**נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל<math>\varphi_n(x)\to y(x)=y_0e^{-r(x-x_0)}</math>
**אם נתון תנאי ההתחלה <math>y(0)=C</math> נקבל בדיוק את הפתרון <math>y=Ce^{-rx}</math>.
===ניסוח משפט הקיום והיחידות===
*תהי <math>f(x,y)</math> רציפה ובעלת נגזרת <math>f_y</math> במלבן הסגור <math>|x-x_0|\leq a, |y-y_0|\leq b</math>.
*נביט בבעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math>, עם תנאי ההתחלה <math>y(x_0)=y_0</math>
*נבחר <math>M</math> חסם כך ש <math>|f(x,y)|<M</math> במלבן הנתון, ונסמן <math>a'=\min\{a,\frac{b}{M}\}</math>.
*אזי '''קיים''' פתרון '''יחיד''' <math>y(x)</math> לבעיית הקושי בתחום <math>|x-x_0|\leq a'</math>.
*הערות:
*שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
**אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים.
**לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
*שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
*מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.
==הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות==