הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "=שאלה 1= צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. א...") |
(←סעיף א) |
||
שורה 20: | שורה 20: | ||
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל | הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל | ||
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>. | <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון.''' | ||
+ | לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש. | ||
+ | |||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים | הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים |
גרסה מ־20:39, 19 באפריל 2012
תוכן עניינים
שאלה 1
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
שאלה 2
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.
א.
ב.
שאלה 3
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:
א.
ב.
שאלה 4
סעיף א
הוכיחו שאם מוגדרת ורציפה בכל , אז עבור כל מתקיים .
פתרון.
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה מתקיים .
לכן, לכל סדרה מתקיים ולכן . באופן דומה מקבלים וקיבלנו את הדרוש.
סעיף ב
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל מתקיים ובכל זאת אינה רציפה בכל .
שאלה 5
הוכיחו שקיימים מספרים כך ש-.
שאלה 6
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה לחשב את עם טעות קטנה מ-.