שינויים
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי: :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה. ===הוכחה===נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון: :<math>\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math> לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> . לכן <math>a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}</math> לכן <math>\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math> לכן בפרט <math>a_n\not\to0</math> ולכן הטור מתבדר. כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> . לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math> לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math> אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
[[קטגוריה::אם <math>\limsup a_n =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.אינפי]]
