שינויים
/* הרצאה 2 חבורות ותת חבורות; פרקים 3,4 מהספר */
*תכונת הצמצום: תהי חבורה G, אזי לכל <math>a,b,c\in G</math> אם <math>ab=ac</math> אזי <math>b=c</math>.
**הוכחה: נכפול באיבר ההופכי <math>a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)</math> ונשתמש באסוציאטיביות ובאיבר הנייטרלי.
*יחידות האיבר ההופכי: נובע מתכונת הצמצום שלכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי יחיד.
**הוכחה: אם <math>ab=ac=e_G</math> אזי <math>b=c</math>.
*הוכחת הקריטריון המקוצר:
*כיוון בכיוון ראשוןנניח כי H תת חבורה:
**נוכיח כי <math>e_G\in H</math>.
***נניח H תת חבורה, לכן קיים בה איבר נייטרלי <math>e_H</math>.
***כיוון שמדובר באיבר נייטרלי בH מתקיים כי <math>e_H\cdot e_H=e_H</math>.
***מצד שני ברור ש<math>e_H\cdot e_G=e_H</math>.
***לכן <math>e_H\cdot e_H=e_H\cdot e_G</math>לפי ולפי תכונת הצמצום נובע ש<math>e_H=e_G</math>.
**נוכיח כי לכל שני איברים <math>a,b\in H</math> מתקיים כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***שוב לפי תכונת הצמצום נובע כי <math>b^{-1}=c\in H</math>.
***לפי הסגירות של H נובע כי <math>ab^{-1}\in H</math>.
*בכיוון השני, נוכיח כי H תת חבורה:
**סגירות:
***יהיו <math>a,b\in H</math>.
***ידוע כי <math>e_G\in H</math>, לכן <math>e_G\cdot b^{-1}\in H</math>, כלומר <math>b^{-1}\in H</math>.
***לכן <math>a\cdot \left(b^{-1}\right)^{-1}\in H</math> כלומר <math>a\cdot b \in H</math>.
**אסוציאטיביות:
***נתון כי הפעולה אסוציאטיבית, הרי זו הפעולה של G וG חבורה.
**איבר נייטרלי:
***נתון כי <math>e_G\in H</math>.
**איברים הופכיים:
***יהי <math>a\in H</math>.
***לכן <math>a^{-1}=e_G\cdot a^{-1}\in H</math> בדומה להוכחת הסגירות.
