הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"

גרסה מ־09:46, 2 בפברואר 2012

יהי $\sum a_n$ טור חיובי. אזי:

אם

\limsup \sqrt[n]{a_n} >1

הטור מתבדר

אם

\limsup \sqrt[n]{a_n} <1

הטור מתכנס

אם

\limsup \sqrt[n]{a_n} =1

לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

נניח כי $\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1$ . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d

ולכן הטור מתבדר.

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי:
-::אם <math>\limsup a_n >1</math> הטור מתבדר
+::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר
-::אם <math>\limsup a_n <1</math> הטור מתכנס
+::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס
-::אם <math>\limsup a_n =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
+::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
+===הוכחה===
+נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
+::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
+*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1</math>.
+*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>
+*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>
+*לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0</math>
+ולכן הטור מתבדר.