שינויים
/* הרצאה 12 חוג הפולינומים; פרקים 16,17 מהספר */
==הרצאה 12 חוג הפולינומים; פרקים 16,17 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
*תזכורת: חוג הוא קבוצה <math>R</math> עם פעולות חיבור וכפל, כך שהוא חבורה חילופית ביחד לחיבור, מקיים אסוציאטיביות בכפל, מכיל איבר יחידה ואת חוק הפילוג.
*יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה, אזי <math>\mathbb{F}[x]</math> הוא חוג הפולינומים עם פעולות כפל וחיבור רגילות.
**כלומר <math>\mathbb{F}[x]=\{a_nx^n+...+a_1x+a_0|n\in\mathbb{N},a_i\in\mathbb{F}\}</math>.
*עבור פולינום <math>a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> כאשר <math>a_n\neq 0</math> אומרים ש'''הדרגה''' שלו היא <math>n</math>.
*עבור פולינום האפס אפשר להגיד שדרגתו היא <math>-1</math>.
*טענה: יהיו שני פולינומים <math>f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]</math> כך ש<math>g(x)</math> אינו פולינום האפס, אזי קיימים פולינומים יחידים <math>q(x),r(x)</math> כך ש:
**<math>f(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**<math>\deg(r(x))<\deg(g(x))</math>.
*הוכחה:
*קיום:
**יהי <math>g(x)</math> כזה.
**אם <math>\deg(f)<\deg(g)</math> אזי <math>f=0\cdot g + f</math>.
**אם <math>\deg(f)\geq\deg(g)</math> נוכיח באינדוקציה על הדרגה של <math>f</math>.
**נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math>, <math>g(x)=b_mx_m+...+b_0</math> כאשר נתון <math>n\geq m</math>.
**הפולינום <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)</math> הוא מדרגה קטנה ממש מ<math>n</math> ולכן מקיים את הטענה לפי הנחת האינדוקציה.
**לכן <math>f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x)=q(x)g(x)+r(x)</math>.
**לכן <math>f(x)=(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}+q(x))g(x)+r(x)</math>.
*יחידות:
**נניח <math>f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)</math>.
**לכן <math>(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_1(x)-r_2(x)</math>.
**אבל <math>\deg(r_1(x)-r_2(x))<\deg(g(x))</math> ולכן <math>q_1(x)-q_2(x)=0</math> ולכן גם <math>r_1(x)-r_2(x)=0</math>.
חלוקה עם שארית, אידיאלים, כל אידיאל הוא אידיאל ראשי.
==הרצאה 13 קודים ציקליים; פרק 22 מ[http://abstract.ups.edu/aata/ הספר]==
