שינויים
/* הרצאה 13 - משוואת אוילר */
*משוואת אוילר הומוגנית היא משוואה מהצורה:
**<math>a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math>
*על מנת לפתור נסמן את פונקצית האקפוננט <math>\exp(t)=e^t</math>*נפתור את המד"ר עבור ל<math>x>0</math> *נגדיר <math>u=y\circ \exp</math> כלומר <math>u(t)=y(e^t)</math>.
*נקבל כי
**<math>u'(t)=e^ty'(e^t)</math>
**<math>u'''(t)=e^{3t}y'''(e^t) + 2e^{2t}y''(e^t)+u''(t) = e^{3t}y'''(e^t)+2(u''(t)-u'(t))+u''(t)</math>
**באופן כללי ניתן להוכיח באינדוקציה כי <math>u^{(m)}(t)=e^{mt}y^{(m)}(e^t)+\sum_{k=1}^{m-1} b_ku^{(k)}(t)</math> עבור קבועים כלשהם.
*נסמן את האופרטור המתאים למד"ר:
**<math>H=a_n x^n D^n +...+a_0 I</math>
**לכן <math>Hy\circ\exp (t)=a_n e^{nt}y^{(n)}(e^t)+...+a_0y(e^t)</math>
*לכן אם נציב <math>x=e^t</math> במד"ר נקבל כי <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math> עבור קבועים כלשהם, זו מד"ר שאנחנו יודעים לפתור.
*אנחנו רוצים למצוא בקלות את הפתרונות של המשוואה האופיינית, בלי למצוא ישירות את הסקלרים.
