שהגעתי לזה שהחיתוך הוא 0 כתבתי שאין בסיס, וליד זה , יורידו על זה הרבה נקודות? כי זה לא שהיה לי טעות אחרת חוץ מזה, וגם כתבתי בפתרון הסופי, תודה

יורידו אולי נקודות, אני לא יודע מראש כמה. אם אין לך טעויות חוץ מזה יהיה לך ציון טוב. ארז שיינר 12:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

כמה שאלות לגבי פתרונות המבחן

1. בשאלה 3א האם אפשר היה להוכיח את היותה של הקבוצה בסיס על ידי שימוש בכך ש:

א. ולכן משום היותה בסיס ומשום עפ"י הגדרתו אז .

ב. בת"ל (וגם לא הוכחתי כפי שאתם הוכחתם אלא הוכחתי בשלילה, אמנם יצא לי יותר ארוך אבל אני מניח שזה בסדר, לא?!?).

2. ב-3ב לא יותר קצר למצוא את המטריצה הנדרשת באותו אופן שאתם מצאתם את ההופכית שלה?

3. בפתרון ל-2א יש לך טעות: הצבת a=1 וללכן לא יכול להיות שהפתרון הכללי למקרה של אינסוף פתרומנות תלוי ב-a.

4. איך נעשית חלוקת הנקודות בין הסעיפים בין השאלות הפתוחות? לכל סעיף משקל שווה?

תודה מראש ושנה טובה!

תשובה

1. בת"ל ובגודל n + השלישי חינם זה סבבה.

2. אפשרי, קצר זה עניין של דעה :)

3. כן, העירו לי על כך. תודה. כמובן שצריך להציב בכל מקום שם את a ולא רק בחלק מהמקומות :)

4. לא ידוע, יוחלט בעת הבדיקה.

שנה טובה ומבורכת.

שאלה אחרונה

למה אם rankAB < min{rankA,rankB} אז A וגם B אינן הפיכות? תודה!

תשובה

כי אם A או B הפיכות, אז AB היא בעצם A או B שמבצעים עליה פעולות אלמנטריות, עשיית פעולות אלה לא משנות את מרחב השורות ובטח לא את מימדו, ואז המימד של מרחב השורות של AB היה שווה למימד המינימלי בין A ו-B ולא קטן ממש.

תודה רבה על התשובה בשעה מוקדמת! אשמח אם תוכל לענות לי על השאלה השניה לפני המבחן! תודה!

שאלה

במבחן 2003 מועד ב' שאלה 1 (צריך למצוא את [v]c, יש טעות בתשובה? עשיתי כמה פעמים מכל הכיוונים ויצא לי תשובה 4 ולא 2. תודה!

6.14 עמוד 62 בחוברת

בתשובות שבאתר הוספת לבסיס את (1,0,0). למה, לפי מה?

מדרגים ומוסיפים את e_i עבור כל העמודות i של המשתנים החופשיים (כלומר משלימים איברים פותחים)

אהה.. באמת? חידשת לי. תמיד כשרוצים להשלים קבוצה בת"ל לקבוצה פורשת אז שמים את הוקטורים מהקבוצה הבת"ל בשורות מטריצה, מדרגים, ורואים אילו משתנים חופשיים יש. לאחר מכן מוסיפים קבוצה ובה וקטורים , עבור כל עמודה i שבה יש משתנים חופשיים? יש איזה משפט קשור או משהו שמסביר למה עושים דווקא ככה? תודה.

זה פשוט מאד, כמו שאמרתי - משלימים את האיברים הפותחים. לאחר התוספת יש n איברים פותחים (אם יש n עמודות) ואז מרחב השורות הוא ממימד n ובהכרח מרחב השורות הוא כל F^n.

עזרה

איך מוכיחים את המשפט: יהי בסיס v1,..,vn לV וקבוצה w1,..wn בW, אז יש העתקה לינארית כך ש T(vi(=Wi? תודה!

תשובה

לא יודע איך הוכיחו לכם בכיתה (כנראה אחרת) אבל אפשר עם המטריצה המייצגת. כלומר למצוא את המטריצה המייצגת לפי ההגדרה נקרא לה A ואז ההעתקה Tx=Ax היא העתקה לינארית שמקיימת את הדרישה.

המטריצה המייצגת הוגדרה בהתבסס על המשפט הזה ולכן אני לא חושב שמותר להשתמש בה (אני לא מתרגל).

שיחלוף

במשוואה שכוללת מטריצות, מותר לשחלף את שני האגפים וזה ישמור על שיוויון, בלי להסביר או להוכיח (אם זה לא התרגיל), נכון?

אתה מתכוון ש-? בטח שזה נכון. זו בדיוק אותה מטריצה, ופעולת השיחלוף מוגדרת היטב (חד-ערכית). אני לא מתרגל, אבל אני כמעט בטוח שלא צריך להסביר או להוכיח.

העתקת המטריצה

בחוברת עמוד 52 שאלה 1.10 ב' - או שלא הבנתי את ההגדרה, או שיש טעות בהגדרת הטווח של ההעתקות T,S. למשל עבור העתקה T: הרי כפל של מטריצה מסדר m על n בוקטור מסדר n על 1 נותן וקטור מסדר m על 1 ולא הפוך!

ועוד דבר - צריך לזכור בעל פה את ההגדרות של העתקת המטריצה, ההעתקות , ועוד? אם לא, אז אילו הגדרות של העתקות כן צריך לזכור בעל פה?

תשובה

אתה צודק זה באמת צריך להיות הפוך.

לא בטוח למה אתה מתכוון, אלה דברים שלמדתם בהרצאה, תלוי מה המרצה אמר שצריך לזכור.

מושג

מה זה "מרחב האפס"?

קבוצה שהאיבר היחיד בה הוא 0, והקבוצה הזאת היא מרחב וקטורי כל התנאים של מרחב וקטורי מתקיימים.

תודה. בעמוד 50 שאלה 11.15 ד' (בחוברת), אומרים "מצא בסיס למרחב האפס של A". מה הכוונה?

הכוונה היא שתמצא בסיס למרחב , כלומר המרחב שכולל את האיבר הנייטרלי לחיבור ב-A.

תשובה

מרחב האפס בלי הקשר הוא אכן המרחב שמכיל בלבד את אפס. מרחב האפס של מטריצה, בד"כ, הוא מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית.

תודה!

שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'

למה סכום איברי המטריצה הוא 1?? מאיפה בתשובות הוא הביא את התשיעית הזאת? המטריצה P היא ולכן סכום איברי המטריצה הוא 0+2+1+1+0+2+2+1+0=9, למה 1?? תודה!

תשובה

אתה רשמת את מטריצת המעבר מB לC. אבל P היא ההופכית שלה, מטריצת המעבר מC לB.

וואלה, תודה..

החוברת עמוד 48

כתוב שם שמרחב העמודות הוא תת מרחב של כאשר מסדר ואני חושבת שמרחב העמודות הוא תת מרחב של . לא? (כנ"ל לגבי מרחב השורות, רק הפוך)

נכון זו טעות בחוברת.

שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'

איך ניגשים לשאלה כזאת? מה הקשר בין הפיכות של הפונקציה לRANK שלה? אפשר הסבר מפורט בבקשה? זה ממש מבלבל! וגם, למה נתונה מטריצה B אם היא נמצאת בשאלה בכלל? תודה רבה מראש

תשובה

יש כמה קשרים בין השניים. למשל הrank של מטריצה ריבועית מגודל n שווה לn אם"ם היא הפיכה. אם נסתכל על זה בתור העתקות ליאריות, אז הrank הוא מימד התמונה והוא קטן ככל שמימד הגרעין גדל.

למה אני אמור להסיק שA אינה הפיכה ב3?

אם תסתכל על המשפט שרשמתי אז תראה שA הפיכה אם"ם הrank שלה הוא n אם הrank של A^2 קטן מהrank של A בוודאי הוא קטן מn ולא יכול להיות שהיא הפיכה. אבל אם A הפיכה בוודאי A^2 הייתה צריכה להיות הפיכה.

שאלה 1 מקובץ מצורף תרגול 4

שלום רב. בשאלה התבקשנו להוכיח ש- הפיכה. האם לא מספיק פשוט לומר ש- ע"י בדיקה שאכן מתקיים שמכפלתן משני הצדדים היא תודה, גל.

תשובה

אפשר, אם ידוע המשפט שקיימת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים ואז להשתמש בנוסחא של מטריצת מעבר.

כלומר שאם מבקשים ממני במהלך המבחן להוכיח את זה אסור לי להשתמש במה שאמרתי?

תלוי מה יבקשו ספציפי. אם השאלה הייתה מופיעה כמו שהיא במבחן זה היה בסדר. תשאל בזמן המבחן.

שאלה

אם v מוכל בw וגם dim של v שווה לdim של w אזי v=w זה משפט? וכיצד ניתן להוכיח?

תשובה

שאלה 7.7 תרגיל 4.

לא ענית לי על שתי השאלות: זה משפט? איך מוכיחים?

זה עובדה, ומוכיחים כמו בפתרונות שיש באתר כמובן.

אפשר להשתמש בזה אלא אם צריך להוכיח את זה במפורש.

mod

המספר -1 בZ5 כלומר זה 1 או 4? תודה!

תשובה

ולכן זה 4.

שאלה

למה אם למערכת הומוגנית Ax=0 יש פתרון יחיד, אזי A הפיכה? תודה!

תשובה

קודם כל זה נכון רק אם A ריבועית. יש כמה וכמה הוכחות, למשל מטריצה ריבועית שקולת שורה למטריצת היחידה אם"ם היא הפיכה, ואם הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא לא מטריצת היחידה סימן שיש לה משתנים חופשיים ולכן יותר מפתרון אחד.

דרך אחרת להסתכל על זה היא שעמודות A בת"ל אם"ם למערכת Ax=0 יש פתרון יחיד, וידוע שעמודות מטריצה ריבועית בת"ל אם"ם היא הפיכה.

תודה!

פרטים על המבחן בעמוד הראשי

פרטים על המבחן בעמוד הראשי

מה לגבי כמה זמן המבחן ומה המבנה שלו?

כבר אמרו את זה בהרצאות.

ומי שלא הקשיב או לא היה מרוכז? או לא היה בשיעור?

שישאל את החברים שלו. שאלות לגבי המבחן צריכות להיות מופנות למרצים ולא למתרגלים.

שאלה קטנה

איפה זה בניין 507? זה הבניין שאנחנו בדרך כלל לומדים בו או בניין אחר? תודה!

אנחנו לומדים ב-604.

אז אפשר הכוונה לגבי איפה זה 507?

507 זה הבניין הגדול עם המבנה המיוחד והמגני דויד למעלה, ממש ליד הבניין שאתם לומדים בו.

שאלה/בקשה

נכון יש משפט שאומר (אני לא יודע ממש איך לכתוב בשפה המתמטית בפורום, לכן הבינו ש2 אותיות אחרי הT פירושן שהאות הראשונה למעלה מימין והשנייה למטה מימין וכו'): ? אז השאלה שלי היא, למה צריך את המשפט הזה תכלס? מתי המשפט הזה עוזר? והאם מתרגל יכול, בבקשה, להביא תרגיל אחד שבו חייבים/ רצוי מאוד להשתמש במשפט הזה? תודה רבה!

תשובה

השתמשנו בנוסחא הזו בשאלה הקודמת שלך... פשוט שם הייתה גם המטריצה שהיא שווה למטריצת היחידה ולכן לא הזכרנו אותה.

שאלה

מבחן 2004 מועד א' שאלה אמריקאית 3.. איך מוצאים את המימדים של U ו W?

(אני לא מתרגל)- 2 הSPANים פורשים, רק תבדוק אם יש בכל אחד מהSPANים איברים שתלויים אחד בשני, אם יש- תוריד אותם, ותישאר עם בסיסים לU וW.

תשובה

מעבירים לצורה וקטורית שמים בשורות מטריצה ומדרגים.

מבחן תשס"ד מועד ב' חלק אמריקאי שאלה 2

התשובה לא אמורה להיות A^-1*B במקום B*A^-1? כי לא? תודה!

תשובה

לא נתון שB הוא בסיס בכלל. [T] צריכה לקיים את המשוואה . לכן (כי הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שוות לוקטור עצמו). אבל ואז כפי שרצינו.

דרך אחרת להוכיח: (פשוט הרבה יותר)

שאלה על הוכחה

האם ההוכחה הזאת קבילה?: נתון ש וכי כך ש:, אני צריך להוכיח ש על: "נניח -T לא על: לכן קיים כך שלכל לכן לכן כלומר- בסטירה לכך שהטענה נכונה עבור כל לכן T על? האם זה נכון?

תשובה

כן, עדיף הוכחות כאלה לבצע בחיוב ולא בשלילה. תהי Q מטריצה כלשהיא, אזי המקור שלה הוא AQ ולהוכיח את זה.

כן אבל בתרגיל הספציפי הזה אסור היה להשתמש במשפט ש היה נתון רק ש

שאלה

מבחן 2 שאלה אמריקאית 2.. הטענה חייבת להיות לכל Im(z)==0 אחרת זה לא יכול להתקיים

מה זה מבחן 2? איזו שנה? איזה מועד?

2005 מועד א'

נראה לי שאתה צודק... יהי ולכן נפשט ונקבל ש- . לאחר השוואה אני קיבלתי שאמנם ישנם אינסוף מקרים אבל בכולם

תשובה

#שאלה ממבחן 2005 מועד א

מטריצות סימטריות ואנטי סימצטריות

שאלה: אם ו- סימטריות (שתיהן ריבועיות מאותו גודל) אז: האם סימטרית? חשבתי על לפתור בדרך הזו: לפי סימטריות מתקיים ש: וגם ולכן . אי לכך גם סימטרית. עם זאת, במבחן של 2003 (מועד א), זוהי שאלה 8 בחלק של האמריקאיות. אם מה שאני אומר נכון הרי שהתשובה אמורה להיות 3, אבל באתר כתוב שהתשובה היא 1. מה הטעות שלי? תודה, גל.

תשובה

אתה צודק, ABA סימטרית אם A,B סימטריות מאותו גודל

מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 11

איך פותרים שאלה כזאת? הצלחתי להבין ש (; מפריד בין עמודות) אבל איך יודעים איפה יש עוד אפסים? אם התשובה היא 2 או 4? תודה רבה!

תשובה

אני לא מתרגל אבל נראה לי שאני יכול לרמוז לך- תסתכל על הבסיס של האימג'- כל איבר בתמונה אתה יכול להציד כצירוף ליניארי שלהם.

לא הייתי עולה זה בחיים, אבל הבנתי- תודה רבה!

מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 9

למה התשובה הנכונה היא- כל התשובות לא נכונות? אני זוכר שלמדנו משפטון שאומר שאם v1,..vk בת"ל אזי Tv1,..Tvk בתל כלומר 3 היא התשובה הנכונה.. לא? תודה!

תשובה

המשפטון שאתה מזכיר מחייב T חח"ע. למשל העתקת האפס תהווה דוגמא נגדית לסעיף זה

מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 4

הצלחתי להבין, בשיטת האלימנציה, שהתשובה היא T32=0, אבל אני ממש לא יודע בדיוק למה, אפשר בבקשה הסבר קצר על למה אפשר לדעת בוודאות שT32=0 ואיך אפשר להוכיח את זה? תודה!

תשובה

נבנה בסיס לגרעין של ההעתקה. הגרעין של T^2 בהכרח גדול ממש מהגרעין של T אחרת ההעתקה תתקע על אותו מצב ולא תתאפס בחיים (אבל נתון שהיא מתאפסת). ולכן מימד הגרעין גדול ב1 לפחות. אחרי 32 צעדים כאלה נגיע לגרעין בגודל 32 - כלומר העתקת האפס.

מדוע ההעתקה תתקע? אני אשאיר את זה כתרגיל.

למה גרעין בגודל 32 הוא העתקת האפס? כי המימד הוא 32?

וזה נכון לומר שהגרעין של TT חייב להיות גדול ממש מהגרעין שלT כי אם היה להם אותו מספר של איברים בגרעין אז מה שמאפס את T^1024 מאפס גם את T^1023 ואז זה אומר ש T^1023 הוא העתקת האפס, וככה עד שמגיעים ל-שT היא העתקת האפס תמיד, אבל יודעים שהיא לא העתקת האפס תמיד? תודה

קודם כל כן, אם הגרעין בגודל 32 אז הוא כל המרחב ולכן זו העתקת האפס.

שנית, לא זו לא הוכחה נכונה. צריך להוכיח שאם נשלים את הבסיס של הגרעין של T^n לבסיס למרחב כולו, אזי הוקטורים שהשלמנו מהווים גם בסיס לתמונה של T^{n+1} ואז ברור שההעתקה חוזרת על עצמה. לא בטוח שזו הוכחה כל כך פשוטה.

מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 1

כל מה שאני יודע הוא שהאפסיות של T היא לפחות 1 כי בטוח שV שהוא לא וקטור האפס נמצא בגרעין, וגם ש TT=0 ולכן לכל u מתקיים T(Tu)=0 ולכן התמונה מוכלת בגרעין ולכן dim(ImT)<=dim(KerT). אבל כל מה שזה נותן לי זה שהמימד של V הוא לא אפס! אפשר עזרה? תודה רבה!

תשובה

המימד הוא בטוח לא 4 כי 4 זה המימד של כל ההעתקות הלינאריות, והקבוצה הזו לא מכילה את כולם. המימד הוא גם לא אפס, יש יש העתקות שונות מאפס כאלה.

נותר לבחור בין 1 לבין 2. נשלים את v לבסיס בעזרת u. אם ההעתקה שונה מאפס, u חייב להשלח לסקלר כפול v (אחרת פעם שנייה שנפעיל את ההעתקה היא לא תתאפס, ישאר שם גורם עם u.) לכן כל שתי העתקות יהיו ת"ל על ידי איפוס הסקלר הזה, ולכן המימד הוא אחד.

תודה רבה, רק עוד שאלה קטנה, איך יודעים שהמימד של כל ההעתקות הוא 4? תודה!

זה משפט שיש איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות למרחב המטריצות. ואנחנו יודעים מהו המימד של מרחב המטריצות 2 על 2

הבנתי, תודה!

שאלה על מכפלת מטריצת הפיכה והשחלוף שלה

טענה: עבור הפיכה הרי שיתקיים ש- הפיכה (עפ"י משפט) ולכן הפיכה כי מכפלת שתי מטריצות הפיכות תתן מטריצה הפיכה נוספת. השאלה שלי האם זה הסבר מספק לקיום טענה זו. אם לא, מה עליי להוסיף? ובלי קשר, האם עליי להוסיף הערה מדוע המכפלה מוגדרת או שזה ברור? תודה, גל.

בגדול זה בסדר, תלוי מה אתה נדרש להוכיח. בזמן מבחן שואלים את המרצה אם צריך להוכיח כך וכך.

אוקי תודה. האם יהיו מתרגלים או מרצים כלשהם במבחן (אלי אמר שהוא לא יהיה)? אם כן, איך זה הולך? אתם נכנסים לשאלות או שחייבים לשאול לפני הבחינה?

יהיה מי שיענה על שאלות בזמן המבחן (על שאלון המבחן ולא רמזים לפתרון כמובן)

קישורים למבחנים

כשעשיתם עריכה לדף של לינארית הוצאתם את הקישורים למבחנים לדוגמא אפשר להחזיר אותם? תודה(:

זה נמצא בהיסטורית הדף.

הם פשוט הועברו בטעות לבדידה במקום ללינארית. הם הוחזרו למקום בדף של לינארית

שאלה

האם נושא הדטרמיננטות כלול בחומר למבחן?

אני לא מתרגל, אבל ודאי שלא

שאלה דחופה

מחר צריך לבוא בזמן של ההרצאה (9) או בזמן של התרגול (13:00)? תודה רבה!

לא יודע מתי המרצים יגיעו. המתרגלים בגדול אמורים לבוא בזמן התרגול הרגיל.

לפי מה שידוע לי אצלנו (אלי) מתחילים ב-0900.

מי שלומד עם אפי מתי צריך להגיע?? לפי מה שזכור לי הוא אמר שהוא לא יבוא.. אנחנו צריכים לבוא ב9 או ב1?

אז כנראה שמי שלומד עם אפי צריך להגיע ב1, כי שיעור החזרה שלנו היה ביום שישי, ומחר יהיה לנו רק שיעור חזרה עם המתרגלים ב1..

חח"ע ועל של ה"ל

שלום רב, נניח ונתונה לי ה"ל . האם נכון לומר ש חח"ע אם"ם על? ואם כן, האם עליי להסביר במבחן מדוע?

תודה, גל.

תשובה

זה נכון ונובע ממשפט הדרגה V=dimKer+dimIm (צריך לצטט את המשפט ולהסביר למה זה נובע)

למעשה הטענה היא יותר כללית. תהי T:V->W כך שהמימדים של V,W שווים, אזי T על אם"ם T חח"ע.

2.15ב'

אם אני רוצה למצוא את kerTa אז מה שצריך לעשות זה לכפול את המטריצה A במטריצה כללית מסדר 2x2 ולהשוות לאפס- ואז למצוא את המטריצה הכללית?- הכוונה במטריצה כללית זה שאני אסמן a b c d במקום קבועים במטריצה ואז אבדוק מה אני אקבל.. וזה יהיה הker?

כן, הגרעין זה מה שנשלח לאפס על ידי ההעתקה.

שאלה

אם אני יודע ש: וגם כאשר אז אני יכול להגיד ש: ?

תשובה

כן

(לא אני שאלתי את השאלה) למה כן? אם למשל , , ? (כך ש-a,b שייכים ל-R)

ומה ז"א: ?

אתה צודק, זה לא נכון (לא אני רשמתי את התשובה הקודמת). אם נוסיף את התנאי ש- זה כן יהיה נכון. משמעו תת מרחבים של V.

תשובת מתרגל

המשפט נכון, והרי הוכחה:

נתון U,W תתי מרחב של V. אזי ברור ש. לכן לפי הנתון יש לנו תת מרחב עם מימד שווה למרחב ולכן הם שווים .

כעת לפי משפט המימדים ולכן לפי הנתון ולכן .

וזה מה שצריך על מנת להוכיח סכום ישר.

תודה רבה! ואגב לזה שהביא את הדוגמה, בדוגמה שלך W לא תת מרחב של V. אפשר להשתמש בזה או שצריך להוכיח?

נכון, זה בגלל שלא הבנתי מה אומר סימן ה"קטן-שווה". מצטרפת לשאלה.

צריך להוכיח.

char-ים במבחן

כמעט לא התעסקנו ב-char-ים בשיעורים, לא תרגלנו והמרצים/מתרגלים בד"כ הזכירו את זה כהערת אגב. יהיו char-ים במבחן? תודה, 16:11, 28 באוגוסט 2010 (IDT)

תשובה

לא יהיה מעבר לדברים דומים למה שעשינו בכיתה.

1.28

לא הבנתי את התרגיל בכלל. את אמנם מצאתי בלי בעיה, אבל איך מוצאים את ? קראתי פה שאלה ותשובה:

איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה? יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.

ולא הבנתי בכלל. מה הקשר למטריצות? (אני יודעת מה זו מטריצה מייצגת, קראתי את הקובץ, וגם במחברת, ונראה לי שהבנתי, אבל מה הקשר לתרגיל הזה? בכלל לא הבנתי מה השימוש של המטריצה המייצגת, מלבד לפתרון של תרגילים מסוג "מצא את מטריצה המייצגת").

ומה זה "בסיס בתמונה", בתרגיל הזה הבסיס הוא ? את המקור אמצא בעזרת מערכת משוואת כזו: , ,  ? ואז.. מה אני עושה עם המקור הזה? שוב, מה קשורה המטריצה המייצגת?

תודה רבה מראש, מקווה להסבר מפורט.

---

ניסיתי עכשיו לפתור איך שראיתי לנכון, בלי מטריצות וכל זה... סימנתי . לאחר מכן אמרתי ש- (ה- הוא סימון). מצד שני, וזה שווה למה שמצאתי קודם, הרי יש לי את . קיבלתי מערכת של 3 משוואות (לפי המקדמים של , , ) ואז ביטאתי את ,, באמצעות ,, וקיבלתי את .

בלי מטריצות, רק אלגברה. הגיוני? או שבכלל לא הבנתי את התרגיל?

תשובה

• למדנו הרי כיצד למצוא העתקה מפורשת באמצעות מטריצה מייצגת.
• אנחנו יודעים שהתמונה היא מרחב וקטורי, ולכן יש לה בסיס נסמן אותו
• נמצא w_i כך ש
• לכן וכך אפשר למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת כמו בתרגיל.

דרך שנייה:

• נמצא את המטריצה המייצגת של T
• נהפוך אותה על מנת לקבל מטריצה מייצגת של
• נמצא את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת, כמו בתרגיל.

תשובה לתשובה

תודה רבה על התשובה!

לגבי הדרך הראשונה:

• מה זה אומר העתקה מפורשת?
• האם לכל , מתקיים ?
• תודה, הצלחתי לפתור את התרגיל בדרך הזו! והתשובה יצאה לי כמו זו שיצאה בדרך שעשיתי קודם (זו שפירטתי למעלה). מעניין איזו קצרה יותר או עדיפה מאיזושהי סיבה. יש העדפה כלשהי באופן כללי, ובמבחן בפרט?

לגבי הדרך השנייה:

• המטריצה המייצגת של שהיא במקרה הזה פשוט מטריצה כאשר הבסיס הסטנדרטי של , בעצם מטריצה שעמודותיה הן (1,0,0), (0,2,3), (0,3,0) - כלומר הצורה הוקטורית של התמונות המתקבלות עבור מקורות מאיברי הבסיס. נכון?
• ישנו משפט שאומר שהמטריצה ההופכית של המטריצה המייצגת של היא המטריצה המייצגת של ? (זה קל להוכחה אבל האם צריך להוכיח בכל פעם?)
• איך מוצאים את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת? ואיזה תרגיל?

תשובה

• צורה בה אתה יודע לאין איבר כללי הולך. לדוגמא:
• כן, זו כמעט ההגדרה של ההעתקה ההופכית.
• יש העדפה לדרכים שאני הצעתי, בניגוד לפתרון הרבה מערכות משוואות.

• לא עקבתי ביחס לתרגיל, אבל בגדול מה שאמרת נשמע נכון.
• צריך לצטט את המשפט בלבד אלא ביקשו מכם להוכיח במפורש
• עשינו תרגיל כזה בכיתה. אתה מחשב מטריצה מייצגת שמעבירה מהבסיס הסטנדרטי לאנשהו ואז אתה מקבל נוסחא כזו:

. לכן הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור

השאלות שנשארו

• בעצם מה שאני צריכה למצוא בתרגיל הזה. אוקיי תודה.
• וניתן להשתמש בזה בלי להוכיח, נכון?
• דרך הפתרון שלי דווקא פשוטה (רק 3 משוואות קלות), אבל באמת כדאי שאבין את עניין השימוש במטריצה המייצגת.

• טוב.
• מהו הניסוח המדוייק של המשפט הזה?
• הנוסחה היא ממש משפט, לא? אבל לא הבנתי מה כתבת פה: לכן הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור . בבקשה תסביר ברור יותר, ממש חשוב לי להבין את זה (והתרגיל מהכיתה לא כתוב לי, העדפתי להקשיב).

• כן
• חשוב להבין כי יהיו שאלות ישירות על מטריצה מייצגת שלא תוכלי להתחמק מזה.

• תחפשי במחברת הרצאה הכי טוב
• הנוסחא היא משפט כן. את יודעת ש. מה המשוואה הזו אומרת? מצד שמאל יש את המכפלה של המטריצה המייצגת בוקטור . מצד ימין מקבלים את הקואורדינטות של Tv לפי הבסיס B. לכן צירוף לינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים שהם המכפלה משמאל שווים בדיוק לTv (הרי זו ההגדרה של קואורדינטות).

מובן?

אהה.. נראה לי שהבנתי! תודה רבה!! אנסה לפתור את התרגיל בשתי הדרכים.

2.15

מה הכוננה של (v(Ta בסעיף ב'? תודה

ההגדרה בעמוד 56

מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 10

למה הטענות הנכונות הן א' וד'? אני חושב ש ב' וג' לא נכונות וגם א' לא נכון. למה א' נכון? א' אומר שכל הפונקציות מR לR הן כל הפונקציות הזוגיות סכום ישר עם כל הפונקציות האיזוגיות. זה לא נכון, כי יש פונקציות שהן לא זוגיות ולא איזוגיות ולא הסכום שלהן, כמו f(x)=x+1 או f(x) =rootX. (שורש של X). ויש גם פונקציות שהן גם זוגיות וגם איזוגיות, כמו f(x)=0 לא? כי אני זוכר מהבגרות שפונקציות זוגיות הן סימטריות ביחס לציר הX (מתקיים) ופונקציות אי זוגיות סימטריות ביחס לציר ה-X "ואז" לY (כלומר לשקף את מה שמימין לציר הX ומשמאל לציר הX ואז זה אמור להיות סימטרי ביחס לציר הY). אני טועה? תודה

תשובה

• כל פונקציה היא סכום של זוגית ואי זוגית, ספציפית עשינו את זה בתרגיל.

• אתה יודע למה ב' לא נכון? מעל הממשיים הוא כן נכון. הבעייה היא, למשל, מעל שם יש את המטריצה שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית ושונה מאפס.

שתי דברים: דבר ראשון, לא הבנתי מהדוגמה שלך למה כל פונקציה היא סכום של פו' זוגית ואי זוגית (ואני לא זוכר שעשינו את זה בתרגיל). דבר שני, אז מה אם הפונקציה f(x)=0, היא לא גם זוגית וגם אי זוגית? תודה

אתה יכול לוודא בקלות ש אי זוגית ו זוגית. 0 היא בוודאי גם אי זוגית וגם זוגית. לכן החיתוך הוא אפס, בדיוק כמו שאנחנו מצפים מסכום ישר.

מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 3

אוקי, עכשיו אני בטוח שיש פה טעות כלשהי. בתשובות כתוב שאפשרות 3 היא הבחירה הנכונה, כלומר 3 לא נכונה. זה לא הגיוני, כי לפי השאלה, יש לבחור רק תשובה אחת לא נכונה, כלומר אם 3 לא נכונה אז 1 2 ו4 נכונות- אבל תשובה 2 אומרת שאף אחת מהתשובות האחרות היא אינה נכונה, שאת המשפט הזה אפשר להבין ב2 דרכים: -כל התשובות האחרות לא נכונות, שזה לא יכול להיות כי עם 3 הוא לא נכון זה אומר ש 1 ו4 נכונות בסתירה לכך שכל התשובות האחרות לא נכונות. -כל התשובות האחרות נכונות, שזה לא הגיוני כי 3 הוא לא נכון. אז נכון שיש טעות כלשהי? אני חושב שהתשובה ההגיונית היחידה היא 2. תודה

תשובה

תשובה 3 היא משפט שקר.

אתה צודק שגם 2 הוא משפט שקר, זה פשוט בלבול של כותב השאלה.

rank

הrank של מטריצת האפס הוא אפס, נכון?

כן

טעות במספר תעודת זהות

שלום,בציוני הבוחן והתרגילים ישנה אותה טעות במספר תעודת זהות שלי,בשניהם כתוב 205403933 אך המספר הנכון הוא 205413933. אשמח אם תוכלו לתקן זאת

בסדר, תודה.

שאלה על rank

יהי T:V->V ה"ל וB,C בסיסים בV. מה זה rankT? מה זה rank([T]BC)? (כשBC אומר שיש B קטן בצד למעלה ימין של [T] וC קטן בצד ימין למטה)? תודה

תשובה

זה דרגה של המטריצה המייצגת ואנחנו יודעים את ההגדרה של דרגה של מטריצה. הדרגה של העתקה rankT זה המימד של התמונה (עמוד 56 בחוברת).

שאלה ממבחן

במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 11, מה זה אומר שT היא מעל השדה Zp? זה אומר שהיא מZp לZp? מה זה אומר? איך זה יכול להיות שT היא מF לF כשF שדה, העתקה לינארית צריכה להיות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, לא? למה התשובה הנכונה היא 3? תודה.

תשובה

שדה הוא תמיד מ"ו מעל עצמו ממימד 1. לכן זו העתקה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי. בשאלה מסתכלים על F כמ"ו מעל Z_p בכלל.

בכל אופן לא למדתם מאפיין ולכן השאלה לא ממש רלוונטית.

שאלה ממבחן

במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 10, למה התשובה היא א,ב,ג, ולא כל הטענות נכונות?? הצלחתי למצוא מטריצות כך שכל הטענות יהיו נכונות-

א' וב' שתי מטריצות האפס

ג' A מטריצת האפס וB מטריצה גדולה ללא אפסים

ד' A מטריצה גדולה ללא אפסים וB מטריצת האפס..

תשובה

בד', AB=0 איך הדרגה שלו תהיה שווה לדרגה של A בדיוק?

שאלה ממבחן

במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 9, למה הפתרון הוא 3? שמתי משתנים, דירגתי והגעתי למטריצת הזהות, כלומר כל האיקסים שווים לאפס? זה בטוח לא יכול להיות ! יש טעות? תודה

תשובה

למעשה המשתנה השני *חייב* להיות חופשי. בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס. כמובן שעוד פתרונות יתכנו, אבל לא פתרונות 1,2,4 בהם המשתנה השני אינו חופשי.

"בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס"- סליחה, ממש לא הבנתי למה התכוונת. מה זה איבר פותח, למה המשתנה השני חייב להיות חופשי, מה זה אומר שאם לא היה איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת? גם אם הייתי יודע מה זה איבר פותח, למה דווקא המשתנה השני חייב להיות חופשי, למה לא השלישי הרביעי החמישי או הראשון? תודה

כמו שאמרתי, חלק מהאחרים גם יכולים להיות חופשיים. אבל השני חייב להיות חופשי. איבר פותח או איבר ציר זה האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס. איך יודעים אם משתנה הוא חופשי? אם אין איבר פותח בעמודה שלו. האופציה היחידה לשים איבר שונה מאפס בעמודה של המשתנה השני היא בשורה האחרונה. אבל השורה האחרונה חייבת להיות שורת אפסים על מנת שהמטריצה תהיה אכן מדורגת.

מה?? המשתנה השני חייב להיות חופשי כי אין איבר פותח בעמודה שלו? אבל אפשר להחליף בין העמודה השניה לחמישית! והשורה האחרונה לא חייבת להיות שורת אפסים, דירגתי והגעתי לשורה ראשונה עם איבר פותח בעמודה הראשונה, שורה שנייה עם איבר פותח בעמודה השניה וככה לכל השורות!

אי אפשר להחליף עמודות, ממתי מותר? נתונה מטריצה בצורה קנונית. אתה לא יכול לשים איזה מספרים שאתה רוצה, רק מספרים שישאירו את המטריצה מדורגת קנונית. נובע מכך, בהכרח, שהשורה האחרונה היא שורת אפסים. אחרת יש איבר פותח שאינו נמצא מימין ממש לאיבר הפותח שלפניו (והאיבר הפותח לפניו בעמודה האחרונה).

שיעור חזרה ביום ראשון

שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים?

פשוט אני עוברת על כל המחברת ועד עכשיו יש לי בערך 7 שאלות, כדאי לשאול אותן פה, או לחכות לשיעור? (קשה יותר לשאול ולהסביר פה..)

תשובה

שיעור החזרה יהיה עם חומר מוכן מראש.

פרט לכך, נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא כל המתרגלים, אבל לפחות אני).

בנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי.

תודה על התשובה המהירה! מי אתה?

ארז.

אה יופי אתה המתרגל שלי.

עמוד 49 שאלה 11.8

עבור מטריצה A=1-0-0,0-1-0 (מסדר 2 על 3), אני טוענת ש-rankA=2. צריך להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"?

תודה.

תשובה

מה הכוונה לפי הבסיס הסטנדרטי? ניתן לומר "זו מטריצה מדורגת. דרגת המטריצה שווה למספר השורות השונות מאפס בצורה המודרגת שלה. יש פה 2 שורות שונות מאפס"

טוב.. פשוט זה נורא ארוך לתרגיל שכולו 2 שורות ><. תודה.

יש לי רעיון, אכתוב "דרגת מטריצה מדורגת שווה למספר השורות השונות מ-0 בצורתה המדורגת" ואסמן בכוכבית, ואז בכל פעם אכתוב "לפי * rankA=2". אחרת, זה נורא ארוך וסתמי, לחזור על אותו המשפט 9 פעמים!

שאלה ממבחן 2005 מועד א

במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 2, z^3=x3 כשx שווה לצמוד של z. למה אף אחת מהתשובות לא נכונה? יצא לי שim(z)=0 גם כשהתעסקתי בZ כa+bi וגם כrcisO. זו טעות או שאני טועה? תודה

תשובה

מה לגבי ?

2.11

בשאלה 2.11 בב' כתוב שיש העתקהה s:v -> v וs לא שווה לאפס. לא נאמר ש S העתקה לינארית, האם כשאני מוכיל שב' שקול לא' אני צריך להוכיח שS לינארית, או שהיא סתם העתקה? תודה

תשובה

הכוונה לS העתקה לינארית, אחרת מה קשור משפט ההגדרה?

שאלה ממבחן

אם נתון לי ש

T(1+2x+xx)= (1,1,2)

T(1+x+2xx)=(2,1,1)

T(2+x+xx)=(1,2,1)

אז אני יכול להגיד שפשוט T(axx+bx+c)= (c,b,a) ואז זה ממש ממש פשוט להוכיח שT חח"ע ועל? ועוד שאלה קטנה, כתוב בתחילת השאלה שT העתקה לינארית, אז זה אומר שכדי להוכיח שT איזומורפיזם אני לא צריך להוכיח שהיא העתקה לינארית נכון? תודה.

תשובה

אי אפשר פשוט להגיד את זה, צריך להוכיח את זה.

אף פעם לא צריך להוכיח את הנתון. אם רשום "נתונה העתקה לינארית" אין צורך להוכיח את זה.

2.8

סלחו לי אם אני כותב את התשובה, אבל לא קיבלתי מענה האם ההוכחה שלי נכונה או לא- האם אני יכול להוכיח שv=imT1=imT2 כך? x שייך לimT1 וy שייך לimT2 וv שייך לV.

x+y /T1() -> =T1(x)+ T1(y) /+T2(v) -> =T1x+T1y+T2v ->T2() -> =T1T2x+T1T2y+T2T2v =0+T2T2v =T2v

v /T1() -> =T1v /+T2v -> = T1v+T2v =Iv=v /T2() -> =T2v

(עשיתי אותן פעולות והגעתי לכך ששני האגפים שווים). ואז רק להוכיח שחיתוך הimים זר, וזה בסדר? או שזה לא נכון? תודה!

לא קיבלת מענה, כי בשביל זה יש בדיקת תרגילים. ביום ראשון יפורסמו פתרונות לתרגילים בכל מקרה.

אני לא יקבל את התרגיל עד המבחן ואני רוצה לדעת אם הפתרון שלי גם בסדר...

אז תשאל שוב יום ראשון.

למחוק את השאלה?

זה בסדר, תודה :)

6.14

סעיף א: האם צריך להשלים את הה"ל לפי הבסיס הסטנדרטי , ואז למצוא את T בצורה מפורשת? וכן בסע' ב' האם לשלוח את הוקטורים הנתונים ל-0, ולהמציא וקטור שלישי (בת"ל בשניים הנתונים) ו"לשלוח אותו" לסתם וקטור כלשהו, ואז למצוא את T... אבל אז סע' ב' וג' יכלים להיות זהים? נכון?

תשובה

בסעיף א' צריך למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת. מה להשלים למה זה בחירה שלך, העיקר שיקיים את תנאיי הסעיף.

כנ"ל לגבי הסעיפים האחרים.

בוודאי שכל העתקה לינארית מסעיף ג' עונה על התנאים של סעיף ב'.

שאלה בקשר לתשובה

האם צריך להראות איך הגענו לההעתקה המסויימת או שפשוט להראות שהיא מקיימת את התנאים?

תשובה

צריך לפרט בתרגיל הזה, שכן הוא בוחן את ההבנה של משפט ההגדרה, ומציאת העתקה המפורשת מתוך ההגדרה

התכוונתי האם צריך להסביר איך הגעתי להעתקה עצמה או להראות שזה מתקיים עבור בסיס כלשהו ואז להשתמש במשפט ההגדרה ולהגיע לכללית? (האם צריך להסביר למה בחרתי ככה את ההעתקה עבור האיברים של הבסיס ואיך הגעתי אליה??) ודבר נוסף האם מותר לי להגדיר את ההעתקה שלי כלינארית ואז להשתמש במשפט ההגדרה (כי אני נותן את הערכים שאליהם נשלח הבסיס) ולהגיע להעתקה הכללית? (מותר לי להגדיר אותה כלינארית בכלל בתרגיל הזה? לא שאני רואה דרך אחרת..)

1.28

האם זה נכון להוכיח ש imT1=kerT2, ומכאן נובע שהסכום ישר לפי 2.7 ב. כי T2 אידמפוטנטית?

תשובה

אם זה נכון זה בסדר, ואם זה לא נכון אז לא :)

כמה שאלות

• דורש הוכחה או טריוויאלי? קבוצה D פורשת מ"ו V. ב-D יש n איברים. האם צריך להסביר למה מכך נובע ש- dimV<=n? (אפשר להניח בשלילה ש-k=dimV>n ואז אם d שייך ל-D, נוסיף ל-D עוד k-n איברים מהצורה ad כאשר a בשדה. נקבל קבוצה חדשה E שפורשת את V וגם dimE=k לכן E בסיס ל-V, אבל E ת"ל כי כאשר בשדה אבל שונה מ-0. קיבלנו סתירה לכך שבסיס הוא בת"ל, מ.ש.ל) ההוכחה די ארוכה והיא לא מטרת התרגיל (11.2), אבל מצד שני, האורך שלה מראה על כך שהיא לא ממש טריוויאלית.. בקיצור - צריך או לא צריך?
• מה זה cspan? אם יש כזה דבר בכלל..?
• הציון שלי של תרגיל 3 לא מופיע, למה ומה לעשות בנושא? (הגשתי אותו!)

תודה מראש!!

תשובה

• לא צריך להוכיח את זה אלא מבקשים במפורש. מספיק לצטט את המשפט מההרצאה.

• אני מנחש שזה קיצור של Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם ראיתם את זה בהרצאה או לא.

• לשלוח למתרגל שלך מייל בנושא.

תשובה לתשובה

תודה!

• איזה משפט בדיוק?
• אני ראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...
• אוקיי תודה.

לא יודע, תפתח מחברת ותחפש. כנראה שיהיה מספיק לכתוב "לפי משפט, מספר האיברים בקבוצה פורשת גדול או שווה למימד"

נראה לי שהמשפט שאומר שאם יש קבוצה שפורשת את V, וקבוצה בת"ל מוכלת ב-V אז מספר האיברים בפורשת גדול שווה ממספר האיברים בבת"ל.

המבחן

ביום שלישי יש מבחן בלינארית. כמה זמן המבחן? מתי הוא מתחיל? כמה שאלות? מה המבנה?

תשובה

מה שאמרו בהרצאה. אם לא אמרו, אפשר לשאול ביום ראשון בחזרה

 מה אמרו בהרצאה? אני לא יכול להגיע ביום ראשון לחזרה, אתם משאירים אותי פה במתח.

11.10

האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)?

תשובה

לא, זה לא נכון. קח (A=(-B

שאלה 6.14

אפשר הכוונה לגבי 6.14? תודה רבה!

הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, השלמה לבסיס. אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.

התכוונתי לגבי א'. תודה

כן, לגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא המרחב הנפרש על ידי ה-w_i מהמשפט.

2.8

מה זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? או מה? זה ממש לא מובן. תודה

תשובה

תקרא את אותה שאלה עם התשובה למטה.

סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו את זה אבל לא נורא. תודה

אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את זה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן.

שאלה נוספת

וכשכתוב בב' T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של העתקות, כמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה

ואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו

אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.

עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון

האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם זה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר. זה בסדר? תודה!

אין עובדה שזה סכום ישר, זה מה שצריך להוכיח. אם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר.

ואתה לא צריך להראות שסכום של x וy הוא איבר בV זה טריוויאלי מסגירות. אתה צריך להוכיח שכל v בV הוא מהצורה v=x+y עבור x,y כלשהם בIm-ים המתאימים.

אוקיי, אז אם אני לוקח v ששייך לV, ואחרי כמה פעולות מגיע ממנו לX+Y, זה בסדר?

האם מותר לי גם (יהיה לי הרבה יותר קל אם כן) להניח שקיימים v,x,y כמו מקודם, ואז להראות אחרי כמה פעולות ש v=a וגם x+y=a

(a ביטוי מסוים שלא אכתוב כדי לא לגלות את התשובה). זה בסדר? אפשר להגיד שאם זה ואם אין חיתוך בין הim-ים, אז ה-דרוש מתקיים?

ועוד דבר, אני יכול להניח שT1 וT2 הפיכות? תודה!

אי אפשר להניח דברים שלא בנתון. ושוב, אתה חייב להראות שכל v הוא מהצורה הנ"ל. איך תעשה את זה? זו החלטה שלך. הניסוח שלך קצת מצחיק- תקח x,y,v כללים ותוכיח שתמיד x+y=v? הרי וודאי לא יכול להיות שתצליח בזה.

2.7

אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה שהם מבקשים? או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות?(לפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני וניתן לסתור אותו,אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא?)

תשובה

הלוגיקה חשובה במתמטיקה. אני אענה לשאלה, אבל חשוב לי להבהיר שאתם צריכים להיות מסוגלים להבין שאלה כזו לבד.

כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת.

במקרה הזה המשפט הוא: T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.

אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה).

לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות וגם שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.

ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה

יופי. תמיד טוב לשאול.

שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה

רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא?

יש לשים לב כי העתקה אידמפוטנטית מוגדרת פרט ל-0 (בדר"כ) - בהסתמך על הערך "אידמפוטנט" [1]

1.28

המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג? (לא ענית לי למטה..)תודה!

תשובה

כי מה שרשמת זה לא מטריצה. העמודות של המטריצה צריכות להיות וקטורי הקואורדינטות, בוודאי פולינום אינו יכול להיות עמודה של מטריצה.

ממליץ בחום רב לקרוא את המסמך על קואורדינטות ומטריצות מייצגות, יש שם דוגמאות והסברים לכל התהליך.

שאלה (שקשורה ל6.14)

האם העתקה T:V->W חייבת להיות מוגדרת לכל v בV? אני יודע שבהעתקות, לא חייב להיות לכל וקטור בW מקור, כי אני זוכר שהעתקה יכולה להיות על ולא על, אבל האם היא חייבת "לקחת" את כל הקטורים מV אל איברים בW אל לא? למשל, אם אני מגדיר העתקה מR4 לR4, האם אני יכול להגיד אותה כך? T(a,b,00) = T(0,0,a,b) אפילו שהוא לא מוגדר לכל V, או לא? תודה

תשובה

חייב להיות מוגדר לכל v, באופן כללי פונקציה צריכה להיות ח"ע ושלימה (כמו בבדידה)

1.14

אפשר בבקשה הכוונה איך אני מוכיח את א'? עם ב' הסתדרתי..

אין סעיפים בשאלה 1.14

התכוונתי להעתקת האפס!!

מוכיחים את זה באמצעות הקריטריון המקוצר לבדיקת העתקה לינארית.

אני יכול לעשות מעבר כזה: T(v+u) =0 כיוון ש לכל v ששיך לV מתקיים T(v)=0?

מן הסתם... זו ההגדרה של העתקת האפס.

תודה:)

שאלה

הדרגה של מטריצה עם 2 שורות ו2 עמודות שונות משורות אפסים, היא 2 או 4? לפי תשובה קודמת, נראה שכתבתם שהדרגה היא 2, אבל זה מביא לסתירה מסוימת, כי אם rank(A) =2 אם A מטריצה מגודל 2 על 2, אז זה אומר גם שהמימד של המרחב R2x2 הוא 2, לא? אבל חשבתי שהמימד של המרחב R2x2 הוא 4, כי בבסיס שלו 4 איברים {(0,0,0,1)(0010)(0100)(1000)} ? איפה אני טועה? תודה

תשובה

לפי תשובה קודמת, ראינו מטריצה כזו עם דרגה 1. אין קשר בין המימד של מרחב המטריצות, לפי המימד של מרחב השורות של המטריצה. הדרגה של מטריצה בגודל nxm היא קטנה שווה למינימום בין n,m. לעומת זאת מימד כל המטריצות הוא nm.

אם המטריצה בצורה מדורגת, הדרגה שלה היא מספר השורות השונה מאפס. בפרט, הדרגה לא יכולה להיות גדולה ממספר השורות.

כמה שאלות: -מהי הגדרה של הדרגה של מטריצה? אם היא קטנה או שווה למינימום בין M,N, זה אומר שאי אפשר לחשב אותה במדויק?

-אם יש מטריצה (מטריצות) שנראית כך: a, b, c, a+b+c

(a וb בשורה הראשונה וה2 האחרים בשורה השניה), אז מימד המטריצות האלה הוא עדיין MN? אפילו שאחד האיברים במטריצה תלוי באחרים?

-rankT כך שT הוא ממטריצות MxN למטריצות מאותו הגודל, הוא MN או המינימום? יש דבר כזה rankA וגם rankT כשA מטריצה וT העתקה? הם 2 סימונים ל2 דברים שונים? תודה רבה

תשובה

ההגדרה רשומה בעמוד זה, מספר פעמים. למשל #שאלה לתשובה ושתי שאלות מתחתיה.

אם תיקח תת מרחב של מרחב כל המטריצות שלא מכיל את כל המטריצות האפשריות, המימד שלו בהכרח יהיה קטן יותר. לגבי הדוגמא הספציפית צריך לוודא שזה אכן תת מרחב אחרת אין הגדרה למימד שלו.

rankT היא הדרגה של העתקה, אני לא יודע אם למדתם את זה או לא. אם כן, יש הגדרה במחברת שלכם. אם T העתקה לינארית ממרחב המטריצות למרחב המטריצות, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ממימד NM ולכן המטריצה שמייצגת אותה היא מגודל NMxNM, ולכן יכול להיות שהדרגה של המטריצה המייצגת הינה NM.

תודה לגבי כל השאר, יש לי רק עוד דבר לא פתור: נניח שיש מטריצה (בוא נגיד, מסדר 2 על 2) כאשר אחד או יותר מהמקומות במטריצה הוא תלוי\ים במקומות האחרים (כמו בדוגמה שנתתי קודם, רק אם הדוגמה שנתתי לא טובה (כי היא לא תת מרחב וכדומה) אז דוגמה אחרת דומה -- המימד של המטריצות מהסוג הזה הוא עדיין MxN או לא? תודה.

דוגמא:

יהי מרחב המטריצות ויהי .

אזי קל לוודא שW תת מרחב של V ושהבסיס שלו הינו

לכן המימד של W הינו 3.

המימד של V לעומת זאת הוא 4.

איך מצאת את הבסיס של W?

1.28

מה הכוונה וקטור כללי מ R2[X ? נניח (1,1,1) הוא טוב?

תשובה

1. (1,1,1) הוא וקטור ספציפי - ההפך מכללי

2. במרחב הפולינומים הוקטורים הם פולינומים מדרגה קטנה שווה 2. לכן וקטור כללי במרחב זה הוא

את האמת שזה מה שחשבתי רק שלא הייתי בטוח..

בכל מקרה, איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?

יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.

ראיתי הגדרה שאומרת: תהי f:A->B פונקציה. אם קיימת g:B->A כך ש f הרכבה g =למטריצה היחידה של A ו g הרכבה f= למטריצת היחידה של B נאמר

שf הפיכה וg נקראת הפונקציה ההופכית של f.

אי אפשר להשתמש בזה עבור הרכבה של העתקות לינאריות?

אפשר לומר את זה על העתקות לינאריות, עם הסייג הבא: הרכבה של העתקות לינאריות אינה מטריצה אלא העתקה. כלומר ההרכבה של ההעתקות היא ההעתקת הזהות והמכפלה של המטריצות המייצגות היא מטריצת היחידה (שכן המטריצה המייצגת של העתקת הזהות מבסיס לעצמו היא תמיד מטריצת היחידה).

המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?

שאלה

צריך למבחן לדעת את העתקת האינטגרל, הנגזרת ועוד נושאים המוזכרים בחוברת של בועז צבאן ולא למדנו אותם??

תשובה

אין צורך לדעת דברים שלא נלמדו בהרצאה, בתרגיל או נתנו בשיעורי הבית.

כמובן שלא מזיק לפתור תרגילים נוספים, אבל אין צורך לזכור הגדרות אחרות.

שאלה למתרגלים (או למתרגל הספציפי שלי, אדם צ'פמן

למדנו נושא שלם (דטרמיננטות) שלא הזכרנו אותו אפילו בתרגול עם אדם צ'פמן. למה? המרצה אמר שהוא יכול להיות במבחן! תודה.

מוזר, אנחנו מהקבוצה השנייה(עם אלי בגנו) לא למדנו דטרמיננטות בכלל גם לא בתרגול.

תשובה

אם הנושא יהיה במבחן, הוא יהיה בהתחשב בכך שלא היה תרגול. בהסמך על מה שלמדתם בהרצאה בלבד.

כמובן שלמי שלא למד את זה בהרצאה, זה לא יהיה במבחן.

תרגיל 11.8

מבקשים ממני בתרגיל לתת דוגמות למטריצות אשר מקיימות את התנאי המתבקש. האם אני צריך להסביר כיצד הגעתי לדרגה של המטריצות A ו-B שבחרתי או שפשוט לכתוב: "דרגתה של המטריצה A שנבחרה היא ... " ואותו כנ"ל עבור AB.

תודה מראש, גל.

צריך רק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען.

תרגיל 11.2

האם x הוא בהכרח וקטור מסדר n*1 או שהוא יכול להיות מטריצה?

תשובה

הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת)

תודה!

ועוד שאלה: כאשר נתון ש- הוא מרחב העמודות של , האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: כאשר הם וקטורי העמודות של ?

כן, זו ההגדרה.

בסיס

הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2,...ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,...,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,...xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"ם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי. כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,...,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,...,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+...+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל.

השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל? נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש...

תשובה

למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). כמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. אלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות.

חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא ריבועית.

חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות.

11.10

המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות? אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז מה הדרגה?

תשובה

לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון.

השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל.

שאלה לתשובה

תודה על התשובה אבל לא כ"כ עזרת לי, ברור לי שאי אפשר להניח משהו שהוא לא נתון, השאלה שלי היתה האם כדי להוכיח את מה שרצו אני מניחה שהם בת"ל,הרי במקרה כללי אני חייבת להניח את זה..לא?ובנוסף לא ענית לי מהי הדרגה של מטריצה(כללית, כלומר שלא יודעם את אבריה) MXN?מימד מרחב השורות/העמודות?

תשובה

זה כמו לשאול: האם x זוגי? התשובה המתבקשת כמובן היא תלוי מהו x.

אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון?

אין כזה דבר דרגה של מטריצת כללית. שוב, הדבר דומה לשאלה מהם הגורמים הראשוניים של מספר כללי x.

כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל.

באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה = מימד מרחב העמודות = מימד מרחב השורות = מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית = מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה

תרגיל 2.8

מה הכוונה ב(א) שכתוב  ? כלומר מה הכוונה בחיבור העתקות ליניאריות? תודה רבה... XD

תשובה

כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - :

יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי

תשובה לתשובה

תודה רבה XD :P :) :D

מרחב עמודות ***עוד שאלה***

איך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A? איך מוצאים את הבסיס? מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה.

תשובה

• הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה.

• אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:
  • שחלוף המטריצה A
  • דירוג המטריצה המשוחלפת
  • שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)
• מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.

תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה

1 2

2 4

הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה.

הדרגה היא אחד. המושג הכללי שאתה מתאר (מספר השורות שלא תלויות אחת בשנייה) מוגדר במדויק - הוא נקרא מימד. מימד הוא מספר האיברים בבסיס. ואם תביא את המטריצה הזו לצורה מדורגת תראה בקלות שיש רק שורה אחת שונה מאפס בצורה המדורגת, והיא מהווה בסיס למרחב השורות.

תרגיל 11.2ב

מהי המטריצה A|b?

המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b.

סכום ישר

לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא?

גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי,

V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w

צ"ל :

1. U+W מוכל בV.

2.V תת מרחב של U+W

3.U חיתוך W שווה 0.

למה צריך להוכיח את 2??

תשובה

הביטוי אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה:

א. V=U+W

ב.

על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון).

ב' הוא בדיוק 3 שלך.