שינויים

**לכל וקטור <math>Hv=0</math> אם ורק אם <math>v</math> הוא מהצורה <math>v=Gx</math>.***הוכחה:***כיוון ראשון:****נוכיח ראשית ש<math>HG=0</math>, ולכן ברור שאם <math>v=Gx</math> אזי <math>Hv=0</math>.****<math>HG=\begin{pmatrix}A & I_{n-k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_k \\ A\end{pmatrix}=A+A=0</math> (זכרו שאנו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>).***בכיוון ההפוך:****נניח כי <math>Hv=0</math> ונסמן <math>v=\begin{pmatrix}x\\u\end{pmatrix}</math> כאשר <math>x\in\mathbb{Z}_2^k</math>.****נוכיח כי <math>Gx=v</math>.****לכל נסמן <math>1\leq i\leq k</math> מתקיים כי <math>\left[Gx=\right]_begin{i1pmatrix}=R_i(I_{k})x=\left[x\right]_{i1}=u'\left[v\right]_end{i1pmatrix}</math> ולכן , צריך להוכיח כי <math>\left[Gx-v\right]_{i1}u=0u'</math>.****לפי ההוכחה של הכיוון הקודם, ברור נתון כי <math>HGxHv=0</math> ולכן ביחד , ומכיוון קודם ידוע כי <math>H(Gx-v)HGx=0</math>.****נסמן את <math>n-k</math> האיברים האחרונים של ולכן ביחד <math>H(Gx-v</math> ב<math>u</math> ונוכיח כי <math>u)=0</math>.****כיוון ש<math>k</math> האיברים הראשונים של <math>Gx-v</math> הם אפס, נקבל כי לכן <math>0=R_i(H(Gx-v))=R_i(A)H\cdot begin{pmatrix}0 + R_i(\\u'-u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & I_{n-k})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\u'-u\end{pmatrix}=[u]_i'-u</math>.****סה"כ הוכחנו כי <math>Gx=v</math>.