מבחן השורש של קושי

חזרה למשפטים באינפי

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי $\sum a_n$ טור חיובי. אזי:

אם $\limsup \sqrt[n]{a_n} >1$ הטור מתבדר

אם $\limsup \sqrt[n]{a_n} <1$ הטור מתכנס

אם $\limsup \sqrt[n]{a_n} =1$ לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

הוכחה

נניח כי $\limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1$. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

$\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d$

• לכן החל ממקום מסויים בסדרה, $\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1$.

• לכן $a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}$

• לכן $\lim a_{n_k}=\infty$

• לכן בפרט $a_n\not\rightarrow 0$

ולכן הטור מתבדר.