מבחן השורש של קושי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים באינפי

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

יהי \sum a_n טור חיובי. אזי:

אם \limsup \sqrt[n]{a_n} >1 הטור מתבדר
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} <1 הטור מתכנס
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.


הוכחה

נניח כי \limsup \sqrt[n]{a_n} =d>1. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:


\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d
  • לכן החל ממקום מסויים בסדרה, \sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d+1}{2}>1.
  • לכן a_{n_k}>\Big(\frac{d+1}{2}\Big)^{n_k}
  • לכן \lim a_{n_k}=\infty
  • לכן בפרט a_n\not\rightarrow 0

ולכן הטור מתבדר.


כעת, נניח כי \limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1.

  • לכן החל ממקום מסויים בסדרה, \sqrt[n]{a_n}<\frac{1+d}{2}<1
  • לכן a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n
  • אבל \sum \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n הוא טור הנדסי מתכנס
  • לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.


הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.