**נציב <math>a</math> ונקבל <math>f(a)=r</math>.
**לכן <math>f(x)=q(x)(x-a)</math> אם ורק אם <math>f(a)=0</math>.
===אידיאלים===
*יהי חוג <math>R</math>. תת קבוצה <math>I\subseteq R</math> נקראת '''אידיאל''' (דו-צדדי) אם:
**<math>I</math> מקיימת את כל התכונות של חוג, פרט אולי לקיום איבר יחידה כפלי.
**לכל <math>r\in R</math> ולכל <math>a\in I</math> מתקיים כי <math>ar,ra\in I</math> (כלומר האידיאל "בולע" איברים בכפל).
*דוגמא:
*<math>k\mathbb{Z}</math> הוא אידיאל של <math>\mathbb{Z}</math>.
*טענה: אם <math>I\subseteq\mathbb{F}[x]</math> הוא אידיאל אזי קיים פולינום <math>g(x)</math> עבורו <math>I=\langle g(x)\rangle=\{f(x)g(x)|f(x)\in\mathbb{F}[x]\}</math>.
*(קוראים לאידיאל כזה הנוצר ממכפלות באיבר אחד - אידיאל ראשי.)
*הוכחה:
**נביט בפולינום <math>g(x)\in I</math> בעל דרגה מינימלית מבין כל הפולינומים השונים מאפס ב<math>I</math>.
**יהי <math>f(x)\in I</math> נבצע חלוקה עם שארית ונקבל <math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**כיוון שמדובר באידיאל גם <math>r(x)=f(x)-q(x)g(x)\in I</math>.
**כיוון ש<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math> אבל הדרגה של <math>g(x)</math> היא מינימלית, נובע כי <math>r(x)=0</math>.
**לכן <math>f(x)=q(x)g(x)</math>.
**כמובן גם שלכל <math>q(x)</math> מתקיים כי <math>q(x)g(x)\in I</math> כיוון שמדובר באידיאל.
