השינוי האחרון נעשה בֹ־2 בפברואר 2012 ב־09:46

מבחן השורש של קושי

גרסה מ־09:46, 2 בפברואר 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (←‏מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים)

חזרה למשפטים באינפי

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי \sum a_n טור חיובי. אזי:

אם \limsup \sqrt[n]{a_n} >1 הטור מתבדר
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} <1 הטור מתכנס
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.


הוכחה

נניח כי \limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:


\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d
  • לכן החל ממקום מסויים בסדרה, \sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1.
  • לכן a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}
  • לכן \lim a_{n_k}=\infty
  • לכן בפרט a_n\not\rightarrow 0

ולכן הטור מתבדר.