[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:
::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר
::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
===הוכחה===
נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
נניח כי :<math>\limsup lim\sqrt[n]limits_{a_nk\to\infty} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון: ::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
*לכן החל ממקום מסויים מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\fracdfrac{d+1}{2}>1</math>.
*לכן <math>a_{n_k}>\Bigleft(\fracdfrac{d+1}{2}\Bigright)^{n_k}</math>
*לכן <math>\lim \limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math>
*לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0to0</math>
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> .
כעתלכן החל ממקום מסוים בסדרה, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =<\dfrac{1+d}{2}<1</math>.
*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\fracleft(\dfrac{1-+d}{2}<1\right)^n</math>
*לכן אבל <math>a_n<\Bigdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\Bigright)^n</math>הוא טור הנדסי מתכנס
*אבל <math>\sum \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.
הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.[[קטגוריה:אינפי]]
