שינויים
/* קידוד פולינומי ציקלי */
**הוכחה:
***אכן <math>x\cdot f(x)= a_{n-1}x^n+...+a_0x=a_{n-1}(x^n-1) + a_{n-1} + a_{n-2}x^{n-1}+...+a_0x</math>
***<math>x^n-1=h(x)g(x)+r(x)</math>
***שימו לב ש<math>h(x)g(x)\not\in I</math> כיוון ש<math>\deg(h)=k</math>.
***נסמן <math>h(x)=x^k+t(x)</math> ולכן <math>h(x)g(x)=x^kg(x)+t(x)g(x)</math>.
***כעת <math>x^kg(x) = x\cdot x^{k-1}g(x)</math>.
***נחשב את השארית מודולו <math>x^n-1</math> ונקבל ההזזה ציקלית של המילה החוקית <math>x^{k-1}g(x)</math>.
***כיוון שהקוד ציקלי, גם המילה המוזזת הינה חוקית, ולכן <math>x^kg(x)\equiv q(x)g(x) \mod x^n-1</math>.
***נחזור לחלוקה בשארית המקורית, נחשב את השאריות מודולו <math>x^n-1</math> ונקבל:
****<math>0=q(x)g(x)+t(x)g(x)+r(x)</math>
****<math>r(x)=(q(x)+t(x))g(x)</math>
***כיוון ש <math>\deg(r)<\deg(g)</math> נובע כי <math>r(x)=0</math>.
**בכיוון השני, נניח כי <math>x^n-1=t(x)g(x)</math> ונוכיח כי מדובר בקוד ציקלי.
***נוכיח כי לכל מילה חוקית <math>h(x)g(x)\in I</math> גם השארית <math>xh(x)g(x)\in Imod x^n-1</math> היא מילה חוקית.***נבצע חלוקה עם שארית של <math>x\cdot h(x)</math> כאשר הכפל האחרון נעשה ב<math>Rt(x)</math>.***נבצע חלוקה עם שארית <math>xh(x)=q(x)t(x)+r(x)</math> בחוג הפולינומים הרגיל***כיוון ש<math>\deg(t)=k</math>, מתקיים כי <math>\deg(r)<k</math>, ולכן <math>r(x)g(x)\in I</math>.
***נכפול את שני הצדדים ב<math>g(x)</math> ונקבל <math>xh(x)g(x)=q(x)(x^n-1)+r(x)g(x)</math>.
***לכן ב<math>R</math> מתקיים כי אכן השארית של <math>xh(x)g(x)=r(x)g(x)</math>, ואכן מודולו <math>r(x)g(x)\in I</math>, כיוון ש<math>\deg(r(x)g(x))<^n-1</math>היא מילה חוקית.
