שינויים
/* הרצאה 2 מד"ר הומוגנית ומד"ר לינאריות מסדר ראשון */
**<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math>
**<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math>
===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
*מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+p(x)\cdot y=0</math>.
*נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
*נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+p(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''.
*נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-p(x)dx</math>.
*נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-\int p(x)dx +C</math>.
*ולכן <math>y=C\cdot e^{-\int p(x)dx}</math>
*כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
*נציב במקום המקדם הקבוע <math>C</math> פונקציה <math>C(x)</math>, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
*כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה <math>C(x)</math> כך שהמשוואה תתקיים.
*כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}</math> במשוואה <math>y'+p(x)y=q(x)</math>.
*נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}-p(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} + p(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x)</math>
*משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x)</math>.
*כלומר <math>C'(x)=q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}</math>.
*לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right]dx+C</math>
*סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+p(x)\cdot y=q(x)</math> הוא:
<math>e^{-\int p(x)dx}\cdot\left(\int\left(q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right)+C\right)</math>
*דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>:
