הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(סעיף א)
(פתרון)
 
(7 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
=שאלה 1=
 
=שאלה 1=
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
+
צטטו והוכיחו את [[משפט לייבניץ]] על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
  
 
=שאלה 2=
 
=שאלה 2=
שורה 8: שורה 8:
  
 
ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>
 
ב.<math>\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}</math>
 +
 +
===פתרון===
 +
 +
א.
 +
 +
<math>\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3</math>
 +
 +
הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.
 +
 +
ב.
 +
 +
אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים '''שונים''' של הסדרה.
  
 
=שאלה 3=
 
=שאלה 3=
שורה 15: שורה 27:
  
 
ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>
 
ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math>
 +
 +
 +
===פתרון===
 +
 +
א.
 +
 +
נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של
 +
 +
::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}</math>
 +
 +
וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.
 +
 +
ב.
 +
 +
<math>\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}</math>
 +
 +
וזה קטן או שווה לטור '''המתכנס''':
 +
 +
::<math>\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}</math>
  
 
=שאלה 4=
 
=שאלה 4=
===סעיף א===
+
 
 +
א.
 +
 
 
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל  
 
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל  
 
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.
 
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>.
  
  
'''פתרון.'''
+
ב.
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.
+
 
+
לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש.
+
  
===סעיף ב===
 
 
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים  
 
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים  
 
<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.
 
<math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>.
 +
 +
 +
===פתרון===
 +
א.
 +
 +
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>.
 +
 +
לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow f(x)</math> וקיבלנו את הדרוש.
 +
 +
ב.
 +
 +
ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.
  
 
=שאלה 5=
 
=שאלה 5=
 
הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.
 
הוכיחו שקיימים <math>\infty</math> מספרים <math>x \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>tan x= x</math>.
 +
 +
===פתרון===
 +
 +
בכל קטע מהצורה <math>(\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1))</math> הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.
 +
 +
הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה <math>h(x)=tan(x)-x</math> מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי [[משפט ערך הביניים]] מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.
  
 
=שאלה 6=
 
=שאלה 6=
 
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.
 
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה <math>ln(\frac{1+x}{1-x})</math> לחשב את <math>ln 2</math> עם טעות קטנה מ-<math>2 \times 10^{-4}</math>.
 +
 +
===פתרון===
 +
.... -_-

גרסה אחרונה מ־08:11, 20 באפריל 2012

שאלה 1

צטטו והוכיחו את משפט לייבניץ על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

שאלה 2

קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. \lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}

ב.\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}

פתרון

א.

\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3

הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.

ב.

אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים שונים של הסדרה.

שאלה 3

קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}}

ב.\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}


פתרון

א.

נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של

\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}

וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.

ב.

\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}

וזה קטן או שווה לטור המתכנס:

\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

שאלה 4

א.

הוכיחו שאם f(x) מוגדרת ורציפה בכל \mathbb{R}, אז עבור כל x \in \mathbb{R} מתקיים \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0.


ב.

הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל x \in \mathbb{R} מתקיים \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 ובכל זאת f(x) אינה רציפה בכל x \in \mathbb{R}.


פתרון

א.

לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה x_n\rightarrow x מתקיים f(x_n)\rightarrow f(x).

לכן, לכל סדרה h_n\rightarrow 0 מתקיים x+h_n\rightarrow x ולכן f(x+h_n)\rightarrow f(x). באופן דומה מקבלים f(x-h_n)\rightarrow f(x) וקיבלנו את הדרוש.

ב.

ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.

שאלה 5

הוכיחו שקיימים \infty מספרים x \in \mathbb{R} כך ש-tan x= x.

פתרון

בכל קטע מהצורה (\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1)) הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.

הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה h(x)=tan(x)-x מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי משפט ערך הביניים מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.

שאלה 6

השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה ln(\frac{1+x}{1-x}) לחשב את ln 2 עם טעות קטנה מ-2 \times 10^{-4}.

פתרון

.... -_-