הבדלים בין גרסאות בדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"

גרסה מ־22:07, 27 בינואר 2016

תוכן עניינים

1 אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון

אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי $a\in\R$ , ותהי נקודה $c\ge a$ כך שמתקיים $\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge 0$ .

אזי מתקיים:

$\int\limits_a^\infty g(x)dx$ מתכנס $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad$ מתכנס

$\int\limits_a^\infty f(x)dx$ מתבדר $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad$ מתבדר

דוגמא.

קבע האם $\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx$ מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי $\arctan(x)$ היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

$\forall\ x>1 : \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0$ ולכן $\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0$

$\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac1x dx$ מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי $a\in\R$ , ותהיינה שתי פונקציות $f(x),g(x)$ כך ש: $\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0$

יהי הגבול: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

אזי:

אם $L>0 , L\in\R$ אז $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx$ ו- $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx$ מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם $L=0$ אז $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx$ מתכנס $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad$ מתכנס.

אם $L=\infty$ אז $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx$ מתכנס $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad$ מתכנס.

דוגמאות

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון==
+==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון==
 ===מבחן ההשוואה הראשון===
-יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <math> c\geq a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 </math>.
+יהי <math>a\in\R</math>, ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge 0</math>.
 אזי מתקיים:
-<math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x  \Leftarrow</math> מתכנס
+<math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס
-<math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x  \Leftarrow</math> מתבדר
+<math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתבדר
 <font size=4 color=#a7adcd>
@@ שורה 13: / שורה 13: @@
 </font>
-קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר
+קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר
 '''פתרון.'''
-נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
+נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
-<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
+<math>\forall\ x>1 : \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
-<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
+<math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac1x dx</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
 ===מבחן ההשוואה הגבולי===
+יהי <math>a\in\R</math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math>
-יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
-<math>\forall_{x\geq a}:f(x),g(x)>0</math>
 יהי הגבול:
-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
+<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
 '''אזי:'''
-אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
+אם <math>L>0 , L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
-אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.
-אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.
+אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.
+אם <math>L=\infty</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.
 ===דוגמאות===
 [[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]]

הבדלים בין גרסאות בדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"

גרסה מ־22:07, 27 בינואר 2016

תוכן עניינים

אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

מבחן ההשוואה הגבולי

דוגמאות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים