הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים== | ==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים== | ||
שורה 44: | שורה 42: | ||
הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד. | הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד. | ||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־01:07, 15 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה,
- לכן
- אבל הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.