שינויים

==אינטגרלים לא -אמיתיים מסוג ראשון==

יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' נקודה <math> c\geq ge a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{forall\ x\geq ge c} : g(x)\geq ge f(x)\geq ge 0 </math>.

<math> \int_aint\limits_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x dx</math> מתכנס <math> \int_adisplaystyle\int\limits_a^{\infty} f(x)dx\mathrm{d}x quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס

<math> \int_aint\limits_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x dx</math> מתבדר <math> \int_adisplaystyle\int\limits_a^{\infty} g(x)dx\mathrm{d}x quad \Leftarrow\quad</math> מתבדר

קבע האם <math> \int_1displaystyle\int\limits_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x dx</math> מתכנס או מתבדר

נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

<math> \forall_{forall\ x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{forall\ x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

<math> \int_1int\limits_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}xdx= \frac{\pi}{4} \int_1int\limits_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x dx</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

 יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:<math>\forall_{forall\ x\geq ge a}:f(x),g(x)>0</math>

<math>\lim_lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_adisplaystyle\int\limits_a^\infty f(x)\mathrm{d}xdx</math> ו- <math>\int_adisplaystyle\int\limits_a^\infty g(x)\mathrm{d}xdx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס. אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.