שינויים

יהי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:

::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר

::אם <math>\limsup \limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס ::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

נניח כי :<math>\limsup lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[nn_k]{a_na_{n_k}} =d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

::לכן <math>a_{n_k}>\lim left(\sqrt[n_k]dfrac{a_d+1}{2}\right)^{n_k}}=d</math>

*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}}>=\frac{d+1}{2}>1infty</math>.

*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d+1}{2}\Big)^{n_k}</math> *לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math> *לכן בפרט <math>a_n\not\rightarrow 0to0</math>

כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.  *לכן החל ממקום מסויים מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\fracdfrac{1+d}{2}<1</math>

*לכן <math>a_n<\Bigleft(\fracdfrac{1+d}{2}\Bigright)^n</math>

*אבל <math>\sum displaystyle\Bigsum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\Bigright)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס

*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.

הטורים <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1},^\suminfty\frac{1}frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחדל-1.