שינויים
/* הרצאה 3 חבורת תמורות, סימן התמורה; פרק 5 מהספר */
[[89-214 תשעח סמסטר א|חזרה לדף הקורסקטגוריה:מערכי לימוד]]
=ספר הקורס=
*[[מדיה:17ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:17ASTestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:18ASTestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestASol.pdf|פתרון מועד א' תשע"ט]]
*[[מדיה:19ASTestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]]
**[[מדיה:18ASTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
=נושאי ההרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hka_9hBlLKybpwG_5_T7FaY פלייליסט של הרצאות קבוצה 01 תשפ"א]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hlVTrX-RcrpYiTMyQBmIihV פלייליסט של הרצאות קבוצה 02 תשפ"א]
==הרצאה 1 הקדמה; הסבר על קידוד והצפנה, מבוא למבנים אלגבריים ==
**כיוון שg חח"ע ועל,אוסף הזוגות <math>i\neq j</math> שווה לאוסף הזוגות <math>g(i),g(j)</math>, ולכן <math>\Pi_{i\neq j}\frac{x_{f(g(i))}-x_{f(g(j))}}{x_{g(i)}-x_{g(j)}}=\mathrm{sign}(f)</math>.
**סה"כ קיבלנו <math>\mathrm{sign}(f\circ g)=\mathrm{sign}(f)\cdot\mathrm{sign}(g)</math>.
<videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash>
**<math>f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\4&2&5&3&1&7&6\end{pmatrix}=(1\ 4\ 3\ 5)(6\ 7)</math>.
**לכן <math>\mathrm{sign}(f)=(-1)\cdot(-1)=1</math>, כלומר מדובר בתמורה זוגית.
<videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash>
==הרצאה 4 הומומורפיזמים, איזומורפיזמים, משפט קיילי, משפט לגראנג'; פרקים 9 ו6 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר] ==
===משפט לגראנג'===
*תהי חבורה G ותת חבורה H. יהי <math>a\in G</math>, נגדיר את '''המחלקה''' <math>a\cdot H:=\{a+\cdot h:h\in H\}</math>.
*אלה הן למעשה מחלקות השקילות של היחס <math>aRb\iff a^{-1}b\in H</math>
**הוכחה שמדובר ביחס שקילות:
*טענה: אם <math>p</math> ראשוני, ו<math>x\in U_p</math> איבר כך ש <math>x^2=1</math> אזי <math>x=\pm 1</math>
*הוכחה:
**נזכור ש<math>U_p\mathbb{Z}_p</math> הוא '''שדה''' כיוון שמדובר במספר ראשוני, ולכן אין בו ב<math>U_p=\mathbb{Z}/\{0\}</math> מחלקי אפס.
**<math>x^2=1</math> אם"ם <math>(x-1)(x+1)=0</math> אם"ם <math>x=\pm 1</math>
***<math>a^{2^kr}\equiv n-1 \mod n</math> עבור <math>1\leq k \leq s-1</math>.
*שימו לב- : <math>n-1\equiv -1 \mod n</math>
*אליס ובוב מתאמים מספר ראשוני גדול <math>p</math> שאינו סודי כמובן.
*כמו כן הם מתאמים יוצר <math>g</math> של <math>U_p</math> (כלומר <math>U_p=<g></math>), או לפחות איבר מסדר מאד גדול(בהמשך יש הסבר כיצד אפשר לעשות זאת).
*כעת אליס בוחרת מספר אקראי סודי <math>a\leq p-1</math> ושולחת לבוב את <math>g^a \mod p</math>.
*בוב בוחר מספר אקראי סודי <math>b\leq p-1</math> ושולח לאליס את <math>g^b \mod p</math>.
**נבחר את p להיות מספר ראשוני "בטוח", כלומר <math>p=2q+1</math> כאשר <math>q</math> ראשוני.
**כעת ב<math>|U_p|=2q</math> ולכן הסדר של כל איבר ב<math>U_p</math> הוא אחד מבין <math>1,2,q,2q</math>.
**נגריל איבר <math>g\neq \pm 1</math> כך ש(לכן <math>g^2\not\equiv 1 \mod p</math> ) וגם <math>g^q\not\equiv 1 \mod p</math>.
**האיבר שבחרנו הוא יוצר.
*סיפרנו על אליס שייצרה מפתח פומבי <math>(n,e)</math>, ושמרה לעצמה את הערכים הסודיים <math>m,d</math>
*כעת בוב שרוצה לשלוח לה מידע ולהבטיח אליס רוצה להבטיח את זהותו זהותה ואת אמינות המידע, מייצר באופן דומה מפתח פומבי <math>(n',e')</math> ושומר ערכים סודיים <math>m',d'</math>*בוב מעביר היא מעבירה את המידע שלו שלה דרך פונקצית גיבוב ומקבל ומקבלת את הערך המגובב <math>a</math>.*בוב מחשב אליס מחשבת את <math>y=a^{d'} \mod n'</math> ושולח לאליס ושולחת אותו בנוסף למידע.*אפילו בהנתן <math>a</math> לא ניתן לחשב את <math>d'</math> (זו בעיית הלוגריתם הדיסקרטי).*אף אחד אחר לא יכול לחשב את y כיוון ש <math>d'</math> סודי.
*כעת אליס מחשבת בוב שרוצה לוודא את אמינות המידע מחשב את <math>a=y^{e'} \mod n'</math> ומוודאת ומוודא כי המידע שהיא קיבלה שהוא קיבל הוא המידע שבוב התכוון שאליס התכוונה לשלוח עד כדי המקרה הבלתי סביר של התנגשות.*אף אחד אחר לא יכל ליצור את הוכחת אמינות המידע הזו פרט לבובלאליס.
**<math>x^{41}=\left(\left(\left(\left(x^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\cdot \left(\left(x^2\right)^2\right)^2 \cdot x</math>
**סה"כ חישבנו את החזקה עם 8 העלאות בריבוע, ושלוש הכפלות, במקום 40 הכפלות.
==הרצאה 8 תת חבורות נורמליות, חבורות מנה, גרעין; פרקים 10,11 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
