שינויים
/* הוכחה */
**כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>.
**לכן <math>|\varphi_{n+1}-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b</math>.
*הערה: בהוכחות הבאות נוכיח עבור <math>x\geq x_0</math> ההוכחות עבור <math>x<x_0</math> דומות.
**ראשית, נשים לב כי <math>\varphi_n-y_0=\varphi_n-\varphi_0=\varphi_n-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-1}-\varphi_{n-2}+...+\varphi_1-\varphi_0</math>.
**לכן עלינו להוכיח כי הטור <math>\sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)</math> מתכנס כאשר <math>n\to\infty</math>.
**ראשית, <math>|\varphi_1-\varphi_0|=|y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)dt-y_0|\leq M|(x-x_0|)</math>**כעת <math>|\varphi_2-\varphi_1|\leq\int_{x_0}^x|f(t,\varphi_1)-f(t,\varphi_0)|dt\leq \int_{x_0}^xK|\varphi_1-\varphi_0|dt\leq KM\frac{|(x-x_0|)^2}{2}</math>**<math>|\varphi_3-\varphi_2|\leq \int_{x_0}^{x}K|\varphi_2-\varphi_1|dt=K^2M\frac{|(x-x_0|)^3}{3!}</math>
**נמשיך כך ונקבל כי <math>
\left|\sum_{i=1}^n\left(\varphi_i-\varphi_{i-1}\right)\right|\leq
\sum_{i=1}^n\left|\varphi_i-\varphi_{i-1}\right|\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{|(x-x_0|)^n}{n!}\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!}
</math>
**זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, ולפי מבחן הM של קושי, הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
**הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה.
*טענת עזר - תהי <math>g</math> חסומה כך שלכל <math>x\geq x_0</math> בקטע <math>|x-x_0|<\leq a'</math> בקטע מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> לכל <math>x\geq x_0</math> בקטע.**<math>|g|\leq M</math>.**<math>|g|\leq\int_{x_0}^x|g|dt\leq M(x-x_0)</math>.**<math>|g|\leq\int_{x_0}^x|g|dt\leq \int_{x_0}^xM|t-x_0|dt=M\frac{(x-x_0)^2}{2}</math>.**נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי <math>|g|\leq M\frac{(x-x_0)^n}{n!}</math>.**לכן <math>|g|\leq M\frac{a^n}{n!}\to 0</math>.**לכן <math>g=0</math>.
