שינויים
ההרצאות מבוססות באופן כללי על הספר [http://abstract.ups.edu/aata/ Abstarct Algebra - Theory and Applications by Thomas W. Judson]
*קידוד הוא שיטה להעברת מידע ובין היתר מטרתו היא להבטיח את נכונות המידע ולזהות (ולתקן) שגיאות.
*תזכורת לגבי חבורות, תכונת הצמצום.
*הגדרת סימן של תמורה לפי חלוקת פולינומים, הוכחת כפליות הסימן.
*הומומורפיזמים, איזומורפיזמים.
*זוג מספרים שלמים <math>a,b</math> נקראים שקולים מודולו n אם קיים שלם <math>q</math> כך ש <math>a=b+q\cdot n</math>
*חלוקה עם שארית: לכל מספר טבעי a ולכל מספר שלם b קיים זוג שלמים '''יחיד''' <math>q,r</math> כך ש <math>b=q\cdot a+r</math> וגם <math>0\leq r < a</math>.
*הצפנה; העברת מידע בערוץ פומבי כך שרק המשתתפים בהצפנה יוכלו להבין אותו, הוכחה לזהות כותב המידע (בין היתר כותב המידע לא יוכל להתנער ממנו), הוכחה לאמינות המידע (המידע אינו חלקי ואף אחד לא שינה אותו).
**אורך המידע (בהנחה שהוא אינו מרופד באפסים).
*אליס בוחרת שני ראשוניים גדולים <math>\{p,q\}</math> זה הסוד שלה.
*אליס מחשבת את המכפלה <math>n=p\cdot q</math>
*חלק מהותי בשיטות שאנו לומדים הוא מציאת ראשוניים גדולים. כיצד הדבר נעשה? האם יש רשימה גדולה של כל הראשוניים בעולם?
*ידוע שכמות הראשוניים עד המספר <math>n</math> היא בערך <math>\frac{n}{\ln(n)}</math>.
*אם נבחן k מספרים אקראיים שונים, הסיכוי שכולם יהיו עדים חזקים אך המספר אינו ראשוני הוא <math>\frac{1}{4^k}</math> (נמוך מאד).
*למדנו שבעזרת RSA ניתן להעביר פיסת מידע באופן בטוח בערוץ פומבי, ולרוב נרצה להעביר מפתח סודי לצורך הצפנה סימטרית.
*אלגוריתם דיפי-הלמן הוא שיטה לתיאום מפתח סודי בלבד ולא להעברת מידע.
**האיבר שבחרנו הוא יוצר.
*פונקציות גיבוב (hash) - מעבירות קלט בגודל אקראי לקלט באורך קבוע.
*שימו לב שעל מנת למנוע תקיפת 'אדם באמצע' באמצעות חתימה המפתחות הפומביים צריכים להיות מאומתים על פני ערוץ מאובטח (מקודדים בתוך הדפדפן למשל).
*[http://abstract.ups.edu/aata/section-method-of-repeated-squares.html שיטת הריבועים החוזרים] לחישוב חזקה.
*לדוגמא, אנו מעוניינים לחשב את <math>x^{41} \mod n</math> במעט פעולות
*תהי חבורה G ותהי תת חבורה N. תת החבורה N נקראת '''נורמלית''' אם לכל <math>a\in G</math> מתקיים כי <math>aN=Na</math>.
*'''משפט האיזומורפיזם הראשון'''. יהי <math>\varphi:G\to H</math> איזומורפיזם בין חבורות. אזי <math>G/\ker(\varphi)\cong im(\varphi) </math>
*הוכחה:
*כיוון ש <math>\varphi(21)=\varphi(3)</math>, נובע לפי הוכחת משפט האיזומורפיזם הראשון כי <math>21+9\mathbb{Z}=3+9\mathbb{Z}</math>, כלומר אכן מותר לעשות את המודולו בסוף.
*קוד ISBN בעל 10 ספרות, כאשר הספרה האחרונה היא ספרת ביקורת.
*הספרות שייכות לחבורה <math>\mathbb{Z}_{11}</math>, כאשר 9 הספרות הראשונות הן 0-9 והאחרונה יכולה להיות גם X.
*תעודת זהות בישראל.
*עבור ספרת הביקורת של תעודת הזהות אנו לא מרשים שימוש בספרה X ולכן עובדים ב<math>\mathbb{Z}_{10}</math>.
*המידע שאנו מעוניים לשלוח הוא וקטור של ביטים <math>\mathbb{Z}_2^k</math>.
*נכפיל את המידע במטריצה הבינארית <math>G=\begin{pmatrix} I_k \\ A\end{pmatrix}</math> ונקבל קוד ב<math>\mathbb{Z}_2^n</math>.
*עד כה הראנו שיש לנו דרך לקודד מידע ולוודא שהמידע שהגיע הוא קוד תקין.
חלוקה עם שארית, אידיאלים, כל אידיאל הוא אידיאל ראשי.
השדה הבינארי, קודים פולינומיים.
CRC בשימוש פרוטוקול Ethernet.
