נוספו 2,653 בתים,
18:16, 20 בינואר 2010 =לכסון אורתוגונלי=
==אלגוריתם==
* מצא את הע"ע של המטריצה A
* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית
==הוכחה לאלגוריתם==
* ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי <math>P^{-1}AP=D</math> אלכסונית
* ידוע שאם P אורתוגונלית אזי <math>P^t=P^{-1}</math>
* נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי <math>D=P^{-1}AP=P^tAP</math> אלכסונית.
===טענה===
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית
===הוכחה===
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן <math>A=PDP^t</math> ולכן <math>A^t=PD^tP^t=PDP^t=A</math> (כי D אלכסונית).
בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).
לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים.
* לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
* לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
* מכיוון שA סימטריתידוע שהיא לכסינה
* לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
* לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
* לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
* אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
* בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.