שינויים

*יהי הומומורפיזם בין חבורות <math>\varphif:G\to H</math>. נגדיר את '''הגרעין''' <math>\ker(\varphif)=\{a\in G|\varphif(a)=e_H\}</math>.*הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>.*הוכחה - נסמן <math>K=\ker(\varphif)</math>*טענה:**ראשית עלינו להוכיח שמדובר בתת-חבורה: אכן לכל <math>e_Ga\in KG</math> ואם מתקיים כי <math>a,baK=\in K</math> אז <math>left\varphi(ab^{-1})=b\varphiin G|f(a)\left(\varphi=f(b)\right)^{-1\}=e_H</math>.*הוכחה:*כעת *בכיוון ראשון, יהי <math>aak\in GaK</math> עלינו להוכיח כי אזי <math>aKf(ak)=Kaf(a)f(k)=f(a)e_H=f(a)</math>. נעשה הכלה בכיוון אחד, הכיוון השני דומה.**בכיוון שני, יהי <math>akb\in aK</math> רוצים למצוא <math>m\in KG</math> כך ש <math>akf(a)=maf(b)</math>. **לכן עלינו לבחור אזי <math>m=akaf(ba^{-1})=e_H</math>, נותר להוכיח שאכן ולכן <math>mba^{-1}=k\in K</math>.**אכן ולכן <math>\varphi(m)b=ak\varphi(aka^{-1})=\varphi(a)e_H\left(\varphi(a)\right)^{-1}=e_Hin aK</math>.