מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

שאלה 2

קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. \lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}

ב.\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}

שאלה 3

קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}}

ב.\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}

שאלה 4

א.

הוכיחו שאם f(x) מוגדרת ורציפה בכל \mathbb{R}, אז עבור כל x \in \mathbb{R} מתקיים \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0.


ב.

הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל x \in \mathbb{R} מתקיים \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 ובכל זאת f(x) אינה רציפה בכל x \in \mathbb{R}.


פתרון

א.

לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה x_n\rightarrow x מתקיים f(x_n)\rightarrow f(x).

לכן, לכל סדרה h_n\rightarrow 0 מתקיים x+h_n\rightarrow x ולכן f(x+h_n)\rightarrow f(x). באופן דומה מקבלים f(x-h_n)\rightarrow x וקיבלנו את הדרוש.

ב.

ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.

שאלה 5

הוכיחו שקיימים \infty מספרים x \in \mathbb{R} כך ש-tan x= x.

פתרון

בכל קטע מהצורה (\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1)) הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.

הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה h(x)=tan(x)-x מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי משפט ערך הביניים מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.

שאלה 6

השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה ln(\frac{1+x}{1-x}) לחשב את ln 2 עם טעות קטנה מ-2 \times 10^{-4}.