שינויים

*מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה <math>U_x(x,y)dx+U_y(x,y)dy=0</math>, עבור <math>U(x,y)</math> דיפרנציאבילית.

**ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת: <math>P_y=Q_x=6</math>.**נבצע אינטגרציה <math>U=\int Pdx +c(y)= x^2+6xy +c(y)</math>.**נגזור לפי y ונקבל כי <math>Q=U_y=6x+c'(y)</math>.**לכן <math>c'(y)=Q-6x=3y^2</math>.**לכן <math>c(y)=y^3</math> וסה"כ <math>U(x,y)=x^2+6xy+y^3</math>.**לכן הפתרון למד"ר הוא <math>x^2+6xy+y^3=C</math>.  ====גורם אינטגרציה==== *לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה '''גורם אינטגרציה''') וכך נהפוך אותה למדוייקת.  *דוגמא - המשוואה <math>y'=ry</math>.**המשוואה הינה <math>-rydx+dy=0</math>.**<math>P_y=-r\neq 0=Q_x</math>**נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה <math>\mu(x,y)=e^{-rx}</math>.**<math>-re^{-rx}ydx+e^{-rx}dy=0</math>.**כעת <math>P_y=-re^{-rx}=Q_x</math>.**<math>U(x,y)=\int Pdx +c(y) = e^{-rx}y+c(y)</math>**<math>Q=U_y=e^{-rx}+c'(y)</math>.**לכן <math>c'(y)=0</math> ואפשר לבחור <math>c(y)=0</math>.**סה"כ <math>U(x,y)=e^{-rx}y=C</math>.**(כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)