הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
שורה 1: שורה 1:
 
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
 
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==
  
יהי <math>\sum a_n</math> טור חיובי. אזי:
+
יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:
  
::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר
+
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר
  
::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס
+
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס
 
+
::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
+
  
 +
:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
  
 
===הוכחה===
 
===הוכחה===
 +
נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
  
נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
+
:<math>\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
  
 +
לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> .
  
::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>
+
לכן <math>a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}</math>
  
*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d+1}{2}>1</math>.
+
לכן <math>\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math>
  
*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d+1}{2}\Big)^{n_k}</math>
+
לכן בפרט <math>a_n\not\to0</math>
 
+
*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>
+
 
+
*לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0</math>
+
  
 
ולכן הטור מתבדר.
 
ולכן הטור מתבדר.
  
  
 +
כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> .
  
כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.
+
לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math>
 
+
*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1+d}{2}<1</math>
+
  
*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math>
+
לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math>
  
*אבל <math>\sum \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס
+
אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס
  
*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
+
לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
  
  
  
הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.
+
הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.
  
 
[[קטגוריה:אינפי]]
 
[[קטגוריה:אינפי]]

גרסה אחרונה מ־15:18, 12 בפברואר 2017

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n טור חיובי. אזי:

אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1 הטור מתבדר
אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1 הטור מתכנס
אם \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1 . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, \sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1 .

לכן a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}

לכן \lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty

לכן בפרט a_n\not\to0

ולכן הטור מתבדר.


כעת, נניח כי \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1 .

לכן החל ממקום מסוים בסדרה, \sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1

לכן a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n

אבל \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n הוא טור הנדסי מתכנס

לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.


הטורים \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.