שינויים

*תת תהי חבורה מחלקת G ותת חבורה למחלקות שקילות H. יהי <math>a\in G</math>, נגדיר את '''המחלקה''' <math>a\cdot H:=\{a+h:h\in H\}</math>.*טענה: לכל שני איברים <math>a,b\in G</math> מתקיים כי <math>a\cdot H=b\cdot H</math> או <math>(קוסטיםa\cdot H) שוות בגודלן לגודל תת החבורה\cap (b\cdot H)=\varnothing</math>.*אינדקס תת החבורה הוא מספר מחלקות השקילות *הוכחה:**יהי <math>c\in (a\cdot H)\cap (b\cdot H)</math>, לכן <math>c=a\cdot h_1=b\cdot h_2</math> ולכן <math>a=b\cdot h_2\cdot h_1^{-1}</math>**יהי <math>a\cdot h_3\in a\cdot H</math> לכן <math>a\cdot h_3 =b\cdot h_2\cdot h_1^{-1}\cdot h_3\in b\cdot H </math>.**באופן דומה מוכיחים את ההכלה בכיוון ההפוך, וסה"כ הוכחנו כי <math>a\cdot H=b\cdot H</math>.*טענה: לכל איבר <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>|a\cdot H|=|H|</math>.**הוכחה: **נביט בפונקציה <math>f:H\to a\cdot H</math> המוגדרת ע"י <math>f(h)=a\cdot h</math> ונוכיח שהיא מייצרת בחבורהחח"ע ועל.**חח"ע: אם <math>f(h_1)=f(h_2)</math> אזי <math>a\cdot h_1=a\cdot h_2</math> ולפי תכונת הצמצום <math>h_1=h_2</math>.**על: יהי <math>a\cdot h\in a\cdot H</math>, וזה בדיוק גודל החבורה חלקי גודל תת החבורה ברור ש<math>f(h)=a\cdot h</math>.  *הגדרה: האינדקס <math>[G:H]</math> מוגדר להיות מספר המחלקות השונות ש<math>H</math> מגדירה.*כיוון שראינו שהמחלקות הן בעצם מחלקות שקילות שוות בגודלן המחלקות את G, נובע '''משפט לגראנג')''':עבור חבורות סופיות, <math>|G|=|H|\cdot [G:H]</math>.*בחבורה סופית, לכל איבר יש נובע כי הגודל (סדר סופי ותת ) של כל תת חבורה צקלית בגודל , מחלק את הגודל (סדר האיבר) של החבורה כולה. לכן סדר כל *יהי <math>a\in G</math> איבר מסדר <math>n</math>. ראינו כי <math>|<a>|=n</math>, ולכן ביחד סדר האיבר מחלק את גודל החבורה.*תהי חבורה מגודל סופית עם מספר ראשוני חייבת להיות של איברים, אזי היא חבורה ציקלית. **אכן, וכל ניקח איבר פרט לאיבר היחידה יוצר אותהשונה מהנייטרלי, הסדר שלו חייב להיות המספר הראשוני (כי לראשוני אין מחלקים), ולכן החבורה הציקלית שלו שווה לכל החבורה.