שינויים

*טענה: לכל שני איברים אלה הן למעשה מחלקות השקילות של היחס <math>aRb\iff a,^{-1}b\in G</math> מתקיים כי <math>a\cdot H=b\cdot H</math> או <math>(a\cdot H)\cap (b\cdot H)=\varnothing</math>.**הוכחהשמדובר ביחס שקילות:**יהי *רפלקסיביות: <math>c\in (a^{-1}a=e\cdot in H)\cap (b\cdot H)</math>, לכן ***סימטריות: אם <math>c=a\cdot h_1=^{-1}b\cdot h_2in H</math> ולכן אזי גם ההופכי שלו <math>(a^{-1}b)^{-1}=b\cdot h_2\cdot h_1^{-1}a\in H</math>**יהי *טרנזיטיביות: נניח <math>a\cdot h_3^{-1}b,b^{-1}c\in a\cdot H</math> לכן אזי לפי סגירות גם <math>a\cdot h_3 ^{-1}bb^{-1}c=b\cdot h_2\cdot h_1a^{-1}\cdot h_3c\in b\cdot H </math>.**באופן דומה מוכיחים את ההכלה בכיוון ההפוך, וסה"כ הוכחנו כי אכן <math>[a]_R=\cdot {b|aRb\}=\{b|a^{-1}b=h\in H\}=\{b|b=ah,h\in H\}=a\cdot H</math>.