[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:
::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר
::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
===הוכחה===
נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
נניח כי :<math>\limsup lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[nn_k]{a_na_{n_k}} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> .
::לכן <math>a_{n_k}>\lim left(\sqrt[n_k]dfrac{a_d+1}{2}\right)^{n_k}}=d</math>
*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}}>=\frac{d-1}{2}>1infty</math>.
*לכן בפרט <math>a_{n_k}>\Big(a_n\frac{d-1}{2}not\Big)^{n_k}to0</math>
*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>ולכן הטור מתבדר.
*לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0</math>
ולכן כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> . לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math> לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math> אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור מתבדרשלנו מתכנס. הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1. [[קטגוריה:אינפי]]
