שינויים
/* הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים */
==הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים==
===פולינום אופייני===
*נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים <math>y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0</math> כאשר <math>a_i\in\mathbb{R}</math>.
*דוגמאות:
**משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>.
**<math>y''-2y'+y=0</math>.
*ננחש פתרון למד"ר מהצורה <math>y=e^{\lambda x}</math>.
*נציב במד"ר ונקבל <math>\lambda^ne^{\lambda x}+a_{n-1}\lambda^{n-1}e^{\lambda x} +...+a_0e^{\lambda x}=0</math>.
*לכן <math>\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_0=0</math>.
*נגדיר את '''הפולינום האופייני''' של המד"ר להיות <math>p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>.
*לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.
*דוגמא: <math>y''=y</math>
**נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
***<math>y''-y=0</math>
***<math>p(x)=x^2-1</math>
**לכן השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm 1</math>.
**לכן שני פתרונות למד"ר הם <math>e^x,e^{-x}</math>.
**ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא <math>c_1e^{x}+c_2e^{-x}</math>.
*מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)?
*מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
*הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''+ky=0</math> הוא <math>x^2+k</math>.
*הפולינום האופייני של המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> הוא <math>x^2-2x+1=(x-1)^2</math>.
*כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
**ראשית, אם <math>a+bi</math> שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
**נזכר גם כי <math>e^{ibx}=\cos(bx)+i\sin(bx)</math>
**כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים <math>a\pm bi</math> לכן <math>e^{(a\pm bi)x}</math> הן פתרונות.
**לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
***<math>\frac{1}{2}\left(e^{ax+ibx}+e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\cos(bx)</math>
***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math>
***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!
