הדגמה *דוגמא.*נגדיר את הפונקציה <math>\varphi:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_n</math> על ידי חבורת <math>\varphi(a)=a\mod n</math> (השארית של החלוקה של a בn).*נוכיח שמדובר בהומומורפיזם. **יהיו <math>a,b\in\mathbb{Z}</math> לפי ההגדרה <math>\varphi(ab)\equiv ab \mod n</math>.**הוכחנו בעבר ש <math>ab \equiv \varphi(a)\varphi(b)\mod n</math>.**לכן נובע כי <math>\varphi(ab)\equiv \varphi(a)\varphi(b)\mod n</math> וכיוון שאנו ב<math>\mathbb{Z}_n</math> זה אומר ש<math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>.*קל לראות כי <math>\ker(\varphi)=n\mathbb{Z}=\{nk|k\in\mathbb{z}\}</math>.*לכן <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n</math> *שאלה - האם בחיבור <math>1+7+5+8</math> ב<math>\mathbb{Z}_9</math> חשוב לבצע את פעולת המודולובכל חיבור, או שמותר בסוף?*<math>\mathbb{Z}_9</math> איזומורפית לחבורה <math>\{0+9\mathbb{Z},...,8+9\mathbb{Z}\}</math>*נביט ב <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})</math>*הוכחנו כי <math>(aN)(bN)=abN</math>. לכן <math>(1+9\mathbb{Z})+(7+9\mathbb{Z})+(5+9\mathbb{Z})+(8+9\mathbb{Z})=21+9\mathbb{Z}</math>.*כיוון ש <math>\varphi(21)=\varphi(3)</math>, נובע לפי הוכחת משפט האיזומורפיזם הראשון כי <math>21+9\mathbb{Z}=3+9\mathbb{Z}</math>, כלומר אכן מותר להפעיל לעשות את המודולו בכל שלב שנרצהבסוף.
===הרצאה 10 קידוד; פרק 8 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]===
