שינויים
/* הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות */
==הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות==
===המשוואה האינטגרלית===
*בעיית הקושי <math>y'=f(x,y)</math> עם <math>y(x_0)=y_0</math> שקולה למשוואה <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
===הוכחה===
*נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון יחיד לבעיית הקושי.
*ראשית נשים לב לתכונה הבאה:
**כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
**לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math>
*נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן <math>|x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b</math> שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של <math>f</math>.
**ראשית <math>\varphi_0=y_0</math> כמובן בתוך המלבן.
**כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0</math>
