שינויים
/* הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מהספר */
==הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==
===הומומורפיזם, איזומורפיזם===
*הגדרה: תהיינה שתי חבורות G,H ותהי פונקציה <math>f:G\to H</math>. אזי f נקראת '''הומומורפיזם''' אם לכל <math>a,b\in G</math> מתקיים <math>f(a\cdot_G b)=f(a)\cdot_H f(b)</math>.
*שימו לב ש <math>\cdot_G</math> היא הפעולה של G, ו<math>\cdot_H</math> היא הפעולה של H.
*הומומורפיזם שהוא פונקציה חח"ע ועל נקרא איזומורפיזם.
*הומומורפיזם שומר במובן מסויים על המבנה של החבורה, ואיזומורפיזם מראה שהחבורות הן 'אותה גברת בשינוי אדרת'.
*דוגמא:
**אם <math>f:G\to H</math> הומומורפיזם אזי <math>f(e_G)=e_H</math>.
***הוכחה:
***<math>f(e_G)=f(e_G\cdot e_G)=f(e_G)\cdot f(e_G)</math>.
***לפי תכונת הצמצום <math>f(e_G)=e_H</math>.
**אם f הומומופיזם אזי <math>o(f(a))\leq o(a)</math>.
***אם <math>o(a)=n</math> אזי <math>a^n=e_G</math>.
***לכן <math>f(a^n)=\left(f(a)\right)^n=e_H</math>.
***לכן <math>o(f(a))\leq n=o(a)</math>.
**אם f איזומורפיזם אזי <math>o(f(a))= o(a)</math>.
*הומומורפיזמים, איזומורפיזמים.
*תמונה של הומומורפיזם היא תת חבורה.
===משפט קיילי===
*משפט קיילי- כל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורת תמורות.
===משפט לגראנג'===
*תת חבורה מחלקת חבורה למחלקות שקילות (קוסטים) שוות בגודלן לגודל תת החבורה.
*אינדקס תת החבורה הוא מספר מחלקות השקילות שהיא מייצרת בחבורה, וזה בדיוק גודל החבורה חלקי גודל תת החבורה (משפט לגראנג').
<videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>
==הרצאה 5 חבורת אוילר, משפטי אוילר ופרמה; פרק 6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
