==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית ומד"ר לינאריות מסדר ראשון==
===מד"ר הומוגנית===
*פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל <math>\lambda\neq 0</math> מתקיים כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
*לדוגמא <math>f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 1.
*טענה: פונקציה <math>f(x,y)</math> היא מהצורה <math>\varphi(\frac{y}{x})</math> לכל <math>x\neq 0</math> אם"ם היא הומוגנית מסדר <math>0</math> לכל <math>x\neq 0</math>.
*הוכחה:
**אם <math>f(x,y)=\varphi(\frac{y}{x})</math> אזי לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\varphi(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphi(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)</math>.
**אם <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>, נציב <math>\lambda=\frac{1}{x}</math> ונקבל כי <math>f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphi(\frac{y}{x})</math>.
*מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית) היא משוואה מהצורה <math>y'=f(x,y)</math> כאשר <math>f(x,y)</math> הומוגנית מסדר <math>0</math>.
*נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה <math>z=\frac{y}{x}</math> באופן הבא: