הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"

גרסה אחרונה מ־15:18, 12 בפברואר 2017

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי. אזי:

אם

\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1

הטור מתבדר

אם

\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1

הטור מתכנס

אם

\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1

לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1$ . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, $\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1$ .

לכן $a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}$

לכן $\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty$

לכן בפרט $a_n\not\to0$

ולכן הטור מתבדר.

כעת, נניח כי $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1$ .

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, $\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1$

לכן $a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n$

אבל $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n$ הוא טור הנדסי מתכנס

לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.

הטורים $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
 ==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
-יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי:
+יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:
+:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר
+:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
+:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
+===הוכחה===
+נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
+:<math>\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
+לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> .
+לכן <math>a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}</math>
+לכן <math>\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math>
+לכן בפרט <math>a_n\not\to0</math>
+ולכן הטור מתבדר.
+כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> .
+לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math>
+לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math>
+אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס
+לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
-::אם <math>\limsup a_n >1</math> הטור מתבדר
-::אם <math>\limsup a_n <1</math> הטור מתכנס
+הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.
-::אם <math>\limsup a_n =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
+[[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"

גרסה אחרונה מ־15:18, 12 בפברואר 2017

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים