לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4

הרצאות ותרגולים השבוע

מתי יש שיעורים השבוע (גם באינפי וגם בלינארית)? ומה נלמד בשיעורים (השלמה/חזרה/העשרה)? תודה מראש!

מחפש המלצה

לא מצאתי ספר אם תאוריה דוגמאות ותרגילים לגבי שניוניות. אשמח אם מישהו יוכל להמליץ על אחד.

שאלה

שאני פותר את התרגילים שצריך למצוא את הצורה הקנונית- צריך גם להראות את הדרך של החלפת המשתנים? או שמספיק להציב בנוסחא מהתרגיל?

תשובה

הנוסחא מהתרגיל מספיק טובה לתרגיל של 2 על 2, אבל יש גם אחד של 3 על 3. הכי טוב להסביר את זה פעם אחת ואז לעשות שוב ושוב (בטח לא להראות לכל תרגיל מחדש.

שאלה

בתרגיל 4 יצא לי באחד מהסעיפים צורה קנונית שנראית כמו (אחרי החלפת משתנים וזה)Elliptic paraboloid מוויקיפדיה, רק עם מספר חופשי. אין שום צורה כזו בויקפדיה. איך קוראים לזה?

אתה צריך להיות יותר ספציפי. לא לרשום את הקבועים המדוייקים, אבל בגדול. אחרת אני לא יכול לענות על זה. כנראה שזו כן צורה מהוויקפדיה (אמור להיות שם הכל אני חושב) ואתה פשוט מפספס את הקשר בין הצורות

שאלה

ארז, אמרת שכאשר q(v)=vt * A * v אז A מתאימה לאופרטור צל"ע. למה?

תשובה

זה החומר של שיעור שעבר. הרי מה זה $v^tAv$? זה בדיוק תבנית בילינארית כלשהי $f(v,v)$. ולמדנו שכל תבנית ריבועית מתאימה לתבנית בילינארית סימטרית מסוימת. בקיצור, חומר של שיעור שעבר.

שתי שאלות

• האם יכול להיות מצב בו הצורה הקנונית של שנינונית ממעלה 1 (ממימד )3 תהיה שניונית ממעלה 2?
• בתרגיל למדנו איך למצוא את הסקלר d' בעזרת הערכים העצמיים של המטריצה. נניח שאחד הערכים העצמיים הוא 0, איך אפשר להפוך את השניונית לצורה קנונית?

תשובה

• תגדיר מעלה של שניונית. אני מנחש שאתה קורה לשניונית עם xy ממעלה 1 אבל זה לא נכון. המעלה הינה סכום המעלות. אם יש לך משוואה לינארית, לא יכול להיות שהיא תהפוך לריבועית.

• בתרגיל למדנו לבצע לכסון אורתוגונלי, ואז השלמה לריבוע ואז הזזה. אם אחד הע"ע הינו אפס, אז לא עושים למשתנה שלו השלמה לריבוע אלא רק לאחרים ורואים מה יוצא.

• אני מבין עכשיו שיכולה להיות הטעיה בניסוח התרגיל לגבי צורה קנונית. אם קיבלתם $ax^2+by^2=cz+5$ אז זו גם צורה קנונית....

• בדיוק, הבנתי אם כך את הנושא. כלומר, אם יש לי למשל 2xy+18xz יכול לצאת לי, תאורטית, x^2+12z^2?

• הבנתי, תודה רבה!! :)

• בנוגע לתרגיל בו קבלתי ערך עצמי 0, האם 0 יהיה המקדם של z^2 במקרה זה? (כלומר הצורה הקנונית של שניונית תהיה בכלל ממימד 2 למרות שהצורה המקורית שלה ממימד 3)

שוב, מה הכוונה של מימד? אם ע"ע הוא אפס, תקבל למשל משוואה מהצורה $ax^2+by^2+cx+dy+ez=f$ ולאחר השלמה לריבוע והזזה תקבל $ax^2+by^2+ez=f$

ואיך קוראים לצורה הקנונית הזו?

זה תלוי בקבועים...

מה ז"א? איפה אני יכול לרואת רשימה שלהם? אם כל הקבועים שונים מ-0? בוויקפדיה באנגלית לא מופיע מקרה כזה

אפשר להמשיך לחלק בe ואז להזיז את z ואולי לשקף אותו על מנת לקבל את המקרה בוויקיפדיה. זה בדיוק כל הטריק, לעשות שינויים שלא משנים את הצורה על מנת להגיע לצורה מוכרת.

מה ז"א 'לשקף'? איך אפשר לשקף אותו?

להחליף אותו במינוס של עצמו. זה שיקוף כלפי ציר x

שאלה לגבי אחוז ההגשה

מהו אחוז שיעורי הבית שאפשר לא להגיש? הסמסטר נגמר ועוד לא אמרו לנו. כל המטרה של אחוז הגשה זה שאנחנו נתכנן את הזמן שלנו ונחליט מתי עדיף שלא נגיש את שיעורי הבית . תודה מראש.

תשובה

לא. אתם חייבים להכין את כל שיעורי הבית כי מטרת התרגילים היא לבסס את חומר הלימוד.

המטרה של אחוז ההגשה היא למקרים קיצוניים בהם לא היה אפשרי להגיש תרגיל, כי ברור שמקרים כאלה עלולים לקרות.

זו בדיוק לא הכוונה שתבחרו סתם לא להגיש תרגיל קשה, כי מן הסתם אנחנו מעוניינים שתעבדו על תרגיל קשה.

אז מה אחוז ההגשה המותר במקרים קיצוניים? יפה שאתם רוצים שנגיש את הכל אבל ככה זה לכל הסטודנטים אחוז הגשה ואי אפשר שלנו התיכוניסטים יהיו חוקים אחרים.

למה אי אפשר? אני לא ראיתי שום תקנון שמכריח אותי לעשות מה שנוח לכם :) כנראה שאם יהיה חסר תרגיל אחד לא תהיה בעייה לגשת למבחן.

דיברתי אתמול עם ד"ר צבאן והוא אמר שאפשר לא להגיש 20% או יותר (יותר פירושו אם יוחלט אך מובטח שמותר לא להגיש 20%).

תרגיל 12 שאלה 1

מה הכווונה בשינוי צורה של שניונית? איך בדיוק זה מתבטא? והאם בהכרח מטריצה אורתוגנולית היא מטריצת/סיבוב או שיקוף ב-R3 לפי מישור/ישר? תודה.

תשובה

שינוי צורה, הכוונה שהצורה נהיית אחרת, המרחק בין הנקודות משתנה, זויות בין ישרים משתנות וכו. ברור שסיבובים ושיקופים לא משנים את הצורה.

לגבי R^3 זו בדיוק השאלה של התרגיל. ולמדתם בהרצאה איך נראית המטריצה המייצגת של אופרטור א"ג מכל מימד, כולל R^3, אתם צריכים מתוך זה להסיק לבד מה הוא עושה.

א)מדובר על מטריצה אורתוגונלית כללית ואם אתה מתכוון לייצוג ב-R 3 הוא למעשה שיקוף לפי ציר מסוים+סיבוב לפי מישור או שיקוף/סיבוב זה נכון עבור בסיס אורתונורמלי מאוד מסוים.אני לא רואה איך זה בדיוק משתלב בתרגיל.

ב) הצלחתי להראות שלמעשה המטריצה האורתוגונלית לא משנה את צורת השניונית אלא רק את ייצוג הבסיס של הוקטור (התאמתי בסיס אורתונורמלי לפי המטריצה) האם זה נכון לומר שהצורה נשמרת אם כך?

המשך

א - אתה לא רואה איך שיקוף וסיבוב קשור לכך שהצורה הגיאומטרית לא משתנה? הרי זה בדיוק מה שלמדנו אתכם.

ב - מעניין אותי איך הראת שהצורה לא משתנה, אם לא השתמשת בשיקוף וסיבוב...

שאלה

איך זה שלפני הבוחן ,נתתם פירוט מדויק שלו חודש וחצי לפני,ואילו למבחן שיערך בעוד שבועיים וחצי עוד לא נתתם כלל מידע?

צודק!! צריך פירוט דחוף

• אולי תבקשו דברים בצורה יפה ולא תדרשו? תופסים יותר זבובים עם דבש מאשר עם חומץ. ולעניין, אני מקווה שבקרוב יוחלט על פורמט המבחן ויהיה פירוט.

מבחן סיום קורס, אני מאמין שכל החומר שלמדנו ייכלל, את השעות אפשר לראות באתר של בר אילן. אגב, האם יעלה תרגיל 9 (שכפי שאמרת ישמש רק לחזרה ולא להגשה), ואם כן איזה חומר הוא יכלול? דרושה חזרה נוספת על כל נושא הליכסון האורתוגונלי, האם יש אפשרות לשלב אותו בתרגיל?

שאלה

• בהרצאה למדנו שכשעושים פעולות על השניונית מותר רק הזזות וסיבובים (אופרטורים אורתוגונליים עם דטר' 1) ואסור שיקופים (עם דטר' -1). איך בדיוק זה בא לידי ביטוי בתרגיל? צריך פשוט להראות שזה שומר מכפלה פנימית? אז למה דווקא בR3 ולא במרחב כללי? ואני לא זוכר שלמדנו משהו על המטריצה של אופרטור א"ג חוץ מA*(At)=I והאיברים על האלכסון.

תשובה

קצת מוזר לי שאסור שיקוף, בתרגיל אמרנו שמותר. באיזה הרצאה אמרו שאסור?

למדתם את הצורה של המטריצה המייצגת של אופרטור א"ג וגם היה לכם תרגיל מאד דומה על אופרטור אנטי צמוד לעצמו (בתרגיל 10).

שאלה

האם הצורה הקנונית של שניונית היא יחידה (עד כדי החלפת המשתנים זה בזה כמובן)? הסוג הוא יחיד, אבל גם הצורה הקנונית (המשוואה בסוף?)

תשובה

לא יודע, אני לא הגדרתי צורה קנונית בצורה מדוייקת. אני מניח שאם נגדיר בצורה מדוייקת היא תהיה יחידה, אבל המטרה שלי הייתה רק להסביר לאיזה צורה צריך להגיע (וגם את זה לא עשיתי טוב, כי לא התחשבתי במקרה של ע"ע אפס)

היא גם יחידה אם מסדרים את המטריצה האלכסונית שערכיה הם הע"ע של A בסדר שונה? (כלומר את הע"ע מסדרים בסדר שונה)

לא, כמו שהיא לא יחידה לגבי החלפת קואורדינטות

שאלה

האם מותר לפתור את תרגילים 2 ו 4 לפי הנוסחאות שפיתחנו בתירגול, בלי להראות החלפת משתנים והשלמה לריבוע וכו'?

תשובה

לא עשינו דוגמאות של 3 על 3 בכיתה בכלל. תסבירו מה אתם עושים, אולי תפרטו בתרגיל אחד. אין צורך לפרט בכל אחד מהתרגילים את החישובים מהתחלה. אבל כן יהיה טוב לרשום: מחליפים קואו', משלימים לריבוע, מזיזים וכו'

שאלה

מה זה אומר לי שלשתי שניוניות יש אותה צורה גאומטרית?

תשובה

השאלה המקורית היא: מה הצורה הגיאומטרית של השניונית. על מנת לענות על זה, מעבירים לשניונית אחרת עם אותה צורה גיאומטרית רק שהפעם אנחנו יכולים להגיד מה הצורה שלה.

מה עוד צריך שזה יגיד?

שאלה

איך יודעים מה הצורה או הצורה הקנונית של שניונית?? מה ההבדל בכלל????

תשובה

מה ההבדל בין מה למה?

צריך להביא את השנינית למצב שאפשר להגיד מה הצורה שלה (לפי רשימת הצורות מהשיעור או מהרצאה או מוויקיפדיה).

שאלה על הזזות

הזזה היא פעולה אורתוגונלית?

תשובה

כשמדובר על אופרטורים א"ג כמובן מדובר על העתקות לינאריות (זו ההגדרה של אופרטור). הזזה היא לא העתקה לינארית בכלל כי היא שולחת את אפס למקום אחר.

שאלה

האם בתרגיל 1 מותר לי להוכיח בכללי לכל מרחב וקטורי R^n? האם מותר לי להסתמך שהזזות ושיקופים לא משנים את צורת השניונית (זה בכלל משפט או שככה הגדירו אותם?)

תשובה

אפשר להוכיח באופן כללי. כן, על זה אתה צריך להסתמך כמו שלימדנו בכיתה. אני מניח שאפשר לנסח משפט כזה, שמגדיר את ה"צורה" בתור המרחק והזווית בין כל שתי נקודות באובייקט הגיאומטרי (סתם מהראש שלי). אבל זה לא קורס גיאומטריה, וכל מה שצריך זה הגיון בריא שאומר שאם אתה מסובב או משקף יש לך אותה צורה. (עבור הצורות של השניוניות כמו ספירה, אליפסואיד וכו'.)

שאלה בנוגע ל-4ג'

אני לא יודע למה, ונדמה לי שזה לא נכון אבל יוצא לי שהערך העצמי יוצא 0, והשניים האחרים יוצאים מספרים ממשיים מגעילים. אני כמעט בטוח שזה לא נכון, יכול להיות שיש טעות בתרגיל?? אם לא, אשמח שמישהו יגיד לי מה היו הע"ע האמיתיים ואני אבין איפה טעיתי.

תשובה

אתה לא טועה. הערכים העצמיים הם 0 ושני מספרים ממשיים מגעילים.

אז איך אני אמור למצוא להם ווקטורים עצמיים בדיוק, ולהגיע למטריצה P?

אני מניח שחישבת את הווקטורים העצמיים באינטרנט. אתה יכול לחשב אותם על הנייר, או אתה יכול לנסות שנייה אחת לראות שזה מספר טבעי +/- השורש שלו.

לא, חישבתי על נייר, טוב תודה על העצה, אני אנסה.

שאלה לגבי 4-ג'

יצא לי שערך עצמי אחד הוא 0, ועשיתי כרגיל: חישבתי את P, ואז את הווקטור Pt*b (כלומר במקרה הזה, הווקטור 1,2,3) ועכשיו אני באמת לא יודע מה לעשות, ראיתי שארז אמר לעשות השלמה לריבוע רק למשתנים הלא מתאימים לאפס, מה זה אומר באופן מעשי??

שאלה

(קצת באיחור :)) רק עכשיו שמתי לב שבאלגוריתם שרשמת לנו, כתבת שבהזזה/השלמה לריבוע, x'' = x' +a/2x1 (כאשר x1 ע"ע). זה לא אמור להיות מינוס?

תשובה

לא, למה שזה יהיה מינוס? אתה רוצה שמה שיש בתוך הסוגריים שבריבוע יהיה בדיוק הקואורדינטה החדשה שלך. אני היום יותר מאוחר אפרסם את הפתרונות של תרגיל 12, ותוכלו לוודא את התשובות

אז בעצם העניין הוא שצריך להעביר אגף, לקבל x'=x''-blabla ואז להציב כאמור?

למה להעביר אגף? ''x הוא המשתנה החדש, פשוט רושמים אותו. העלאתי פתרונות, מוזמן להסתכל.

שאלה

ארז, אמרת שאחרי שמבצעים את המטריצה המלכסנת P מבצעים החלפת משתנה

$x' = P^tx$

אני לא מבין למה לרשום את זה כך. סה"כ מתבצעת החלפת משתנים

$x ------> Px$

מה משמעות הרישום במשוואה העליונה? האם ככה אנחנו רוצים ש x' יחליף את x? איך אני אמור להסתכל על זה?

לא ניסחתי את עצמי טוב. הכוונה היא מה ההיגיון בלרשום את החלפת המשתנים כמו במשוואה הראשונה.

למה אנו רושמים בהתחלה את החלפת הקורדינטות $x' = P^tx$ ולא לרשום מהתחלה $x = Px'$? זאת אומרת, מה אמור לעבור לי בראש כשאני רושם שנחליף משתנים כמו במשוואה הראשונה?

זו הדרך האינטואיטיבית שנובעת אפילו מהציור שלך. $x \rightarrow P^tx$ לכן הקואורדינטות החדשות שלנו הן x' ואנחנו צריכים נוסחא על מנת להגיע אליהן. בכל מקרה, שתי המשוואות כמובן שקולות ושכל אחד ישאר עם האינטואיצה שלו. ברור שהמטרה הסופית היא ללכסן את התבנית הריבועית, ואת מטרה זו השגנו.

בקשה

היי, אשמח מאוד אם תוכלו להוסיף דוגמה לשילוש כאשר צריך לעשות מס' שלבים (כן, עבר הרבה זמן מאז) כי לא באמת נתנו לנו דוגמה כזו.. איכשהו הסתדר בסוף והתהליך יצא דומה ללכסון. (לדוגמה, בחוברת הצהובה, היה תרגיל מסוים של שילוש, סעיף c יכול להיות טוב).

תשובה

אתה צודק, נעלה דוגמא כזו בסוף השבוע

תודה רבה :) ואשמח אם תוכל להעלות גם פתרון של תרגיל 4.3 ג' בעמוד 89.. לא הצלחתי אותו וניסיתי המון פעמים (זה שילוש רגיל, לא אורתוגנולי).

תעקוב אחרי הדוגמא שנתתי, רק בלי לבצע גרם שמידט ותראה אם אתה מצליח.

בקשה

היי, אשמח אם תוכלו לתת קצת פרטים אודות המבחן....זה יועיל לנו...רובנו התחלנו כבר לרפרף על החומר,ויועיל לנו לדעת פחות או יותר מהו סוג ההוכחות שצריך לדעת,סוג התר' וכו'.... בהערכה רבה על תמיכת המתרגלים(ובמיוחד על ההשקעה של ארז)!!!!!!!!!!!!

תשובה

אנחנו עובדים על זה. ברגע שתהיה החלטה על מבנה המבחן נפרסם יותר פרטים

שאלה - ת"ל של וקטורים עצמיים

פרופסור קוניבסקי השתמש באחת ההרצאות שלו בכך שאיחוד הבסיסים של מרחבי הוקטורים העצמיים של כל ערך עצמי (הבסיס שלהם מורכב מוקטורים עצמיים) הוא קבוצה בת"ל. למה זה נכון? איך מראים את זה?

תשובה

זה דבר מאד חשוב שאנחנו משתמשים בו כל הזמן, ו"ע של ע"ע שונים הינם בת"ל. נניח בשלילה שזה לא נכון, וקיימים $v_1,...v_n$ ו"ע עם ע"ע $x_1,...x_n$ שונים כך שב.ה.כ $v_1$ הינו צ"ל של האחרים $v_1=a_2v_2+...a_nv_n$.

נכפול במטריצה A ונקבל $Av_1=a_2Av_2+...a_nAv_n=0$ ולכן $x_1v_1=a_2x_2v_2+...a_nx_nv_n=0$ אם $x_1=0$ אזי זה אומר שהוקטורים $v_2,...v_n$ ת"ל כי הע"ע שונים ולכן $x_2,..x_n\neq 0$. מצד שני, אם $x_1\neq 0$ אזי נחלק בו, ושוב בגלל שהע"ע שונים אזי $\forall i: \frac{x_i}{x_1}\neq 1$, נקבל צ"ל שונה של $v_2,...v_n$ שנותן את $v_1$ ולכן $v_2,...v_n$ ת"ל עדיין.

נמשיך את התהליך הזה עד שנקבל ש$v_1$ ת"ל בעצמו כלומר שווה אפס בסתירה לכך שהינו וקטור עצמי.

אני לא יודע אם זו ההוכחה מההרצאה, בטוח עשיתם את זה, זה נושא מאד בסיסי בכל הקורס הזה, כי משתמשים בו בלכסונים ושילושים ובעצם בהכל.

מיקוד למבחן

יש אפשרות להעלות מיקוד למשפטים שצריך ללמוד למבחן? בעיקר עבור המשפטים הגדולים. תודה.

נשאל ונענה כבר 5 פעמים.

המשך השאלה מלמעלה

את ההוכחה שנתת ראיתי. אבל אני התכוונתי למשהו אחר נגיד יש לי v1, ...vs בסיס של וקטורים עצמים למרחב הוקטורים העצמיים של L ע"ע ו- v'1, ...v'k בסיס של וקטורים עצמים למרחב הוקטורים העצמיים של l ע"ע וכו.. למה איחוד הבסיסים האלו הוא קבוצה בת"ל? אנחנו לוקחים יותר מוקטור עצמי אחד של כל ע"ע...

תשובה

אם הוא היה ת"ל, מה היה קורה? הרי סכום של וקטורים עצמיים של ע"ע מסויים הוא ו"ע של אותו ע"ע. לכן יוצא שו"ע של ע"ע שונים הם ת"ל (לא יכול להיות) או שצ"ל של איברי אחד הבסיסים של המרחבים העצמיים ת"ל וזה גם כמובן לא יכול להיות.

באופן כללי, אם יש לך כמה קבוצות שהן בת"ל בפני עצמן, ובת"ל אחת יחסית לשנייה, אז האיחוד הוא גם בת"ל (וההוכחה היא לפי מה שרשמתי לעיל)

סכום של וקטורים עצמיים של ע"ע מסויים הוא ו"ע של אותו ע"ע- זה בגלל שהוקטורים העצמים הנ"ל בסיס למרחב של וקטורים עצמים ואז הסכום שלהם הוא צירוף לינארי שלהם ולכן הוא וקטור עצמי גם כן? זו הסיבה?

זו דרך אחת (נכונה) להסתכל על זה. אבל ההוכחה של זה טריוויאלית לחלוטין. אם v ו u ו"ע עם ע"ע b אזי $A(v+u) = Av + Au = bv+ bu = b(v+u)$. ואם תכליל את זה לצ"ל כללי זה עדין טריוויאלי...

סבבה הבנתי תודה רבה

המבחן

הי כולם, מישהו יודע איפה אני יכולה להשיג את המבחן של בוריס משנה שעברה??

הוכחת משפט ההצגה של ריס

ההוכחה במחברת קצת מבולגנת, למישהו אכפת לכתוב את ההוכחה?